Файл: В. И. Смирнов Допущено Научнометодическим советом по математике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебника для студентов механикоматематических и физикоматематических факультетов у.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.11.2023

Просмотров: 150

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Отсюда видно, что в точках разрыва непрерывности радиуса кривизны и сила будет претерпевать разрыв непрерывности, что и обусловливает толчок
Гл. II. Понятие о производной и его приложения 72. Асимптоты. Перейдем теперь к изучению бесконечных ветвей кривой, на которых одна из координат x или y или обе вместе беспредельно возрастают. Гипербола и парабола дают нам примеры кривых с бесконечными ветвями.
Асимптотой кривой с бесконечной ветвью называется такая прямая, что расстояние точек кривой до этой прямой при беспредельном удалении по бесконечной ветви стремится к нулю.
Рис. Покажем сначала, как находить асимптоты кривой, параллельные оси Уравнение такой асимптоты должно иметь вид = c где c — постоянная, ив этом случае при движении по соответствующей бесконечной ветви x должно стремиться как бесконечности
(рис. 80). Мы получаем, таким образом, следующее правило.
Все асимптоты кривой y = f (параллельные оси OY , можно получить, найдя те значения x = c при приближении к которым f (x) стремится к бесконечности.
Для исследования того, как расположена кривая относительно асимптоты, надо определить знак f (x) при стремлении x к c слева и справа.
Перейдем теперь к нахождению асимптот, непараллельных оси . В этом случае уравнение асимптоты должно иметь вид = aξ + b где ξ, η — текущие координаты асимптоты, в отличие от X, Y текущих координат кривой

72]
§ 7. Некоторые геометрические приложения
219
Рис. Пусть ω есть угол, образованный асимптотой с положительным направлением оси OX, M K — расстояние точки кривой до асимптоты и M K
1
— разность ординат кривой и асимптоты при одинаковой абсциссе x (рис. 81). Из прямоугольного треугольника будем иметь =
|MK|
| cos ω|

ω и, следовательно, условие lim M K = мы можем заменить условием lim M K
1
= В случае асимптоты, непараллельной оси OY , при движении по соответствующей бесконечной ветви x стремится к бесконечности.
Принимая во внимание, что M есть разность ординат кривой и асимптоты при одинаковых абсциссах, можем переписать условие) так x→∞
[f (x) − ax − b] = откуда мы и должны получить значения a и Условие (8) можно переписать в виде x→∞
x h f (x)
x
− a −
b x
i
= Но первый множитель x стремится к бесконечности, а потому выражение, стоящее в квадратных скобках, должно стремится к нулю lim x→∞
h f (x)
x
− a −
b x
i
= lim x→∞
f (x)
x
− a = то есть a = lim x→∞
f (x)
x
Гл. II. Понятие о производной и его приложения
[73
Найдя a, мы определим b из основного условия (8), которое можно переписать в виде = lim x→∞
[f (x) − Итак, для существования асимптоты, непараллельной оси OY у кривой y = f (необходимо и достаточно, чтобы при движении по бесконечной ветви x беспредельно возрастало и чтобы существовали пределы a = lim x→∞
f (x)
x
,
b = lim x→∞
[f (x) − и тогда уравнение асимптоты будет = aξ + Для исследования расположения кривой относительно асимптоты, надо отдельно разобрать случаи стремления x к (+∞) и (Рис. ив каждом из этих случаев определить знак разности f (x) − (ax + Если он будет (+), то кривая расположена над асимптотой, а если, то под асимптотой. Если же эта разность при беспредельном возрастании не будет сохранять неизменного знака, то кривая будет колебаться около асимптоты (рис. 82).
73. Построение графиков. Укажем теперь схему действий,
которые надо проделать при построении кривой y = f (более полную, чем это сделано в [59].

73]
§ 7. Некоторые геометрические приложения
221
Для этого нужно:
а) определить промежуток изменения независимой переменной б) определить точки пересечения кривой с осями координат;
в) определить вершины кривой;
г) определить выпуклость, вогнутость и точки перегиба кривой;
д) определить асимптоты кривой;
е) выяснить симметричность кривой относительно осей координат, если таковая существует.
Для более точного вычерчивания кривой полезно также наметить еще ряд точек кривой. Координаты этих точек можно вычислить, пользуясь уравнением кривой. Вычертим кривую y =
(x − 3)
2 4(x − а) x может изменяться в промежутке (−∞, +б) полагая x = 0, получим y = −
9 4
; полагая y = 0,, получим x = те. кривая пересекается с осями координат в точках, −
9 ив) составляя первую и вторую производные f
′
(x) =
(x − 3)(x + 1)
4(x − 1)
2
, f
′′
(x) =
2
(x − Применяя обычное правило, получим вершины (3, 0) — минимум, (–1,
–2) — максимум;
г) из выражения второй производной видно, что она положительна при x > 1 и отрицательна прите. промежуток (1, ∞) есть промежуток вогнутости кривой, а промежуток (−∞, 1) есть промежуток выпуклости. Точек перегиба нет, так как f
′′
(x) меняет знак лишь при x = 1, а этому значению x соответствует, как мы сейчас увидим, асимптота, параллельная оси OY д) при x = 1 y обращается в бесконечность, и кривая имеет асимптоту x = Будем теперь искать асимптоты, непараллельные оси OY :
a = lim x→∞
(x − 3)
2 4(x − 1)x
= lim x→∞

1 −
3
x

2 4

1 −
1
x
=
1 4
,
Гл. II. Понятие о производной и его приложения = lim x→∞
h (x − 3)
2 4(x − 1)
−
x
4
i
= lim x→∞
−5x + 9 4(x − 1)
=
= lim x→∞
−5 +
9
x
4

1 −
1
x
=
−
5 те. асимптота будет y =
1 4
x −
5 Предлагаем читателю исследовать расположение кривой относительно асимптоты;
е) симметрии не имеется.
Нанося все полученные данные на чертеж, получим кривую (рис. 83).
2
. Исследуем кривые = c(a
2
− x
2
)(5a
2
− x
2
), y
1
= c(a
2
− x
2
)
2
, (c < которые дают форму тяжелой балки, изгибающейся под влиянием собственного веса, причем первая кривая относится к тому случаю, когда концы балки могут свободно поворачиваться, а вторая — когда они заделаны наглухо. Общая длина балки 2a, начало координат в середине балки и ось OY направлена вертикально вверх. Очевидно, нас интересует изменение x лишь в промежутке, +a).
2. Полагая x = 0, получим y = и y
1
= ca
4
, те. в первом случае прогиб середины балки в пять раз больше, чем во втором. При x = ±a,
y = y
1
= 0, что соответствует концам балки. Определим производные y
′
= −4cx(3a
2
− x
2
),
y
′′
= −12c(a
2
− x
2
),
y
′
1
= −4cx(a
2
− x
2
),
y
′′
1
= −4c(a
2
− В обоих случаях в промежутке (−a, +a) будет существовать минимум при x = 0, что соответствует прогибу середины балки, о котором мы говорили выше. В первом случаев промежутке (−a, +a), те. в первом случае вся балка обращена вогнутостью вверх. Во втором случае обращается в нуль при x = и меняет притом знак, те. соответствующие точки будут точками перегиба балки. Бесконечных ветвей нет. В обоих случаях уравнение не меняется при заменена, т. е.
в обоих случаях кривая симметрична относительно оси OY .

74]
§ 7. Некоторые геометрические приложения
223
Рис. Рис. На рис. 84 изображены обе кривые. Для простоты нами взят случайна практике длина балки значительно больше ее прогиба,
т. е. a значительно больше c, так что внешний вид кривой прогиба будет несколько иной (какой?).
Предлагаем читателю найти точки перегиба кривой y = и сравнить с рис. 60, на котором изображен соответствующий график. Параметрическое задание кривой. При отыскании уравнения геометрического места поданному его свойству не всегда бывает удобно или возможно выразить это свойство непосредственно в виде уравнения, связывающего текущие координаты x, В таком случае бывает полезно ввести третью, вспомогательную переменную величину, через которую можно выразить отдельно абсциссу и ординату y любой точки геометрического места.
Совокупность двух полученных таким путем уравнений x = ϕ(t),
y = также может служить для построения и исследования кривой, так
Гл. II. Понятие о производной и его приложения
[74
как при каждом значении t она определяет положение соответствующей точки кривой.
Такой способ задания кривой называется параметрическим,
вспомогательная же переменная t — параметром. Для получения уравнения кривой в обычном (явном или неявном) виде как зависимости, связывающей x и y, нужно из двух уравнений (9) исключить параметр t, что можно сделать, хотя бы решив одно из этих уравнений относительно t и подставив полученный результат в другое.
С параметрическим заданием кривых особенно часто приходится иметь дело в механике, при исследовании траектории движущейся точки, положение которой зависит от времени t, а потому и координаты суть функции от t. Определив эти функции, мы и получим параметрическое задание траектории.
Так, например, параметрическое уравнение окружности сцен- тром в точке (x
0
, y
0
) и радиусом r будет x = x
0
+ r cos t,
y = y
0
+ r sin Перепишем эти уравнения − x
0
= r cos t,
y − y
0
= r sin Возведя обе части в квадрат и складывая, исключим параметр t и получим обычное уравнение окружности − x
0
)
2
+ (y − y
0
)
2
= Точно также непосредственно ясно, что x = a cos t,
y = b sin есть параметрическое уравнение эллипса x
2
a
2
+
y
2
b
2
= Положим, что y, как функция от x, определена параметрически формулами (9).

74]
§ 7. Некоторые геометрические приложения
225
Приращение параметра ∆t вызовет соответствующие приращения и ∆y, и мы получим, деля числитель и знаменатель дробина, следующее выражение для производной отпоили Составим вторую производную от y по x:
y
′′
=
d

dy Применяя правило нахождения дифференциала частного, получим Нов силу (9),
dx = ϕ
′
(t)dt,
d
2
x = ϕ
′′
(t)dt
2
,
dy = ψ
′
(t)dt,
d
2
y = Подставляя это в (13) и сокращая на dt
3
, получим окончательно y
′′
=
ψ
′′
(t)ϕ
′
(t) − Заметим, что выражение по формуле (13) отличается от выражения той же производной по формуле (3) из [55] (при n = 2)
y
′′
=
d
2
y При ∆x → 0 выполнено ∆t → 0, следовательно можно перейти к пределу пои воспользоваться теоремой о пределе частного, учитывая, что производные ψ
′
(t) и ϕ
′
(t) существуют
Гл. II. Понятие о производной и его приложения
[74
потому что это последняя формула выведена лишь в том предположении, что x есть независимая переменная, а при параметрическом представлении (9) независимой переменной является t. Если x есть независимая переменная, то dx считается уже постоянным [50], т. е.
не зависящим от x, и d
2
x = d(dx) = 0 как дифференциал постоянной. При этом формула (13) переходит в (Имея возможность определить и y
′′
, мы тем самым можем решить вопрос о направлении касательной к кривой, о выпуклости и вогнутости кривой и т. д.
В качестве примера рассмотрим кривую, заданную уравнением x
3
+ y
3
− 3axy = 0 (a > и называемую листом Декарта».
Введем переменный параметр t, полагая y = и рассмотрим точки пересечения прямой (17) с переменным угловым коэффициентом t и кривой (16). Подставляя в уравнение (16) выражение y из уравнения (17) и сокращая на x
2
, получим x =
3at
1 + а уравнение (17) даст нам тогда y =
3at
2 1 + Эти уравнения дают параметрическую форму представления листа Декарта. Определим производные от x и y по t:
x
′
t
= 3a
(1 + t
3
) − 3t
2
t
(1 + t
3
)
2
=
6a

1 2
− t
3

(1 + t
3
)
2
,
y
′
t
= 3a
2t(1 + t
3
) − 3t
2
t
2
(1 + t
3
)
2
=
3at(2 − t
3
)
(1 + Для исследования изменения x и y разобьем весь промежуток, +∞) изменения t на такие отдельные части, внутри которых производные и y
′
t сохраняют неизменный знаки не обращаются в бесконечность. Для этого нам придется отметить значения = −1,
0,
1 и

74]
§ 7. Некоторые геометрические приложения
227
при которых эти производные обращаются в нуль или бесконечность.
Знаки x
′
t и y
′
t внутри этих промежутков определяются без труда по формулам вычислив значения x и y на концах промежутков, мы получим, таким образом, приведенную ниже таблицу.
Промежуток t x
′
t y
′
t x
y
(−∞, −1)
+ — возрастает от 0 до +убывает от 0 до −∞
(−1, 0)
+ — возрастает от −∞ до убывает от +∞ до 0

0,
1 3
√
2

+ + возрастает от 0 до возрастает от 0 до 3
√
2
,
3
√
2

— +убывает от возрастает от до до, +∞)
— убывает от до убывает от до Рис. В соответствии с этой схемой мы получим кривую, изображенную на рис. Для вычисления углового коэффициента касательной имеем формулу Обратим внимание на то, что x и y обращаются в нуль при t = 0 и t = и кривая, как это видно из чертежа, пересекает сама себя вначале координат.
Формула (19) дает нам y
′
x
= при t = 0,
y
′
x
= lim t→∞
t(2 − t
3
)
2 1
2
− t
3
= lim t→∞
t
2
t
3
− 1

2 1
2t
3
− 1
=
∞ прите. две ветви кривой, взаимно пересекающиеся вначале координат, касаются одна оси OX и другая оси OY При стремлении t к (−1) x и y стремятся к бесконечности, и кривая имеет бесконечную ветвь. Определим асимптоту
Гл. II. Понятие о производной и его приложения
[75
угловой коэффициент асимптоты равен lim x→∞
y x
= lim t→−1 3at
2
(1 + t
3
)
3at(1 + t
3
)
= −1,
b = lim t→−1
(y + x) = lim t→−1 3at
2
+ 3at
1 + t
3
= lim t→−1 6at + 3a
3t
2
= те. уравнение асимптоты будет y = −x − a или x + y + a = 0.
75. Уравнение Ван-дер-Ваальса.
Если считать, что газ точно следует законам Бойля — Мариотта и Гей-Люссака, то получается, как известно, следующая зависимость между упругостью газа p, его объемом v и абсолютной температурой T :
pv = где R — постоянная, одна и та же для всех газов, если рассматривать одну «грамм-молекулу» газа, те. число граммов газа, равное его молекулярному весу.
Существующие газы не подчиняются строго указанной зависимости,
и Ван-дер-Ваальсом была дана другая формула, гораздо более точно выражающая явление. Формула эта имеет вид +
a v
2

(v − b) = где a и b — положительные постоянные, различные для различных газов.
Решая уравнение относительно p, получим p =
RT
v − b
−
a Исследуем зависимость p от v, считая T постоянным, те. рассматривая случай изотермического изменения состояния газа. Найдем первую производную от p по v:
dp dv
= −
RT
(v − b)
2
+
2a v
3
=
1
(v − b)
2
2a(v − b)
2
v
3
− Мы будем рассматривать только значения v > b. По поводу физического смысла этого условия, а также кривых, которые будут получены

75]
§ 7. Некоторые геометрические приложения
229
отсылаем читателя к курсам физики. Приравнивая производную нулю,
получим уравнение − b)
2
v
3
− RT = Исследуем изменение левой части этого уравнения при изменении v от b дои для этого определим ее производную по v, помня, что произведение RT по условию постоянно 2a(v − b)
2
v
3

′
= 2a
2(v − b)v
3
− 3v
2
(v − b)
2
v
= −
2a(v − b)(v − откуда видно, что эта производная положительна при b < v < 3b и отрицательна прите. левая часть уравнения (22) возрастает в
Рис. промежутке (b, 3b) и убывает при дальнейшем увеличении а потому при v = 3b она достигает максимума, равного Непосредственной подстановкой нетрудно также убедиться, что левая часть уравнения) при v = b и v = +обращается в (−RT ) и, следовательно, имеет знак (—). Если найденный максимум ее также отрицателен, те. если толевая часть уравнения (постоянно отрицательна, а в этом случае из выражения (видно, что производная dp dv постоянно отрицательна, те убывает с возрастанием Наоборот, если <
8a
27b
,
Гл. II. Понятие о производной и его приложения
[76
то левая часть уравнения (22) достигает положительного максимума при v = 3b, и уравнение (22) имеет один корень в промежутке (b, 3b) и другой корень в промежутке (3b, +∞). При переходе v через значение левая часть уравнения (22) и, следовательно dv переходит от знака) к знаку (+), те. этому значению v соответствует минимум p. Точно также убедимся, что значению v = соответствует максимум Если, наконец то максимум левой части уравнения (22) равен нулю, значения v = и v = сливаются водно значение v = 3b, при переходе через это значение левая часть уравнения (22) и dp dv сохраняют знак (—), те постоянно убывает с возрастанием v, и значению v = 3b соответствует точка перегиба кривой. Соответствующие этой точке перегиба значения v = v k
,
p = p и значение температуры T = T
k
, определяемое из условия (называются критическим объемом, упругостью и температурой газа. На рис. 86 указан вид кривых, соответствующих трем рассмотренным случаям. Особые точки кривых.
Рассмотрим уравнение кривой в неявной форме (x, y) = Угловой коэффициент касательной к такой кривой определяется по формуле, где (x, y) — координаты точки касания.
Рассмотрим тот частный случай, когда F (x, y) есть целый многочлен от x и y. В этом случае кривая (24) называется алгебраической. Частные производные F
′
x
(x, y) и F
′
y
(x, y) будут иметь вполне определенные значения, если вместо x и y подставить координаты любой точки M кривой, и уравнение (25) даст нам определенный угловой коэффициент касательной, во всех случаях, кроме тех, когда координаты точки (x, обращают в нуль частные производные F
′
x
(x, y) и F
′
y
(x, y). Такая точка называется особой точкой кривой (Особой точкой алгебраической кривой (24) называется точка, координаты которой удовлетворяют уравнению (24) и уравнениям, y) = 0,
F
′
y
(x, y) = 0.
(26)

76]
§ 7. Некоторые геометрические приложения
231
Для эллипса x
2
a
2
+
y
2
b
2
= условие (26) даст нам x = y = 0, но точка (0, 0) не лежит на эллипсе,
а потому эллипс особых точек не имеет. Тоже можно утверждать и относительно гиперболы и параболы.
В случае листа Декарта x
3
+ y
3
− 3axy = условия (26) будут иметь вид 3ay = 0 и 3y
2
− 3ax = и непосредственно видно, что начало координат (0, 0) является особой точкой кривой. При исследовании листа Декарта мы показали, что вначале координат кривая пересекает сама себя, и две ветви кривой, пересекающиеся в этой точке, имеют в ней различные касательные для одной из ветвей касательной является ось OX, для другой — ось OY Особая точка, в которой пересекаются различные ветви кривой так, что каждая ветвь имеет свою особую касательную, называется узловой точкой кривой. Таким образом, начало координат является узловой точкой листа Декарта.
Укажем еще на примерах некоторые типы особых точек алгебраических кривых.
1.
Рассмотрим кривую y
2
− ax
3
= 0
(a > называемую полукубической параболой. Нетрудно проверить, что координаты) обращают в нуль левую часть этого уравнения и ее частные производные пои, и, следовательно, начало координат является особой точкой кривой. Для исследования вида кривой вблизи этой особой точки построим эту кривую. Ее уравнение в явной форме будет y = Для построения кривой достаточно исследовать ту ее часть, которая соответствует знаку (+), ибо часть кривой, соответствующая знаку (будет симметрична с первой частью относительно оси OX. Из уравнения видно, что x не может быть меньше нуля и что при возрастании x от дои возрастает от 0 до (+∞).
Гл. II. Понятие о производной и его приложения
[76
Определим производные первых двух порядков При x = 0 и y
′
= 0, и заметив, что x может стремиться к нулю, принимая лишь положительные значения, можем утверждать, что ось OX будет касательной к кривой справа вначале координат. Кроме того видно,
что для исследуемой части кривой сохраняет неизменный знак (в промежутке (0, +∞), те. эта часть обращена вогнутостью в сторону положительных ординат.
На рис. 87 изображена исследуемая кривая (при a = 1). Вначале координат встречаются, не продолжаясь дальше, две ветви кривой,
причем обе ветви в точке встречи имеют одну и туже касательную и расположены по разные стороны от этой касательной вблизи особой
Рис. Рис. точки (в данном случае — везде. Такая особая точка называется точкой возврата первого ряда

76]
§ 7. Некоторые геометрические приложения Рассмотрим кривую − x
2
)
2
− x
5
= Нетрудно проверить, что начало координат является особой точкой кривой. Уравнение кривой в явной форме будет y = Из этого уравнения видно, что x может изменяться от 0 до (+∞). Определим производные двух первых порядков 2x ±
5 2
√
x
3
,
y
′′
= 2 ±
15 4
√
x и исследуем отдельно обе ветви кривой, соответствующие знакам (+) и
(—).
Заметим, прежде всего, что в обоих случаях, при x = 0 и y
′
= итак же, как в предыдущем примере, ось OX будет для обеих ветвей касательной справа.
Исследуя обе ветви обычным способом, получим следующие результаты для первой ветви при возрастании x от 0 дои возрастает от 0 дои кривая вогнута на второй ветви имеется вершина (максимум) при x =
16 25
, точка перегиба при x =
6 и точка пересечения с осью OX при x = Принимая во внимание все указанное, получим кривую, изображенную на рис. Вначале координат встречаются, не продолжаясь дальше, две ветви кривой, причем обе ветви в точке встречи имеют одну и туже касательную и расположены по одну сторону от этой касательной вблизи особой точки. Такая особая точка называется точкой возврата второго рода.
3.
Исследуем кривую y
2
− x
4
+ x
6
= Начало координат есть особая точка кривой. Уравнение кривой в явной форме будет y = ±x
2
p
1 − Уравнение кривой в неявной форме содержит только четные степени x и y, а потому оси координат суть оси симметрии кривой, и достаточно исследовать часть кривой, соответствующую положительным значениям
Гл. II. Понятие о производной и его приложения и Из уравнения кривой в явной форме видно, что x может изменяться от (−1) до 1. Ограничимся вычислением первой производной y
′
=
x(2 − 3x
2
)
√
1 − При x = 0 и y = y
′
= 0, те. вначале координат, касательная совпадает с осью OX, а при x = 1, y = 0 и y
′
= ∞, те. в точке (1, 0), касательная
Рис. параллельна оси OY . По обычным правилам найдем, что кривая будет иметь вершину при x =
q
2 3
. Принимая во внимание все сказанное ив частности, симметричность кривой, получим кривую, изображенную на рис. Вначале координат две ветви кривой, соответствующие знаками) перед корнем, взаимно касаются. Такая особая точка называется точкой соприкос- новения.
4.
Исследуем кривую y
2
− x
2
(x − 1) = Начало координат есть особая точка кривой. Явное уравнение кривой будет y = ±
p x
2
(x − Принимая во внимание, что подкоренное выражение не может быть отрицательным, можем утверждать, что либо x = 0, либо x > 1. При x = и y = 0. Исследуем теперь ветвь кривой, соответствующую знаку (При увеличении x от 1 до (+∞) y увеличивается от 0 до (+∞). Из выражения первой производной y
′
=
3x − 2 2
√
x − видно, что, при x = 1, обращается в бесконечность, те. в точке (1, касательная параллельна оси OY . Вторая ветвь кривой, соответствующая знаку (—), будет симметрична с исследованной относительно оси

77]
§ 7. Некоторые геометрические приложения
235
Принимая все это во внимание, получим кривую, изображенную на рис. 90. В рассматриваемом случае координаты точки O (0, 0) удовлетворяют уравнению кривой, но вблизи нее нет других точек кривой. В
этом случае особая точка называется изолированной точкой.
Рис. Рис. Указанными выше типами особых точек исчерпываются всевозможные случаи особых точек алгебраических кривых, но может случиться,
что в некоторой точке алгебраической кривой произойдет совпадение особых точек, одинаковых или разных типов.
Кривые не алгебраические называются трансцендентными.
Предлагаем читателю показать, что уравнению y = x log x соответствует кривая, изображенная на рис. 91. Начало координат является точкой прекращения кривой. Элементы кривой. Приведем основные формулы, связанные с понятием касательной к кривой и ее кривизны, и введем
Гл. II. Понятие о производной и его приложения
[77
еще некоторые новые понятия, связанные с понятием касательной.
Если уравнение кривой имеет вид = f (то угловой коэффициенты касательной есть производная f
′
(x) от y пои уравнение касательной может быть написано в виде − y = y
′
(X − x) (y
′
= где (x, y) — координаты точки касания и (X, Y ) — текущие координаты касательной. Нормалью к кривой в точке (x, y) кривой называют прямую, проведенную через эту точку перпендикулярно к касательной в этой точке. Как известно из аналитической геометрии, угловые коэффициенты перпендикулярных прямых обратны по величине и по знаку, те. угловой коэффициент нормали будет, и уравнение нормали можно написать так − y = −
1
y
′
(X − или − x) + y
′
(Y − y) = Рис. Пусть M есть некоторая точка кривой, T и N — точки пересечения касательной и нормали кривой в точке M с осью OX, Q — основание перпендикуляра, опущенного из точки M на ось OX (рис. Отрезки QT и QN , лежащие на оси OX, называются подкасатель- ной и поднормалью кривой в точке , и отрезкам этим соответствуют определенные числа, положительные или отрицательные, смотря по направлению этих отрезков на оси OX. Длины отрезков M T и M N называются длиною касательной и длиною нормали кривой в точке M , причем длины эти мы будем считать всегда положительными. Абсцисса точки Q на оси OX равна, очевидно, абсциссе x точки M . Точки T и N суть

77]
§ 7. Некоторые геометрические приложения
237
точки пересечения касательной и нормали с осью OX, а потому для определения абсцисс этих точек надо положить в уравнении касательной и нормали Y = 0 и полученные уравнения разрешить относительно X. Мы получим, таким образом, для абсциссы точки выражение −
y y
′

, а для абсциссы точки N — выражение + yy
′
). Нетрудно теперь определить величину подкасательной и поднормали:
QT = OT − OQ = x −
y y
′
− x = −
y y
′
,
QN = ON − OQ = x + yy
′
− x = Из прямоугольных треугольников M QT и M QN можно определить теперь длины касательной и нормали | =
q
M Q
2
+ QT
2
=
s y
2
+
y
2
y
′2
= ±
y y
′
p
1 + y
′2
,
|MN| =
q
M Q
2
+ QN
2
=
p y
2
+ y
2
y
′2
= ±y p
1 + причем знак ± надо выбирать так, чтобы выражения в правой части оказались положительными.
Напомним еще формулу для радиуса кривизны кривой [71]:
R = ±
(1 + Обозначая длину нормали буквою n, получим из второй из формул и, подставляя это значение p
1 + в формулу (32), будем иметь еще следующее выражение для радиуса кривизны = ±
n
3
y
3
y
′′
(32 Если кривая задана параметрически x = ϕ(t),
y = ψ(t),
Гл. II. Понятие о производной и его приложения
[78
то первая и вторая производные и от y по x выражаются по формулам [74]
y
′
=
dy dx
=
ψ
′
(t)
ϕ
′
(t)
,
y
′′
=
d
2
ydx − d
2
xdy dx
3
=
ψ
′′
(t)ϕ
′
(t) − В частности, подставляя эти выражения в формулу (32), получим выражения радиуса кривизны в рассматриваемом случае = ±
(dx
2
+ dy
2
)
3/2
d
2
ydx − d
2
xdy
= ±
{[ϕ
′
(t)]
2
+ [ψ
′
(t)]
2
}
3/2
ψ
′′
(t)ϕ
′
(t) − ϕ
′′
(t)ψ
′
(t)
= ±
ds где α есть угол, образуемый касательной с осью Если кривая задана неявно (x, y) = тов силу формулы (25) получим следующее уравнение касательной, y)(X − x) + F
′
y
(x, y)(Y − y) = 0.
(35)
78. Цепная линия.
Цепной линией называется кривая, которая при соответствующем выборе координатных осей имеет уравнение =
a
2

e x
a
+ e
−
x a

(a > Кривая эта дает форму равновесия тяжелой нити, подвешенной за два конца. Ее нетрудно построить по правилам, указанным в [73], и вид ее указанна рис. 93. Определим первую и вторую производные от y:
y
′
=
1 2

e x
a
− e
−
x a

,
y
′′
=
1 2a

e x
a
+ e
−
x a

=
y откуда + y
′2
= 1 +

e x
a
− e
−
x a

2 4
=

79]
§ 7. Некоторые геометрические приложения + e
2x a
− 2 + e
−
2x a
4
=

e x
a
+ e
−
x a

2 Подставляя это выражение (1 + y
′2
) во вторую из формул (31), получим для длины нормали кривой n и подставляя выражение для n ив формулу (32 1
), получим =
y
6
a
2
a
3
y
3
y
=
y
2
a
= Рис. те. радиус кривизны цепной линии равен длине нормали M N . При x = ордината у цепной линии принимает наименьшее значение y = a, и соответствующая точка A кривой называется ее вершиною.
На рис. 93 указаны еще некоторые вспомогательные линии, которые нам понадобятся впоследствии. При заменена) уравнение цепной линии не меняется, те. ось OY есть ось симметрии цепной линии. Циклоида.
Вообразим круг радиуса a, который катится без скольжения по неподвижной прямой.
Геометрическое место, описанное при таком движении некоторой точкой окружности круга, называется циклоидой.
Примем прямую, по которой катится круг, за ось OX; за начало координат примем начальное положение точки M , когда окружность касается в ней оси OX, и через t обозначим угол поворота окружности.
Обозначим далее через C — центр окружности, через N — точку касания окружности в ее некотором положении с осью OX, через Q — основание перпендикуляра, опущенного из точки M на ось OX, и через R основание перпендикуляра, опущенного из точки M на диаметр N окружности (рис. Принимая во внимание, что ввиду отсутствия скольжения = дуге Гл. II. Понятие о производной и его приложения
[79
Рис. можем выразить координаты точки M , описывающей циклоиду, через параметр t = ∠N CM :
x = OQ = ON
− QN = at − a sin t = a(t − sin t),
x = QM = N C
− RC = a − a cos t = a(1 − cos Это и дает нам параметрическое представление циклоиды.
Заметим прежде всего, что достаточно рассмотреть изменение t в промежутке (0, 2π), который соответствует полному обороту окружности. После этого полного оборота точка M опять совпадает сточкой касания окружности и оси OX, но только передвинется на отрезок 2πa. Часть кривой, которая получится при дальнейшем движении, будет тождественна с дугой и получится, если мы перенесем эту дугу на отрезок 2πa вправо, и т. д. Вычислим теперь первые и вторые производные от x и y по t:
dx dt
= ϕ
′
(t) = a(1 − cos t),
dy dt
= ψ
′
(t) = a sin t,
d
2
x dt
2
= ϕ
′′
(t) = a sin t,
d
2
y dt
2
= ψ
′′
(t) = a cos Угловой коэффициенты касательной в силу первой из формул (будет sin t a(1 − cos t)
=
2 sin t
2
cos t
2 2 sin
2 t
2
= ctg Формула эта приводит к простому способу построения касательной к циклоиде. Соединим точку сточкой кривой. Угол M N
1
N есть вписанный угол, опирающийся на дугу N M = t, и, следовательно, он

79]
§ 7. Некоторые геометрические приложения
241
равен t
2
. Из прямоугольного треугольника RM получим (рис. 94):
∠
RM N
1
=
π
2
−
t
2
,
tg ∠RM N
1
= tg
π
2
−
t
2

= ctg Сравнивая это выражение с выражением для y
′
, видим, что прямая M и есть касательная к циклоиде, то есть:
Чтобы построить касательную к циклоиде в ее точке M , достаточно соединить эту точку с концом того диаметра катящегося круга, другой конец которого находится в точке касания окружности и оси Прямая M N , соединяющая точку M с другим концом только что упомянутого диаметра, перпендикулярна к прямой M N
1
, так как угол N опирается на диаметр, и мы можем поэтому утверждать, что прямая есть нормаль к циклоиде. Длина нормали n = M N определится непосредственно из прямоугольного треугольника N
1
M N :
n = 2a sin Радиус кривизны циклоиды получим, пользуясь формулой (34) ивы- ражениями (36):
R = ±
[a
2
(1 − cos t)
2
+ a
2
sin
2
t]
3/2
a cos t · a(1 − cos t) − a sin t · a sin t
= ±
a(2 − 2 cos t)
3/2
cos t − 1
=
= a · 2 3/2
(1 − cos t)
1/2
= 4a sin В последнем выражении мы оставляем лишь знак (+), так как для первой ветви циклоиды t заключается в промежутке (0, 2π), и sin не может быть величиной отрицательной.
Сравнивая это выражение с выражением для длины нормали n, будем иметь R = 2n, те. радиус кривизны циклоиды равен удвоенной длине нормали (M на рис. Если бы точка M , которая описывала циклоиду, лежала не на окружности круга, а внутри или вне ее, то при качении круга она описала бы кривую, которая соответственно называется укороченной или удлиненной циклоидой (иногда обе эти кривые называют трохоидой).
Назовем через h расстояние CM точки M от центра катящегося круга. Остальные обозначения оставим те же. Разберем сначала случай
Гл. II. Понятие о производной и его приложения
[80
Рис. 95.
h < a, те. тот случай, когда точка M находится внутри круга (рис. Непосредственно из чертежа имеем = OQ = ON
− QN = at − h sin t,
y = QM = N C
− RC = a − h cos В случае h > a уравнения будут те же, но кривая примет вид, указанный на рис. Рис. 96.
80. Эпициклоиды и гипоциклоиды.
Если круг, с окружностью которого связана точка M , катится не по прямой OX, а по некоторой неподвижной окружности, то получатся два обширных класса кривых:
эпициклоиды, если катящийся круг расположен вне неподвижного гипо- циклоиды, если катящийся круг расположен внутри неподвижного.
Выведем уравнение эпициклоид. Поместим начало координат в центр неподвижного круга ось OX направим по прямой, соединяющий этот центр O сточкой, которая является начальным положением точки , когда обе окружности касались друг друга в этой точке. Обозначим

80]
§ 7. Некоторые геометрические приложения
243
Рис. буквою a радиус катящейся окружности и примем за параметр угол, образуемый с осью OX радиусом ON неподвижной окружности, проведенным в точку касания окружностей, когда подвижная окружность повернулась на угол ϕ = ∠N CM (рис. Ввиду того, что качение окружности происходит без скольжения, можем написать дуга KN = дуге N те Из чертежа непосредственно находим x = OQ = OL + LQ = OC cos ∠KOC
− CM cos ∠SMC =
= (a + b) cos t − a cos(t + ϕ) = (a + b) cos t − a cos a + b a
t,
y = QM = LC
− RC = OC sin ∠KOC − CM sin ∠SMC =
= (a + b) sin t − a sin(t + ϕ) = (a + b) sin t − a sin a + b Кривая состоит из ряда одинаковых дуг, каждая из которых соответствует полному обороту подвижного круга, те. увеличению угла на 2π, а угла t на. Таким образом, концы этих дуг соответствуют значениям t = 0,
2aπ
b
,
4aπ
b
, . . . ,
2paπ
b
, . . Для того чтобы когда-нибудь мы пришли в начальную точку кривой, необходимо и достаточно, чтобы один из этих концов совпал ст. е.
чтобы существовали целые числа p и q, удовлетворяющие условию ибо точке K соответствует некоторое число полных оборотов около точки. Предыдущее условие может быть написано так b
=
q p
Гл. II. Понятие о производной и его приложения
[80
Такие числа p и q будут существовать тогда и только тогда, когда a и b отрезки, соизмеримые между собою в противном же случае отношение a
b есть число иррациональное и не может сделаться равным отношению двух целых чисел.
Рис. Отсюда следует, что эпициклоида представляет замкнутую кривую тогда и только тогда, когда радиусы подвижного и неподвижного кругов соизмеримы в противном же случае кривая эта незамкнутая и, выйдя из точки K, в нее никогда больше не возвратится.
Это замечание относится и к гипо- циклоидам (рис. 98), уравнение которых может быть получено из уравнения эпициклоид простой заменой a на (−a):
x = (b − a) cos t + a cos b − a a
t,
y = (b − a) sin t − a sin b − a Рис. Отметим некоторые частные случаи. Положим, что в случае эпициклоиды b =
a, те. радиусы неподвижного и подвижного кругов равны.
Мы получим в этом случае кривую, состоящую из одной ветви (рис. 99), и, подставив в уравнения (37) b = a, получим уравнения этой кривой = 2a cos t − a cos 2t,
y = 2a sin t − a sin Кривая эта называется кардиоидой.
Определим расстояние r точек M (x, y) этой кривой до точки K, имеющей координаты (a, 0), и для этого приведем к более удобному виду выражения для (x − a) и y:
x − a = 2a cos t − a(cos
2
t − sin
2
t) − a = 2a cos t − 2a cos
2
t =

80]
§ 7. Некоторые геометрические приложения 2a cos t(1 − cos t),
y = 2a sin t − 2a sin t cos t = 2a sin t(1 − cos откуда r = |KM | =
p
(x − a)
2
+ y
2
=
=
q
4a
2
cos
2
t(1 − cos t)
2
+ 4a
2
sin
2
t(1 − cos t)
2
= 2a(1 − cos Разность (x−a) и y суть проекции отрезка KM на оси OX и OY , но из написанных выше выражений видно, что (x−a) и y равны произведению длины отрезка KM соответственно на cos t и sin t, и мы можем поэтому утверждать, что отрезок KM образует угол t с положительным направлением оси OX, те. параллелен радиусу ON . Результат этот будет для нас важен в дальнейшем при выводе правила построения касательной к кардиоиде.
1   ...   12   13   14   15   16   17   18   19   ...   43
Введем угол θ = π − t, образованный отрезком KM с отрицательным направлением оси OX. Для r мы получим тогда r = 2a(1 + cos Уравнение это является уравнением кардиоиды в полярных координатах, и мы более подробно исследуем эту кривую, когда будем говорить о полярных координатах.
Рис. Отметим теперь некоторые частные случаи гипоциклоид. Полагая в уравнениях, получим x = 2a cos t = b cos t,
y = те. если радиус неподвижного круга вдвое больше радиуса подвижного круга, то точка M двигается по диаметру неподвижного круга.
Положим теперь, что b = 4a. В этом случае гипоциклоида будет состоять из четырех ветвей (рис. 100), ив этом частном случае она называется астроидой.
Уравнения (38) придадут нам x = 3a cos t + a cos 3t = 3a cos t + a(4 cos
3
t − 3 cos t) = 4a cos
3
t = b cos
3
t,
x = 3a sin t − a sin 3t = 3a sin t − a(3 sin t − 4 sin
3
t) = 4a sin
3
t = b sin
3
t.
Гл. II. Понятие о производной и его приложения
[82
Возведя обе части уравнений в степень 2/3 и складывая почленно полученные уравнения, исключим параметр t и получим уравнение астроиды в неявной форме x
2/3
+ y
2/3
= Рис. 101.
81. Развертка круга.
Разверткой круга называется кривая, которую описывает конец M гибкой нити,
постепенно сматывающейся с неподвижной окружности радиуса a, ипритом так, что в точке K, где нить отделяется от окружности, она остается касательной к окружности (рис. Приняв за параметр угол t, образуемый с положительным направлением оси радиусом, проведенным в точку K, и принимая во внимание, что KM дуге AK = at, получим уравнение развертки круга в параметрической форме = пр = пр+ пр пр = пр пр = a sin t + at cos Определим, пользуясь первой из формул (33), угловой коэффициент касательной cos t − a cos t + at sin t
−a sin t + a sin t + at cos t
= tg Угловой коэффициенты нормали к развертке круга будет, следовательно, равен ctg t = tg

t откуда видно, что прямая M K и будет нормалью к развертке круга.
Свойство это, как мы увидим впоследствии, имеет место и для разверток любых кривых. Кривые в полярных координатах. Положение точки на плоскости (рис. 102) определяется в полярных координатах :

82]
§ 7. Некоторые геометрические приложения
247
Рис. Рис. 103.
1) ее расстоянием r от некоторой данной точки O (полюс) и) углом θ, который образует направление отрезка OM сданным направлением (L) (полярная ось. Часто называют r — радиусом- вектором и θ — полярным углом. Если принять полярную ось за, а полюс — за начало координат, то имеем, очевидно (рис. 103):
x = r cos θ,
y = r sin Данному положению точки M соответствует одно определенное положительное значение r и бесчисленное множество значений которые отличаются слагаемым, кратным 2π. Если M совпадает сто и θ — совершенно неопределенно.
Всякая функциональная зависимость вида r = f (θ) (явная) или (r, θ) = 0 (неявная) имеет в полярной системе координат свой график. Чаще приходится иметь дело с явным уравнением r = f (В дальнейшем мы будем рассматривать не только положительные, но и отрицательные значения r, причем если некоторому значению соответствует отрицательное значение r, то условимся откладывать это значение r в направлении, прямо противоположном тому направлению, которое определяется значением Считая, что на некоторой заданной кривой r есть функция θ, мы видим, что уравнения (39) представляют собой параметрическую форму уравнения этой кривой, причем x и y зависят от параметра как непосредственно, таки через посредство r. Мы можем поэтому прилагать в данном случае формулы (33) и (34) [77]. Обозначая через α угол, составленный касательной с осью OX, будем иметь
Гл. II. Понятие о производной и его приложения
[82
применяя первую из формул (33),
tg α = y
′
=
r
′
sin θ + r cos θ
r
′
cos θ − r sin где через мы обозначаем производную от r по Рис. Введем еще в рассмотрение угол между положительными направлениями радиус-вектора и касательной к кривой (рис. 104). Мы имеем = α − и, следовательно µ = cos α cos θ + sin α sin θ,
sin µ = sin α cos θ − cos α sin Дифференцируя равенства (39) пои принимая во внимание,
что dx ds и ds соответственно равны cos α и sin α, получим cos α = cos θ
dr ds
− r sin θ
dθ
ds
,
sin α = sin θ
dr ds
+ r cos Подставляя эти выражения cos α ив написанные выше выражения для cos µ и sin µ, будем иметь cos µ =
dr ds
,
sin µ и, следовательно µ =
rdθ
dr
=
r dr dθ
=
r r
′
(41 Из (39) следует dx = cos θdr − r sin θdθ,
dy = sin θdr + r cos См. [70].

83]
§ 7. Некоторые геометрические приложения
249
а потому ds =
p
(dx)
2
+ (dy)
2
=
p
(dr)
2
+ и равенство α = µ + θ дает нам, если мы разделим числитель и знаменательна +Из формулы же (41 1
) имеем = arctg r
r
′
,
dµ
dθ
=
1 1 +
r r
′

2
·
r
′2
− r
′′
r
′2
=
r
′2
− rr
′′
r
2
+ где и r
′′
— производные первого и второго порядка от r по Подставляя полученные выражения производных в предыдущую формулу, будем иметь для радиуса кривизны = ±
(r
2
+ r
′2
)
3/2
r
2
+ 2r
′2
− rr
′′
(43)
83. Спирали.
Разберем три вида спиралей:
спираль Архимеда = спираль гиперболическую = a,
(a > 0; b > спираль логарифмическую r = be Рис. Спираль Архимеда имеет вид, изображенный на рис. 105, причем пунктир соответствует части кривой при θ < 0. Отрицательным значениям θ соответствуют и отрицательные значения r, и их над откладывать в направлении, противоположном тому направлению, которое определяется значением Всякий радиус-вектор встречает кривую бесчисленное множество раз, причем расстояние между каждыми двумя последовательными точками пересечения есть величина постоянная, равная 2aπ. Это видно из того, что направление радиуса-вектора, соответствующее некоторому
Гл. II. Понятие о производной и его приложения
[83
Рис. данному значению θ, не меняется, если к θ прибавить 2π, 4π . . . ; длина же r, определяемая из уравнения r = aθ, будет получать приращения, 4aπ, . . Гиперболическая спираль изображена на рис. 106. Предполагая θ > исследуем, что будет происходить с кривой, когда θ стремится к нулю.
Уравнением r показывает, что r будет стремиться при этом к бесконечности. Возьмем некоторую точку M на кривой при достаточно малом значении θ и опустим перпендикулярна полярную ось X. Из прямоугольного треугольника получим (риса при стремлении θ к нулю lim
θ→0
QM = lim
θ→0
a sin θ
θ
= Итак, расстояние между точкой M кривой и полярной осью, при стремлении θ к нулю, стремятся к a, и кривая будет иметь асимптоту, параллельную полярной оси и проведенную на расстоянии a от нее.
Далее, видим, что r не обращается в нуль ни при каких конечных значениях, а только стремится к нулю, когда θ стремится к бесконечности.
Кривая будет поэтому беспредельно приближаться к полюсу O, закручиваясь около него, но никогда не пройдет через O в противоположность спирали Архимеда. Такая точка называется, вообще, асимптотической точкой кривой.
Логарифмическая спираль изображена на рис. 107.

84]
§ 7. Некоторые геометрические приложения
251
Рис. При θ = 0, r = b и при стремлении θ к (+∞) и r стремится ка при стремлении θ к (−∞) r стремится к нулю, никогда не обращаясь в нуль. В
рассматриваемом случае r
′
= abe и tg µ =
r те. радиус-вектор образует с касательной к логарифмической спирали постоянный угол µ.
84. Улитки и кардиоида.
Построим круг на диаметре OA =
2a (рис. 108); из точки O, лежащей на окружности, будем проводить радиусы-векторы и на каждом из них будем откладывать постоянную величину h = DM от точки пересечения D этой прямой с окружностью.
Геометрическое место точек M называется вообще улиткою.
Замечая, что = 2a cos и = находим уравнение улитки r = 2a cos θ + Рис. Рис. Если h > 2a, то уравнение это дает для r только положительные значения, и соответствующая кривая изображена на рис. 109. Если h < 2a,
Гл. II. Понятие о производной и его приложения
[84
то r будет принимать и отрицательные значения, кривая имеет вид, изображенный на рис. 110. В точке O кривая пересекает самое себя. Наконец,
при h = 2a уравнение улитки будет r = 2a(1 + cos те. в этом случае улитка представляет собою кардиоиду [80], которая только иначе расположена, чем в [80] (рис. 111). Значению θ = π будет соответствовать r = 0, те. кривая пройдет через точку Рис. Рис. Определим первую и вторую производные от r по θ:
r
′
= −2a sin θ,
r
′′
= −2a cos Вычислим tg µ:
tg µ =
r r
′
=
2a(1 + cos θ)
−2a sin θ
= − ctg
θ
2
= tg
то есть Как было показано раньше [80], кардиоиду можно себе представить как кривую, описанную точкой круга, катящегося по упомянутому выше кругу с диаметром OA = 2a, причем диаметр катящегося круга равен диаметру неподвижного круга. Пусть C — центр неподвижного круга — некоторая точка кардиоиды, N — точка касания катящегося круга

85]
§ 7. Некоторые геометрические приложения
253
в его положении, соответствующем этой точке, с неподвижным кругом, и N
1
— диаметр подвижного круга (рис. 111). Выше [80] мы видели, что прямые OM и CN
1
— параллельны, те. угол ACN = θ и, следовательно,
дуга N M = дуге ON = π − Угол M N
1
N , как вписанный, опирающийся на дугу N M , равен
π
2
−
θ
2
,
и, наконец, угол, образованный направлениями OM и N
1
M , равен −
π
2
−
θ
2

=
π
2
+
θ
2
= откуда видно, что N
1
M и есть касательная к кардиоиде в точке M . Мы получаем, таким образом, следующее правило:
Чтобы построить касательную к кардиоиде в ее точке M , достаточно соединить эту точку с концом того диаметра катящегося круга, другой конец которого находится в точке касания катящегося круга с неподвижным нормаль пройдет по прямой M N Выведенное выше правило построения касательной к кардиоиде получается просто из кинематических соображений. Известно, что вообще движение неизменяемой системы на плоскости в каждый данный момент сводится к вращению вокруг неподвижной точки (мгновенного центра),
причем, вообще говоря, положение этой точки меняется стечением времени. В случае качения, указанного на рис. 111, мгновенный центр есть точка соприкосновения N катящегося круга с неподвижными, следовательно, скорость движущейся точки M , направленная по касательной к кардиоиде, перпендикулярна к лучу N M , те. этот луч есть нормаль к кардиоиде, а перпендикулярная к нему прямая N
1
M — касательная к кардиоиде. Из этих соображений следует, что приведенное правило построения касательной годится, вообще, для кривых, описанных некоторой точкой окружности, катящейся без скольжения по неподвижной кривой. Овалы Кассини и лемниската.
Овалы Кассини получаются как геометрическое место точек M , для которых произведение расстояний от двух данных точек и есть величина постоянная · F
2
M = Обозначим длину через 2a, направим полярную ось по линии
F
1
F
2
и полюс O поместим в середине отрезка F
1
F
2
. Из треугольников
3
В [80] эти две прямые были KM ирис Гл. II. Понятие о производной и его приложения ирис) находим r
2
+ a
2
+ 2ar cos θ,
F
2
M
2
= r
2
+ a
2
− 2ar cos Подставляя эти выражения в уравнение овалов и возводя его обе части в квадрат, получим после элементарных преобразований r
4
− 2a
2
r
2
cos 2θ + a
4
− b
4
= откуда r
2
= a
2
cos 2θ ±
p a
4
cos
2 2θ − (a
4
− Случаи, соответствующие a
2
< и a
2
> b
2
, изображены на рис. причем второму случаю соответствует кривая, состоящая из двух отдельных замкнутых кривых. Мы рассмотрим более подробно лишь тот важный случай, когда a
2
= b
2
. Соответствующая кривая называется лемнискатой, и ее уравнение будет r
2
= 2a
2
cos Уравнение это дает вещественные значения для r, только когда cos 2θ > 0, те. когда θ лежит водном из промежутков 3π
4
,
5π
4

,
7π
4
, причем r обращается в нуль при Нетрудно на основании этих соображений построить кривую
(рис. Рис. Рис. 113.

85]
§ 7. Некоторые геометрические приложения
255
В точке O кривая будет пересекать самое себя, и пунктирные прямые представляют собою касательные к двум ветвям кривой, пересекающимся в точке O. Дифференцируя обе части уравнения лемнискаты по получим −4a
2
sin или r
′
= −
2a
2
sin откуда tg µ =
r r
′
= −
r
2 2a
2
sin 2θ
= −
2a
2
cos 2θ
2a
2
sin 2θ
= − ctg 2θ = tg
π
2
+ 2θ

,
µ =
π
2
+ Переходя от полярных координат к прямоугольным, из формулы (имеем r
2
= x
2
+ y
2
,
cos θ =
x r
,
sin θ =
y Уравнение лемнискаты можно написать в виде r
2
= 2a
2
(cos
2
θ − подставляя предыдущие выражения, получим уравнение лемнискаты в прямоугольных координатах x
2
+ y
2
= 2a
2
x
2
− y
2
x
2
+ или+ y
2
)
2
= 2a
2
(x
2
− откуда видно, что лемниската есть алгебраическая кривая четвертого порядка
ГЛАВА ПОНЯТИЕ ОБ ИНТЕГРАЛЕ
И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ 8. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ
ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Понятие о неопределенном интеграле. Одной из основных задач дифференциального исчисления является задача нахождения производной или дифференциала данной функции.
Первой основной задачей интегрального исчисления является обратная задача — отыскание функции по заданной ее производной или дифференциалу.
Пусть дана производна y
′
= f (или дифференциал dy = f
′
(x)dx неизвестной функции Функция F (x), имеющая данную функцию f (x) своей производной или f (x)dx своим дифференциалом, называется первообразной данной функции f (Если, например (x) = x
2
,

86]
§ 8. Неопределенный интеграл
257
то первообразной функцией будет, например, F (x) =
1 3
x
3
. Действительно Допустим, что мы нашли какую-нибудь первообразную F (функцию данной функции f (x), которая имеет f (x) своей производной, те. удовлетворяет соотношению) = f (Так как производная от произвольной постоянной C равна нулю, мы имеем также (x) + C]
′
= F
′
(x) = f (те. наряду си функция F (x) + C есть также первообразная функция для f (Отсюда следует, что если задача нахождения первообразной функции имеет хоть одно решение, то она имеет и бесчисленное множество других решений, отличающихся от упомянутого на произвольное постоянное слагаемое. Можно, однако, показать, что этими исчерпываются все решения задачи, а именно:
Если F (x) есть какая-либо из первообразных функций для данной функции f (x), то любая другая первообразная функция имеет вид (x) + где C есть произвольная постоянная.
∗
В самом деле, пусть F
1
(x) есть любая функция, имеющая f (своей производной. Мы имеем) = f (С другой стороны, и рассматриваемая функция F (x) имеет f (своей производной, те (Заметим, что если функция имеет одну первообразную, то она имеет бесконечно много первообразных, отличающихся друг от друга на константу
Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения
[86
Вычитая это равенство из предыдущего, получаем) − F
′
(x) = [F
1
(x) − F (x)]
′
= откуда, в силу известной теоремы [63],
F
1
(x) − F (x) = где C есть постоянная, что и требовалось доказать.
Полученный нами результат можно еще формулировать так:
если производные (или дифференциалы) двух функций тождественно равны, то сами функции отличаются лишь постоянным слагаемым.
Самое общее выражение для первообразной функции называется также неопределенным интегралом отданной функции f (или отданного дифференциала f (x)dx и обозначается символом (причем функция f (x) называется подынтегральной функцией, а f (x)dx — подынтегральным выражением.
Найдя какую-нибудь первообразную функцию F (x), в силу доказанного выше можем написать (x)dx = F (x) + где C есть произвольная постоянная.
∗
Приведем механическое и геометрическое истолкование неопределенного интеграла. Пусть у нас имеется закон аналитической зависимости скорости от времени = f (и требуется найти выражение пути s от времени. Так как скорость движения точки по заданной траектории есть производная ds dt от
∗
Также говорят, что неопределенным интегралом отданной функции называется совокупность всех ее первообразных

86]
§ 8. Неопределенный интеграл
259
пути повремени, то задача сводится к нахождению первообразной данной функции f (t), те (Мы получаем бесчисленное множество решений, отличающихся на постоянное слагаемое. Эта неопределенность ответа имеет место вследствие того, что мы не фиксировали того места, от которого отсчитываем пройденный пусть s. Если, например, u = равномерно ускоренное движение, то для s мы получим выражение s =
1 2
gt
2
+ u
0
t + ибо, как нетрудно проверить, производная выражения (1) по t совпадает с заданным выражением u = gt + u
0
. Если мы согласимся отсчитывать s от той точки, которая соответствует значению t = те. если согласимся считать s = 0 при t = 0, то мы должны будем в формуле (1) положить постоянную C = 0. В предыдущих рассуждениях мы обозначили независимую переменную не буквой а буквой t, что, конечно, не имеет существенного значения.
Перейдем теперь к геометрическому истолкованию задачи нахождения первообразной функции. Соотношение y
′
= f (x) показы- вает,
что
Рис. график искомой первообразной функции, или, как говорят, интегральная кривая (есть кривая, касательная к которой при любом значении x имеет заданное направление, определяемое угловым коэффициентом (Иными словами, при любом значении независимой переменной x соотношением) задано направление касательной к
Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения
[86
кривой и требуется найти эту кривую. Если построена одна такая интегральная кривая, то все кривые, которые мы получим, передвигая ее на любой отрезок параллельно оси OY , будут иметь при одно и том же значении x параллельные касательные стем же угловым коэффициентом y
′
= f (x) (рис. 114), что и исходная кривая. Упомянутый параллельный перенос равносилен прибавлению к ординатам кривой постоянного слагаемого C, и общее уравнение кривых, отвечающих задаче, будет y = F (x) + Для того чтобы вполне определить положение искомой интегральной кривой, те. выражение искомой первообразной функции,
1   ...   13   14   15   16   17   18   19   20   ...   43
нужно задать еще какую-нибудь точку, через которую интегральная кривая должна пройти, хотя бы точку пересечения ее с некоторой прямой x = параллельной оси OY . Такое задание равносильно заданию начального значения искомой функции y = F (x), которое она должна иметь при заданном значении x = x
0
. Подставляя эти начальные значения в уравнение (3), мы получим уравнение для определения произвольной постоянной C:
y
0
= F (x
0
) + и окончательно первообразная функция, удовлетворяющая поставленному начальному условию, будет иметь вид = F (x) + [y
0
− F (Прежде чем выяснить свойства неопределенного интеграла и способы нахождения первообразной функции, мы изложим вторую основную задачу интегрального исчисления и выясним ее связь сформулированной уже нами первой задачей — задачей нахождения первообразной функции. Существенным для дальнейшего является новое понятие, а именно понятие определенного интеграла.
Для того чтобы естественно прийти к этому новому понятию, мы будем исходить из интуитивного представления площади. Оно же

87]
§ 8. Неопределенный интеграл
261
будет служить нами для выяснения связи между понятием определенного интеграла и понятием первообразной функции. Таким образом, рассуждения следующих двух номеров, основанные на интуитивном представлении площади, не являются строгими доказательствами новых фактов. Логически строгая схема построения основ интегрального исчисления указана в конце [88]. Она приведена полностью в конце настоящей главы. Определенный интеграл как предел суммы. Отметим на плоскости XOY график функции f (x), причем мы считаем, что
Рис. этот график представляет собою непрерывную кривую, лежащую целиком над осью, те. считаем, что все ординаты этого графика положительны. Рассмотрим площадь, ограниченную осью, этим графиком и двумя ординатами x = a ирис, и постараемся найти величину этой площади. Разобьем для этого промежуток (a, b) на n частей в точках a = x
0
< x
1
< x
2
< . . . < x k−1
< x k
< . . . < x n−1
< x n
= Рассматриваемая площадь S
ab разобьется на n вертикальных полос, причем я полоса имеет основание длины (x k
− x k−1
). Обозначим через m и M
k соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f (x) в промежутке (x k−1
, x k
), те. наименьшую и наибольшую ординаты нашего графика в этом промежутке. Площадь полоски лежит между площадями двух прямоугольников с общим основанием (x k−1
, x k
) (рис. 116) и с высотами m и M
k
. Эти прямоугольники являются входящими выходящим прямоугольниками для й полоски. Таким образом, величина й полоски заключается между площадями упомянутых двух прямоугольников,
т. е. между двумя числами m
k
(x k
− x k−1
) и M
k
(x k
− x k−1
),
Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения
[87
Рис. Риса потому вся рассматриваемая площадь S
ab будет лежать между суммами площадей упомянутых входящих и выходящих прямоугольников, те. вся площадь S
ab будет лежать между суммами s
n
= m
1
(x
1
− x
0
)+m
2
(x
2
− x
1
) + . . . + m k
(x k
− x k−1
) + . . . +
+m n−1
(x n−1
− x n−2
) + m n
(x n
− x n−1
),
(4)
S
n
= M
1
(x
1
− x
0
)+M
2
(x
2
− x
1
) + . . . + M
k
(x k
− x k−1
) + . . . +
+M
n−1
(x n−1
− x n−2
) + M
n
(x n
− x Таким образом, мы имеем неравенство Построим теперь вместо входящего и выходящего прямоугольников для каждой полоски какой-либо средний прямоугольник,
принимая, как всегда, за основание (x k
− x k−1
) и взяв за высоту какую-либо ординату f (ξ
k
) нашего графика, соответствующую любой точке ξ
k из промежутка (x k−1
, x k
) (рис. 117). Рассмотрим сумму площадей этих средних прямоугольников f (ξ
1
)(x
1
− x
0
) + f (ξ
2
)(x
2
− x
1
) + . . . + f (ξ
k
)(x k
− x k−1
)+
+ . . . + f (ξ
n−1
)(x n−1
− x n−2
) + f (ξ
n
)(x n
− x n−1
). (Она, также как и площадь S
ab
, будет заключаться между суммами площадей входящих и выходящих прямоугольников, темы будем иметь неравенство s
n
6
S
′
n
6
S
n
(7)

87]
§ 8. Неопределенный интеграл
263
Будем теперь беспредельно увеличивать число n делений промежутка) ипритом так, чтобы наибольшая из разностей k
− x стремилась к нулю. Так как функция f (x) по условию непрерывна, то разность (M
k
− m k
) между наибольшими наименьшим ее значениями в промежутке (x k−1
, x k
) будет стремиться к нулю при беспредельном уменьшении длины этого промежутка,
независимо от его положения в основном промежутке (a, b) (свойство непрерывной функции [35]). Таким образом, если мы обозначим через ε
n наибольшую из разностей, (M
2
−m
2
), . . . , (M
k
−m k
), . . . , (M
n−1
−m n−1
), (M
n
−m тов силу сказанного, при упомянутом выше предельном переходе число ε
n будет стремиться к нулю. Определим теперь разность между суммой площадей выходящих прямоугольников и суммой площадей входящих прямоугольников s n
= (M
1
− m
1
)(x
1
− x
0
) + (M
2
− m
2
)(x
2
− x
1
) + . . . +
+ (M
k
− m k
)(x k
− x k−1
) + . . . + (M
n
− m n
)(x n
− x откуда, заменяя все разности (M
k
− m k
) наибольшей ε
n и помня,
что все разности (x k
− x k−1
) — положительны s n
6
ε
n
(x
1
− x
0
) + ε
n
(x
2
− x
1
) + . . . + ε
n
(x k
− x k−1
) + . . . +
+ ε
n
(x n
− x то есть s n
6
ε
n
[(x
1
− x
0
) + (x
2
− x
1
) + . . . + (x k
− x k−1
) + . . . +
+ (x n
− x n−1
)] = ε
n
(x n
− x
0
) = ε
n
(b − Мы можем, таким образом, написать 6 S
n
− s n
6
ε
n
(b − В математической литературе такая величина часто называется рангом дробления
Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения
[87
то есть lim n→∞
(S
n
− s n
) = С другой стороны, при всяком n мы имели и величина площади S
ab есть определенное число. Из формул (и (9) непосредственно следует, что величина площади S
ab является общим пределом s и S
n
, те. площадей выходящих и входящих прямоугольников s n
= lim S
n
= Так как, с другой стороны, сумма средних прямоугольников как мы видели, лежит между s и S
n
, то иона должна стремиться к площади S
ab
, те Эта сумма S
′
n является более общей по сравнению с суммами s
n итак как в ней мы можем произвольно выбирать ξ
k из промежутка (x k−1
, x k
) ив частности, можем брать f (ξ
k
) равной наименьшей ординате m или наибольшей M
k
. При таком выборе сумма S
′
n превращается в суммы s и Предыдущие рассуждения приводят нас к следующему:
Если функция f (x) непрерывна в промежутке (a, b) и если мы,
разбив этот промежуток на n частей в точках a = x
0
< x
1
< x
2
< . . . < x k−1
< x k
< . . . < x n−1
< x n
= b и обозначив через x = ξ
k любое значение из промежутка k−1
, x k
), вычислим соответствующее значение функции f (ξ
k
) и составим сумму (ξ
k
)(x k
− x то при беспредельном возрастании числа делений n промежутка и беспредельном уменьшении наибольшей из разностей (x k
−x Знак n
P
k=1
f
(ξ
k
)(x k
− x k−1
) есть сокращенное обозначение суммы (6).

87]
§ 8. Неопределенный интеграл
265
эта сумма стремится к определенному пределу. Предел этот равен площади, ограниченной осью OX, графиком функции f (x) и двумя ординатами x = a, x = Упомянутый предел называется определенным интегралом от функции f (x), взятым попеременной между нижним пределом x = a и верхними обозначается следующим символом b
Z
a f (Заметим, что существование предела I суммы (10) при беспредельном уменьшении наибольшей из разностей (x k
−x k−1
), сводится к следующему утверждению при любом заданном положительном числе ε существует такое положительное число η, что −
n
X
k=1
f (ξ
k
)(x k
− x k−1
)
< при любом разбиении и выборе точек ξ
k из промежутка (x k−1
, x если наибольшая из (положительных) разностей x k
− x k−1
< Этот предел I и является определенным интегралом.
Отметим, что множество значений сумм (10) при всевозможных разбиениях промежутка (a, b) на части и всевозможном выборе Рис. нельзя упорядочить так, чтобы образовалась упорядоченная переменная. Предел суммы надо понимать лишь так,
как это указано выше (с помощью и Выше мы предполагали,
что график функции f (x) находится целиком под осью, те. что все ординаты этого графика положительны. Рассмотрим теперь общий случай, при котором некоторые части этого графика находятся над осью, а другие под осью OX (рис. Если мы ив этом случае составим сумму (6), то слагаемые f (ξ
k
)(x k
− x k−1
), соответствующие частям графика, лежащим под
Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения
[87
осью OX, будут отрицательными, так как разность (x k
− x k−1
) положительна и ордината f (ξ
k
) отрицательна.
После перехода к пределу получится определенный интеграл,
который будет учитывать площади, находящиеся над осью OX со знаком (+) и под осью OX со знаком (−), те. в этом общем случае определенный интеграл a
Z
b f (x)dx будет давать алгебраическую сумму площадей, заключенных между осью OX, графиком функции f (x) и ординатами x = a и x = b. При этом площади над осью OX будут получаться с положительным знакома под осью OX — с отрицательным.
Как мы увидим в дальнейшем, мы приходим к нахождению предела суммы вида (6) не только в вопросе вычисления площади, но и во многих, весьма разнообразных, других задачах естествознания.
Приведем только один пример. Пусть некоторая точка M передвигается по оси OX от абсциссы x = a к абсциссе x = b, и на нее действует некоторая сила T , направленная также по оси OX. Если сила T постоянная, то работа, которую она совершает при передвижении точки из положения x = a в положение x = b, определяется произведением R = T (b − a), те. произведением величины силы на пройденный точкой путь. Если сила T — переменная, то написанная формула больше неприменима. Положим, что величина силы зависит от положения точки на оси OX, те. является функцией абсциссы точки T = f (Чтобы вычислить работу в этом случае, разобьем весь путь,
пройденный точкой, на определенные части a = x
0
< x
1
< x
2
< . . . < x k−1
< x k
< . . . < x n−1
< x n
= b и рассмотрим одну из этих частей (x k−1
, x k
). С ошибкой тем меньшей, чем меньше длина (x k
− x k−1
), мы можем считать, что сила,
действовавшая на точку при передвижении ее от x к x k
, постоянна и совпадает со значением этой силы f (ξ
k
) в некоторой точке из промежутка (x k−1
, x k
). Поэтому для работы на участке

87]
§ 8. Неопределенный интеграл k−1
, x k
) мы получим приближенное выражение f(ξ
k
)(x k
− x и для всей работы будем иметь приближенное пока выражение вида При беспредельном увеличении числа делений n и беспредельном уменьшении наибольшей из разностей (x k
− x k−1
) мы получим в пределе определенный интеграл, дающий точную величину искомой работы =
b
Z
a f (Отвлекаясь от каких бы тони было геометрических или механических истолкований, мы можем теперь установить понятие об определенном интеграле от функции f (x) по промежутку a 6 x 6 b как о пределе суммы вида (6). Второй основной задачей интегрального исчисления и является изучение свойств определенного интеграла и, прежде всего, его вычисление. Если f (x) — заданная функция, аи заданные числа, то определенный интеграл b
Z
a f (x)dx есть некоторое определенное число. Знак
R
представляет собою измененную букву S и должен напоминать о той сумме, которая при предельном переходе дала величину определенного интеграла. Подынтегральное выражение f (x)dx должно напоминать о виде слагаемых этой суммы, а именно о f (ξ
k
)(x k
− x k−1
). Буква стоящая под знаком определенного интеграла, называется обычно переменной интегрирования. Отметим по поводу этой буквы одно важно обстоятельство. Величина интеграла, как мы уже упомянули, есть определенное число, независящее, конечно, от обозначения
Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения
[88
переменной интегрирования x, и мы можем в определенном интеграле обозначать переменную интегрирования любой буквой. Это не будет иметь, очевидно, никакого влияния на величину интеграла, которая зависит лишь оттого, каковы ординаты графика f (и пределы интегрирования a и b. Итак, обозначенные независимой переменной никакой роли не играет, те, например f (x)dx =
b
Z
a f (Вторая задача интегрального исчисления — вычисление определенного интеграла — представляет собою на первый взгляд довольно сложную задачу составления суммы вида (6) и затем перехода к пределу. Заметим, что при этом предельном переходе число слагаемых в упомянутой сумме будет беспредельно расти, а каждое из них будет стремиться к нулю. Кроме того, на первый взгляд эта вторая задача интегрального исчисления не имеет никакой связи с первой задачей о нахождении первообразной функции для заданной функции. В следующем номере мы покажем, что обе задачи тесно связаны одна с другой и что вычисление определенного интеграла b
R
a f (x)dx совершается весьма просто, если известна первообразная функция для f (x).
88. Связь определенного и неопределенного интегралов.
Рассмотрим опять площадь S
ab
, ограниченную осью OX, графиком функции f (x) и ординатами x = a и x = b. Вместе с этой площадью рассмотрим и часть ее, ограниченную левой ординатой x = a и некоторой подвижной ординатой, отвечающей переменному значению (рис. Величина этой площади S
ax будет, очевидно,
зависеть оттого, в каком месте мы поставим правую ординату, т. е.
будет функцией от x. Эта величина будет изображаться определенным интегралом от функции f (x), взятым от нижнего предела a до верхнего предела x. Так как буква x занята для обозначения верхнего предела, то мы для избежания путаницы будем обозначать переменную интегрирования другой буквой, а именно буквой

88]
§ 8. Неопределенный интеграл
269
Рис. 119.
t. Таким образом, мы можем написать f (Рис. Здесь мы имеем определенный интеграл с переменным верхним пределом x, и его величина есть, очевидно, функция этого предела. Покажем,
что эта функция является одной из первообразных функций для f (x). Для вычисления производной от этой функции рассмотрим сперва ее приращение ∆S
ax
, соответствующее приращению ∆x независимой переменной x. Очевидно, имеем
(рис. 120):
∆S
ax
= площ. P
1
P Обозначим через m и M , соответственно, наименьшую и наибольшую ординаты графика f (x) в промежутке (x, x + ∆x). Криволинейная фигура P
1
P QQ
1
, начерченная в большом масштабе на рис. 120, будет целиком лежать внутри прямоугольника с высотой и основанием ∆x и будет заключать внутри себя прямоугольник с высотой m и тем же основанием, а потому m∆x 6 ∆S
ax
6
M или, разделив на ∆x:
m 6
∆S
ax
∆x
6
M.
Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения
[88
Когда ∆x → 0, обе величины m ив силу непрерывности функции f (x) стремятся к общему пределу — ординате P
1
P = f (кривой в точке x, а потому lim
∆S
ax
∆x
= f (что мы и хотели доказать. Полученный результат мы можем формулировать следующим образом определенный интеграл с переменным верхним пределом x
Z
a f (t)dt есть функция этого верхнего предела, производная от которой равна подынтегральной функции f (x) при верхнем пределе. Иначе говоря, определенный интеграл с переменным верхним пределом есть первообразная функция для подынтегральной функции.
Установив связь между понятиями определенного и неопределенного интегралов, покажем теперь, каким образом можно вычислять величину определенного интеграла b
Z
a f (если известна какая-либо первообразная функция F (x) для f (Как мы показали, определенный интеграл с переменным верхним пределом есть тоже первообразная функция для f (x), ив силу можем написать x
Z
a f (t)dt = F (x) + где C есть некоторая постоянная. Для определения этой постоянной заметим, что если у площади S
ax правая ордината совпадает
∗
Здесь, вообще говоря, неявно используется предположение о непрерывности функции f (x).

88]
§ 8. Неопределенный интеграл
271
с левой, те, то величина площади обращается, очевидно, в нуль, те. левая часть в формуле (12) обращается в нуль при x = Следовательно, тождество это придает+ те (Подставляя найденное значение C в (12), получим x
Z
a f (t)dt = F (x) − F (Наконец, полагая здесь x = b, будем иметь b
Z
a f (t)dt = F (b) − F (a) или b
Z
a f (x)dx = F (b) − F (Разность вида [F (b)−F (a)] будем в дальнейшем обозначать символом Мы приходим, таким образом, к следующему основному правилу, выражающему величину определенного интеграла через значение первообразной функции величина определенного интеграла равна разности значений первообразной функции для подынтегральной функции при верхнем и нижнем пределах интегрирова- ния.
Формулированное правило показывает, что нахождение первообразной функции, те. решение первой задачи интегрального исчисления, решает и вторую задачу, те. вычисление определенного интеграла, и освобождает, таким образом, нас при вычислении определенного интеграла от сложных операций образования суммы) и перехода к пределу.
В качестве примера найдем определенный интеграл
1
Z
0
x
2
dx.
∗
Эта формула часто называется формулой Ньютона—Лейбница.
Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения
[88
Первообразной функцией для является функция Пользуясь выведенным нами правилом, будем иметь =
1 3
x
3 1
0
=
1 3
· 1 3
−
1 3
· 0 3
=
1 Если бы мы, не пользуясь первообразной функцией, стали вычислять предложенный определенный интеграл непосредственно из его определения как предела суммы, то пришли бык гораздо более сложному вычислению, которое вкратце воспроизведем. Разобьем промежуток (0, 1) на n равных частей точками <
1
n
<
2

Смотрите также файлы