ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 30.11.2023
Просмотров: 126
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
— набор этих переменных. Введем обозначение: 
, где 
— параметр, равный 0 или 1. Очевидно, что 
Тогда функцию 
можно представить в виде:
, (1.13.4)
где дизъюнкция берется по всевозможным наборам значений переменных
или
, (1.13.5)
где символ
означает, что конъюнкции берутся по тем наборам переменных, которые указаны под ним. Нормальные формы позволяют дать критерий равносильности двух произвольных формул 
и 
.
Аппарат булевых функций используется для проектирования цифровых устройств и базовых элементов компьютерных систем.
Первичным понятием теории множеств является понятие самого множества. Множество — это совокупность некоторых (произвольных) объектов, объединенных по какому-либо признаку. Элементы множества при этом должны быть различными. Множество обозначается парой скобок
, внутри которых либо просто перечисляются элементы, либо описываются их свойства. Например, 
— множество натуральных чисел, удовлетворяющих условию 
, очевидно, пусто. 
сложение, умножение
— множество основных арифметических операций. Пустое множество обозначается знаком . Если необходимо указать, что объект 
является элементом множества , то пишут 
( принадлежит ), наоборот запись 
говорит о том, что не принадлежит 
.
Если каждый элемент множества является элементом множества 
, то пишут 
или 
и говорят, что множество
является подмножеством множества
. Если 
есть подмножество множества 
, причем 
, то пишут 
или 
. Множества, состоящие из одних и тех же элементов, называются равными, то есть 
, в противном случае 
. С помощью скобок и операций над множествами можно построить новые множества, более сложные, чем исходные.
Объединение (или сумма). Эта операция над множествами обозначается
, определяется как 
. Все операции над множествами можно иллюстрировать с помощью диаграмм Эйлера5- Венна6. Если за некоторое универсальное множество, содержащее как подмножества все другие множества, обозначить 
(или 
) и изобразить его в виде всей плоскости, то любое множество 
можно изобразить в виде части плоскости, то есть в виде некоторой фигуры, лежащей на плоскости. Множество 
объединение множеств и , на рис. 1.7 заштриховано. 
.
Р
ис. 1.7.
Объединение множеств
Рис. 1.8. Пересечение множеств
Пересечением (или произведением) двух множеств называется такое множество
, которое состоит из элементов, принадлежащим одновременно обоим множествам, то есть 
. Пересечение множеств 
и заштриховано и изображено на рис. 1.8.
Разностью двух множеств и называется множество 
, состоящее из тех и только тех элементов, которые входят в и одновременно не входят в , то есть 
(рис. 1.9). Если, в частности, подмножество 
, то разность 
обозначается 
и называется дополнением множества (рис. 1.10).
Рис. 1.9. Разность множеств
Рис. 1.10. Дополнение множества
С
имметрической разностью или кольцевой суммой множеств и называется множество 
(рис. 1.11). Очевидно, что 
. Если
и 
, то пару элементов 
называют упорядоченной парой, причем пары 
и 
равны тогда и только тогда, когда 
и 
.
Р
ис. 1.11. Симметрическая разность
Множество, элементами которого являются все упорядоченные пары
, , 
называется прямым или декартовым произведением множеств и и обозначается 
. Например, 
, 
, а 
. Таким образом, декартово произведение не подчиняется коммутативному закону, и 
справедливо, если 
. Произведение 
называется декартовым квадратом.
Свойства операций объединения
, где — параметр, равный 0 или 1. Очевидно, что Тогда функцию можно представить в виде: , (1.13.4)где дизъюнкция берется по всевозможным наборам значений переменных
или , (1.13.5)где символ
означает, что конъюнкции берутся по тем наборам переменных, которые указаны под ним. Нормальные формы позволяют дать критерий равносильности двух произвольных формул и . Аппарат булевых функций используется для проектирования цифровых устройств и базовых элементов компьютерных систем.
1.13.2. Элементы теории множеств
Первичным понятием теории множеств является понятие самого множества. Множество — это совокупность некоторых (произвольных) объектов, объединенных по какому-либо признаку. Элементы множества при этом должны быть различными. Множество обозначается парой скобок
, внутри которых либо просто перечисляются элементы, либо описываются их свойства. Например, — множество натуральных чисел, удовлетворяющих условию , очевидно, пусто. сложение, умножение — множество основных арифметических операций. Пустое множество обозначается знаком . Если необходимо указать, что объект является элементом множества , то пишут ( принадлежит ), наоборот запись говорит о том, что не принадлежит .Если каждый элемент множества
является элементом множества , то пишут или и говорят, что множество
является подмножеством множества
. Если есть подмножество множества , причем , то пишут или . Множества, состоящие из одних и тех же элементов, называются равными, то есть , в противном случае . С помощью скобок и операций над множествами можно построить новые множества, более сложные, чем исходные.Объединение (или сумма). Эта операция над множествами обозначается
, определяется как . Все операции над множествами можно иллюстрировать с помощью диаграмм Эйлера5- Венна6. Если за некоторое универсальное множество, содержащее как подмножества все другие множества, обозначить (или ) и изобразить его в виде всей плоскости, то любое множество можно изобразить в виде части плоскости, то есть в виде некоторой фигуры, лежащей на плоскости. Множество объединение множеств и , на рис. 1.7 заштриховано. .Р
ис. 1.7.
Объединение множеств
Рис. 1.8. Пересечение множеств
Пересечением (или произведением) двух множеств называется такое множество
, которое состоит из элементов, принадлежащим одновременно обоим множествам, то есть . Пересечение множеств и заштриховано и изображено на рис. 1.8.Разностью двух множеств
и называется множество , состоящее из тех и только тех элементов, которые входят в и одновременно не входят в , то есть (рис. 1.9). Если, в частности, подмножество , то разность обозначается и называется дополнением множества (рис. 1.10). Рис. 1.9. Разность множеств
Рис. 1.10. Дополнение множества
С
имметрической разностью или кольцевой суммой множеств
и называется множество (рис. 1.11). Очевидно, что
. Если
и , то пару элементов называют упорядоченной парой, причем пары и равны тогда и только тогда, когда и .Р
ис. 1.11. Симметрическая разность
Множество, элементами которого являются все упорядоченные пары
, , называется прямым или декартовым произведением множеств и и обозначается . Например, , , а . Таким образом, декартово произведение не подчиняется коммутативному закону, и справедливо, если . Произведение называется декартовым квадратом. Свойства операций объединения