Файл: 3. Метод наименьших квадратов и специальные интерполяционные многочлены.doc

. Это нули многочлена . При таком выборе

, (3.6.2)

причем любой другой выбор узлов дает большее значение верхней границы погрешности. Для формулы Тейлора, например, , то есть в раз хуже.

Перейдем теперь к отрезку . Его можно преобразовать к стандартному отрезку следующей заменой: . В этом случае

(3.6.3)

Тогда (3.6.4)

и минимум этой величины достигается при значениях , совпадающих с нулями многочлена . Таким образом, решение поставленной задачи дает выбор узлов

(3.6.5)

и ему соответствует минимальное значение верхней границы погрешности интерполяции, равное: (3.6.6)

---

3.7. Ряд Фурье¹ по многочленам Чебышева

Функциональный ряд вида - система базисных функций, называется рядом Фурье функции на отрезке по системе функций с весом на , если коэффициенты вычисляются по формулам вида (3.7.1)

Так как для полиномов Чебышева весовая функция равна: на ,

то (3.7.2)

Пример. Разложить в ряд Фурье по полиномам Чебышева функцию на отрезке .

Функция - четная, поэтому, как во всяком ряду Фурье, нечетные коэффициенты будут равны нулю, четные же можно сдвоить, уменьшив при этом интервал интегрирования вдвое. Тогда Вычислим коэффициенты разложения:

---

Итак,

Пример. По равномерной (а) и специальной (б) таблице значений функции найти и оценить погрешность. Использовать формулы Ньютона с разделенными разностями.
(а)

	0.1	0.6	1.1	1.6	2.1
	-1.000000	-0.221849	0.041393	0.204120	0.322219

(б)

	0.148944	0.512215	1.1	1.687785	2.051057
	-0.826977	-0.290548	0.041393	0.227317	0.311978

Так как таблицы короткие, то по ним можно вычислить разделенные разности лишь до четвертого порядка. Точки аргумента в таблице (б) - это нули многочлена Чебышева пятой степени, то есть точки, где , приведенные к отрезку по формуле

---

1







0.1 1.1 2.1 -1 1

-1 -1
Действительно,



Согласно теории, в случае расположения узлов интерполяции в нулях многочлена
Чебышева гарантирована минимальная погрешность интерполяции, равная , в отличие от обычной интерполяции по формуле Ньютона с разделенными разностями, где погрешность равна:

Построим для случаев (а) и (б) таблицы разделенных разностей.
(а)

0	0.1	-1.000000
			1.556302
1	0.6	-0.221849		-1.029818
			0.526484		0.552525
2	1.1	0.041393		-0.201030		-0.239005
			0.325454		0.074516
3	1.6	0.204120		-0.089256
			0.236198
4	2.1	0.322219

---

(б)

0	0.148944	-0.826977
			1.476663
1	0.512215	-0.290548		-0.958862
			0.564732		0.485784
2	1.100000	0.041393		-0.211318		-0.213107
			0.316313		0.080431
3	1.687785	0.227317		-0.087547
			0.233051
4	2.051057	0.311978

---