Файл: 3. Метод наименьших квадратов и специальные интерполяционные многочлены.doc

(3.5.3)

2. Являются решениями следующего дифференциального уравнения:

(3.5.4)

3. Определяются из формулы Родрига¹

(3.5.5)

4. Определяются рекуррентно:

(3.5.6)

Иногда в качестве полиномов Чебышева берут функции

. (3.5.7)

(3.5.8)

Многочлены Чебышева обладают множеством замечательных свойств.

Теорема 3.4. Полиномы Чебышева образуют на отрезке ортогональную систему с весом то есть

(3.5.9)

Действительно,

---

1







-1 1

и так далее.

-1
Теорема 3.5. При четном многочлен содержит только четные степени и является четной функцией, а при нечетном многочлен содержит только нечетные степени и является нечетной функцией.

Теорема 3.6. При старший коэффициент многочлена равен , то есть

---

Теорема 3.7. При многочлен имеет ровно действительных корней, расположенных на отрезке и вычисляемых по формуле

(3.5.10)

Теорема 3.8. При справедливо равенство . Если , то этот максимум достигается ровно в точках, которые находятся по формуле

(3.5.11)

При этом , то есть максимумы и минимумы многочлена Чебышева чередуются.

Теоремы 3.7 и 3.8 легко доказываются с помощью формулы (3.5.7).

Назовем величину уклонением многочлена от нуля. Тогда справедлива следующая, доказанная П.Л. Чебышевым в 1854 г. теорема.

Теорема 3.9. Среди всех многочленов фиксированной степени со старшим коэффициентом , равным единице, наименьшее уклонение от нуля, равное , имеет многочлен

Последнее свойство имеет особую ценность для приложений. Действительно, тогда для любого многочлена отличного от

---

, справедливо неравенство

. (3.5.12)

В силу формул (3.5.10) и (3.5.11) нули и точки экстремума полинома можно построить следующим образом: разделив полуокружность, опирающуюся на отрезок на частей, спроецируем полученные точки на диаметр. Нумеруя проекции слева направо, получим, что все проекции с нечетными номерами являются нулями полинома , а с четными – его точками экстремума. Из геометрических соображений вытекает, что как нули, так и точки экстремума полинома сгущаются к концам отрезка .

---

3.6. Решение задачи минимизации оценки погрешности

Предположим, что значение заданной на отрезке функции можно вычислить в произвольной точке . Однако по некоторым причинам целесообразнее заменить прямое вычисление функции вычислением значений ее интерполяционного многочлена. Для такой замены необходимо один раз получить таблицу значений в выбранных точках . При этом естественно стремиться к такому выбору узлов интерполяции, который позволит сделать минимальной величину .

Пусть о функции известно лишь то, что она непрерывно дифференцируема раз на отрезке . Тогда

(3.6.1)

Найдем теперь набор узлов интерполяции , при котором . Пусть сначала В этом случае величина (3.6.1) будет минимальна, если будет минимальна . Но этим свойством обладают полиномы Чебышева, следовательно, , и набор узлов определен

---