Файл: 3. Метод наименьших квадратов и специальные интерполяционные многочлены.doc

Используя метод наименьших квадратов, аппроксимируем ее многочленами первой и второй степени и найдем соответствующие средние квадратические уклонения

.

Вычисления, которые нужно провести, расположим по схеме, приведенной в такой таблице:


1	0.78	0.608	0.475	0.370	2.50	1.950	1.521
1	1.56	2.434	3.796	5.922	1.20	1.872	2.920
1	2.34	5.476	12.813	29.982	1.12	2.621	6.133
1	3.12	9.734	30.371	94.759	2.25	7.020	21.902
1	3.81	14.516	55.306	210.717	4.28	16.307	62.129
	11.61	32.768	102.761	341.750	11.35	29.770	94.605

а) Линейная модель

Таким образом, линейная модель имеет вид

б) Квадратичная модель

Отсюда

- вид квадратичной модели. Обе модели значительно отличаются друг от друга. Сравним исходные данные для

с соответствующими значениями

, полученными из обеих моделей, и вычислим


0.78	2.50	1.364	-1.136	1.290	2.404	-0.096	0.009
1.56	1.20	1.822	0.622	0.387	1.204	0.004	0.000
2.34	1.12	2.281	1.161	1.350	1.165	0.045	0.002
3.12	2.25	2.740	0.490	0.240	2.286	0.036	0.001
3.81	4.28	3.145	1.135	1.290	4.244	-0.036	0.001
				4.557			0.013

Таким образом,

Следовательно, данным для

в исходной таблице очень хорошо соответствует квадратичная модель. Линейная модель не адекватна исходным данным и должна быть отвергнута.

3.2. Лабораторная работа № 4. Аппроксимация функции по методу наименьших квадратов

Очень часто при анализе эмпирических данных необходимо найти явную функциональную зависимость между двумя величинами

, полученными в результате измерений. Поскольку опытные данные всегда содержат ошибки, то строить интерполяционный многочлен

не рационально, так как при интерполяции ошибки повторяются. Желательно по возможности сгладить и минимизировать ошибки наблюдений. Этот результат достигается построением многочлена наилучшего среднего квадратического приближения по методу наименьших квадратов.

Итак, если

аппроксимируется многочленом вида

, так что система базисных функций имеет вид

, то неизвестные коэффициенты многочлена

по методу наименьших квадратов определяются из решения системы (3.1.7).

В подразделе 3.1 описан пример «ручного» вычисления коэффициентов линейной и квадратичной модели по методу наименьших квадратов. Решим аналогичную задачу средствами пакета Mathcad различными способами. Сформируем вначале вектора исходных данных.

В алгебре матриц в среде Mathcad доступны несколько очень удобных встроенных функций, например, submatrix, stack и augment. Функция