Файл: Петрозаводский государственный университет.pdf

74
Урок 5. Понятие индексированной переменной
5.2. Операторы суммы

и произведения

Операция
Запись
Клавиша или ком-
бинация клавиш
Панель инструмен-
тов
Сумма
(индекс суммирования должен быть определен заранее) i
x i

Shift+4
(символ $)
Calculus
Сумма
(значения индекса сумми- рования задаются как элементы оператора)
1
N
i x
i


Ctrl+Shift+4
Calculus
Произведение
(индекс произведения должен быть определен заранее) i
x i

Shift+3
(символ #)
Calculus
Произведение
(значения индекса произ- ведения задаются как элементы оператора)
1
N
i x
i


Ctrl+Shift+3
Calculus
Ввод оператора приводит к выводу на экран соответствующего шаблона с пустыми зна- коместами, которые следует заполнить требуемыми выражениями:






Индекс в операторах является простой переменной и может принимать только неотрица- тельные целые значения. Выражения, стоящие под знаками суммы или произведения, са- ми в свою очередь могут содержать названные операторы. Например,
1 10
i cos 2 j

(
)
1
i j
j



i
N
j j
2













Использование операторов суммы и произведения, для которых указывается только имя переменной индекса, требует предварительного ее задания как переменной диапазона с произвольным целым шагом.
Пример 5.5.
Для заданного N найдите сумму:
1 2 3

2 3 4



N
N
1

(
) N
2

(
)

Решение:
N
100

S
1
N
n n
n
1

(
)
n
2

(
)




S
3.217

Пример 5.6.
Для числовой последовательности, состоящей из N членов, n-е значение которой задается выражением sin(2n+1), найти отношение суммы членов с четными но- мерами к сумме членов с нечетными номерами. Нумерация членов начинается с единицы.

Урок 5. Понятие индексированной переменной
75
Решение
:
N
20

i
2 4

N


j
1 3

N


k i
sin 2 i

1

(
)

j sin 2 j

1

(
)


k
1.011


Второй вид операторов суммы и произведения содержит задание диапазона изменения переменной индекса, шаг изменения значений которой по умолчанию равен 1. С исполь- зованием оператора суммы второго вида решение примера 5.2 может быть оформлено следующим образом:
N
20

1
N
i sin 2 i

1

(
)
mod i 2

(
)
0
(
)



1
N
i sin 2 i

1

(
)
mod i 2

(
)
1
(
)



1.011


Пример 5.7.
Найти значение выражения b
1
+b
2
s
1
+b
3
s
1
s
2
+ … +b
N
s
1
s
2

…

s
N-1
, где b
i
=i
2

sin(i) и s i
=cos(2i).
Решение:
N
10

i
1 N


b i
i
2
sin i
( )


s i
cos 2 i

(
)

b
1 2
N
i b
i
1
i 1

j s
j














1.791



76
Урок 5. Понятие индексированной переменной
Пример 5.9.
Найдите среднее арифметическое положительных элементов числовой по- следовательности, члены которой задаются по формуле: c n
=n
2
sin(n+2), n
=1,2,…,N.
Решение:
N
20

n
1
N


c n
n
2
sin n
2

(
)


Определим количес тво положительных чле нов:
m n
c n
0





m

Определим с реднее арифметичес кое положительных членов:
Sp
1
m n
c n
c n
0









Sp

Пример 5.10.
Известен график движения по некоторому маршруту, который задается значениями двух числовых характеристик на его отдельных участках: скорость и время движения на участке. Требуется найти общую длину маршрута.
Решение:
Опре деление общей длины маршрута
N
10

Количес тво учас тков i
1
N


Скорос ть (км/час ) и время (мин.) движения на учас тках маршрута:
v i
60 65 50 43 60 65 70 75 70 60

t i
10 12 15 6
10 5
10 15 9
6

Общая длина маршрута:
S
i v
i t
i
60



S
102.133

км
Пример 5.11.
Для проверки закона Ома проводились лабораторные исследования, когда к известному сопротивлению R=0,2 Ом подводили эталонные напряжения U
1
, U
2
,…, U
n
, в результате чего были измерены токи I
1
, I
2
,…, I
n
: k
1 2
3 4
5 6
7 8
9
U
[в]
25 30 35 40 45 50 55 60 65
I
[а]
121 144 182 201 220 248 277 302 319
Определите дисперсию D по формуле:

Урок 5. Понятие индексированной переменной
77
D
1
n
1

1
n k
I
k
Io k



2




I
где массив чисел Io
1
, Io
2
,…, Io n
–
массив чисел, определяемых по закону Ома I=U/R.
Выведите таблицы значений k, U, I, Io.
Решение:
n
9

k
1
n


R
0.2

U
k
25 30 35 40 45 50 55 60 65

I
k
121 144 182 201 220 248 277 302 319

Io k
U
k
R

Io k
125 150 175 200 225 250 275 300 325

D
1
n
1

k
I
k
Io k



2



D
21.875

Пример 5.12.
Требуется распределить некоторую сумму денег S между N рабочими бри- гады пропорционально количеству произведенных ими деталей p i
, I
=1,2,…,N.
Решение:
Расп ределе ние заработан ной суммы
N
5

Количес тво рабочих
S
2000

Рас пределяемая денежная с умма i
1
N


Количес тво произведенных деталей:
P
i
45 50 40 55 40

"Стоимос ть" одной детали:
cost
S
i
P
i


round x m

(
)
floor x 10
m

0.5



10
m



Заработок раб очих:
Z
i round P
i cost

2




Z
i
391.3 434.78 347.83 478.26 347.83


78
Урок 5. Понятие индексированной переменной
Пример 5.13.
Известны результаты экзамена N студентов группы. Требуется определить среднюю оценку за экзамен и распределение оценок (количество «пятерок», «четверок»,
«троек», «двоек»). Полученное распределение представить на диаграмме.
Решение:
Анализ результатов экзамена
N
15

Количес тво с тудентов i
1
N


Номера с тудентов
Оценки за эк замен:
matem i
3 4
2 5
5 4
4 4
3 5
3 3
2 5
4

Средняя оценка:
Sr
1
N
i matem i



Sr
3.733

Определим к оличес тво "двоек" , "троек ", "четверок ", " пятерок ":
o
2 5


Kol o
1
N
i matem i
o





1 2
3 4
5 6
0 2
4 6
Kol o
o
Kol o
2 4
5 4

Замечание. При построении диаграммы было открыто диалоговое окно задания параметров графика и выбранo значение Bar параметра Type
(тип линии) для первой линии traces_1 на вклад- ке
Traces
(см. рис. 5.1).
Кроме того, явно указаны наименьшее (равное
1) и наибольшее (равное 6) значения на горизон- тальной оси, после активизации соответствую- щих знакомест.
Рис. 5.1. Диалоговое окно задания параметров активного графика (Вкладка
Traces)

Урок 5. Понятие индексированной переменной
79
5.3. Задание массивов (векторов и матриц)
MathCAD может выполнять операции над массивами – векторами (массив, состоящий из одного столбца) и матрицами (массив из N строк и M столбцов).
Вставка в документ массива выполняется по команде
Matrix
меню
Insert
, или с помощью комбинации клавиш Ctrl+M, или соответствующей кнопки панели инструментов
Matrix
Любой из выбранных способов вставки потребует задания размерности массива в диало- говом окне (рис.5.2), где параметры
Rows и
Columns означают соответственно количество строк и столбцов в массиве.
Рис. 5.2. Диалоговое окно Insert Matrix (Вставка массива)
В MathCAD вектор-строка задается как двумерный массив, состоящий из одной строки.
После закрытия окна по нажатию кнопки OK в документ будет вставлен шаблон массива заданной размерности с незаполненными знакоместами. Ниже в таблице приведены шаб- лоны, соответствующие указанной в клетках первой строки размерности:
3 x
1 3 х
3 1 х
3












(
)
Шаблон следует заполнить заданными значениями для элементов массива, перемещая курсор по знакоместам. Заполнение может выполняться в любом порядке, редактирование введенных значений подчиняется тем же правилам, что и редактирование формул. Знако- места могут быть заполнены не обязательно числами, но и произвольными выражениями, допустимыми в MathCAD, например:
Rez
T
24 15.1 1
18 15.1 1
17 14.5 2
11 13.4 3
20 13.4 3
23 12.9 4
21 12.7 5
10 12.5 6
14 12.4 7
15 12.4 7









3.6
a
1.5
a b

0
a
2 4

12

sin x
( )
4 17












Массиву можно присвоить имя с помощью оператора присваивания:
Имя := Массив
Например,

80
Урок 5. Понятие индексированной переменной
X
12 4

5









A
1 23 12 2

2.5 1

0 1
1









y
12 2

1
(
)

Обращение к элементам массива осуществляется по имени с указанием индекса (для век- тора-столбца) или индексов (для матрицы). Элемент матрицы идентифицируется парой индексов, которые разделяются запятыми. Первый индекс определяет номер строки мат- рицы, второй – номер ее столбца, на пересечении которых находится элемент.
Наименьшее значение номеров строки и столбца определяет встроенная перемен- ная ORIGIN. Если она имеет значение 0, то нумерация строк и столбцов в массиве начи- нается с 0. Установить желаемый способ нумерации можно, изменив значение перемен- ной ORIGIN с помощью оператора присваивания.
Например, для заданных выше массивов X, A и y будем иметь:
ORIGIN 0

X
0 12

A
0 2

0

y
0 1

2


ORIGIN 1

X
1 12

A
1 3

0

y
1 2

2


Если индекс принимает недопустимое значение, то возникает ошибка:
Value of subscript or superscript is too big (or too small) for this array
Понятно, что элементы массива могут быть заданы с помощью индексированной пере- менной.
Пример 5.14.
Даны два вектора размерности N. Построить третий вектор, элементы ко- торого равны наибольшему из соответствующих элементов заданных векторов.
Решение:
ORIGIN 1

N
6

i
1
N


x
2 4.5

12 9
1

0

















y
0 12 3

0 14 2

















z i
if x i
y i

x i

y i




z
2 12 12 9
14 2

















Замечание. Можно вводить и выводить вектора-столбцы как транспонированные векто- ра-строки (см. п. 5.4): x
2 4.5

12 9 1

0
(
)
T

y
0 12 3

0 14 2
(
)
T

z
T
2 12 12 9 14 2
(
)

Пример 5.15.
Известны координаты N точек на плоскости. Постройте матрицу расстояний между точками. Найдите длину ломаной, последовательно соединяющей точки с четными номерами. Нумерация точек начинается с 1.
Решение:

Урок 5. Понятие индексированной переменной
81
ORIGIN 1

N
6

i
1
N


j
1
N


x i
1 3

0 1
4 6

y i
0 2

3

0 6
1


R
i j

x i
x j



2
y i
y j



2


Матрица рас с тояний:
R
0 4.472 3.162 0
6.708 5.099 4.472 0
3.162 4.472 10.63 9.055 3.162 3.162 0
3.162 9.849 6.325 0
4.472 3.162 0
6.708 5.099 6.708 10.63 9.849 6.708 0
7.28 5.099 9.055 6.325 5.099 7.28 0

















Длину ломаной, с оединяющей точки с четными номерами, можно найти так:
i
2 4

N
2



L
i x
i 2

x i



2
y i 2

y i



2



L
9.571

или так: L
i
R
i i 2




L
9.571

5.4. Операции над матрицами и векторами
Над массивами в MathCAD могут выполняться бинарные арифметические операции: сло- жение, вычитание, умножение массивов при условии согласования размерностей операн- дов, а также умножение массива на скалярное выражение. Перечень унарных операций дан в таблице 5.1.
Таблица 5.1.
Унарные операции над массивами
Операция
Запись
Комбинация
клавиш
Панель
инструментов
Транспонирование матрицы
A
T
Ctrl+1
Matrix
Обращение матрицы
A
-1
^
Matrix
Определитель матрицы, длина вектора
|A|
|
Matrix
Столбец матрицы
A

Ctrl+6
Matrix
Элемент вектора a
n
[
Matrix
Элемент матрицы
A
i,j
[
Matrix
Пример 5.16.
Даны две матрицы A и B:
Выполните над матрицами следующие действия:
3(A+B)(2B
-1
-A)+A
2













2 5
1 4
2 1
2 3
2
A













4 0
2 1
3 2
0 4
1
B

82
Урок 5. Понятие индексированной переменной
Решение:
A
2 1
1

3

2 5
2 4
2









B
1

2

2 4
3 0
0 1
4









3
A
B

(
)

2 B
1


A




A
2

1.857

7.714 3.571 29.857

85.286

85.429

30.786

60.429

71.643










Замечание 1. При попытке найти обратную матрицу, определитель которой равен нулю:
A
1 2
3

2

2 0
2 3

1









A
0

A
1


A
1

выводится сообщение об ошибке:
Matrix is singular.
Cannot compute its inverse.
Замечание 2. Если операция не может быть применена к матрицам, которые не являются квадратными (например, нахождение обратной матрицы, вычисление определителя), то выводится сообщение об ошибке:
This matrix must be square. It should have the same number of rows as columns.
(Матрица должна быть квадратной. Она должна иметь одинаковое количество строк и столбцов).
Замечание 3. Если при выполнении операций нарушается требование согласования ко- личества строк и столбцов массивов, как, например, в следующем примере:
A
1 2
3

2

2 0
2 3

1









B
1 6
6

4 3
5









B A


B A

A
B


A
B

то выводится сообщение об ошибке:
The number of rows and/or columns in these arrays do not match.
Пример 5.17.
Решите систему линейных уравнений с помощью формул Крамера (с по- мощью определителей) и методом обратной матрицы.
Решение
:
ORIGIN 1

A
1 1
2 0
3 4

2

2 0
1 3
1 3
0 1
1












B
2 6
7 3












N
4


Урок 5. Понятие индексированной переменной
83
x
T
2 1

0 1
(
)

x
A
1

B


Решение с ис темы AX =B с помощью обр атной матрицы x
T
2 1

0 1
(
)

x i

i

m


4
D4

D4
i 4

B
i

D4
A


3
D3

D3
i 3

B
i

D3
A


2
D2

D2
i 2

B
i

D2
A


1
D1

D1
i 1

B
i

D1
A

i
1
N



m
10


m
A

Решение с ис темы A X=B с помощью определителей
Замечание 1. Сформировать вспомогательные матрицы D1, D2, D3 и D4 можно и другим способом, например, используя оператор выделения столбца:
D1 1
 
B

D2 2
 
B

D3 3
 
B

D4 4
 
B

Замечание 2. Если требуется выделить заданную строку матрицы, например, вторую строку матрицы A, то это можно выполнить следующим образом:
A1
A
T
 
2
 
T

A1 1
4

1 0
(
)

Полученная строка A1 – это двумерный массив и к ее элементам следует обращаться с указанием двух индексов, первый из которых 0 или 1, в зависимости от значения встроен- ной переменной ORIGIN.
Пример 5.18.
Замените заданный столбец матрицы A на заданную строку матрицы B.
Решение:
ORIGIN 1

A
1 2
3

8 3

4 3

3 3
0 2
7









B
12 43 56 12

39 11







nc
3

ns
2

A
nc
 
B
T
 
ns
 

A
1 2
3

8 3

4 43 12

11 0
2 7








