ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 03.12.2023
Просмотров: 190
Скачиваний: 2
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Урок 4. Решение уравнений и систем уравнений
65
Если требуется найти корни, лежащие в заданной области, т. е. решить совместно уравне- ния и неравенства, то задаваемые начальные значения также должны удовлетворять нера- венствам. Допустим, мы ищем только положительные корни предыдущей системы урав- нений. Если при тех же начальных значениях добавить в решающий блок неравенства, то получим следующий результат: x
4
y
Y x
( )
Given x
2
y
2
15
0
y
3
sin x
( )
0.2
x
0
Find x y
(
)
3.581
1.476
Если начальное приближение выбрано неудачно, то при попытке найти решение будет выдано сообщение об ошибке, как, например, в следующем фрагменте MathCAD- документа: x
4
y
Y x
( )
Given x
2
y
2
15
0
y
3
sin x
( )
0.2
x
0
Find x y
(
)
Find x y
(
)
(
Решение не найдено. Попробуйте изменить начальное значение или точность).
Если определить графически начальные приближения невозможно, то задать их можно, исходя из анализа поведения конкретных функций.
4.3.
Вычисление производных и интегралов
В MathCAD встроены процедуры для численного определения производных функции в заданной точке. Для вычисления производной первого порядка служит оператор диффе- ренцирования, ввод которого можно выполнить нажатием кнопки панели
Calculus
или комбинацией двух клавиш
Shift
и
?
. Шаблон оператора имеет вид: d
d
Например, найдем производную функции y=x
2
в точке x=2: y x
( )
x
2
x
2
x y x
( )
d d
4
Чтобы вычислить производную порядка выше первого, можно последовательно приме- нить несколько раз оператор дифференцирования. Например, y x
( )
x
3 2
x
x
2
x x y x
( )
d d
d d
12
x x x y x
( )
d d
d d
d d
6
No solution not found. Try changing the guess value or the value of TOL or CTOL
«Знакоместо» для ввода выражения
«Знакоместо» для ввода имени скалярной переменной
66
Урок 4. Решение уравнений и систем уравнений
Однако лучше воспользоваться оператором дифференцирования n-го порядка
)
5
n
0
(
, вводимого нажатием кнопки панели инструментов
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ... 15
Calculus
или ком- бинацией клавиш
Ctrl+Shift+?.
Шаблон оператора имеет вид: d
d
Заметим, что при заполнении любого из двух знакомест для ввода порядка производной автоматически заполняется второе знакоместо.
Теперь предыдущие вычисления можно оформить так: y x
( )
x
3 2
x
x
2
2
x y x
( )
d d
2 12
3
x y x
( )
d d
3 6
Однако если требуется вычислить производную порядка выше 5, то придется последова- тельно применить несколько раз оператор дифференцирования n-го порядка. Например, найдем производную 7-го порядка функции
x
x
e cos в точке x=0.1
: x
0.1
5
x
2
x e
x cos x
( )
d d
2
d d
5 13.801
Если же указать порядок производной, равный 7, при заполнении соответствующего зна- коместа:
7
x y x
( )
d d
7
7
то будет выведено сообщение об ошибке:
This number must be between 0 and 5
(
это число должно быть между 0 и 5).
Если при выполнении вычисления MathCAD выводит сообщение об ошибке
Can
‟t converge to a solution
(
нет сходимости к решению), это значит, что с помощью реализованного в MathCAD численного метода не удается най- ти требуемое значение. Такое сообщение вы увидите, если, например, попытаетесь вы- полнить следующие вычисления: x x x x x cos x
( )
d d
d d
d d
d d
d d
x x x x x cos x
( )
d d
d d
d d
d d
d d
Поскольку производная функции является функцией, то ее можно использовать в Math-
CAD-выражениях, а также определять на ее основе другие функции. В частности, можно определить функцию-касательную и построить ее график.
«Знакоместо» для ввода порядка производной
«Знакоместо» для ввода выражения
«Знакоместо» для ввода имени скалярной переменной
Урок 4. Решение уравнений и систем уравнений
67
Пример 4.5
.
Постройте касательную к графику функции f(x)=x
3
+ 5x
2
-20x + 2 в точке x
0
=3.
Решение: MathCAD-документ может быть оформлен следующим образом: f x
( )
x
3 5
x
2
20
x
2
k x
( )
x f x
( )
d d
y x x0
(
)
k x0
(
)
x x0
(
)
f x0
(
)
x0 3
x
8
7.9
8
5 0
5 50 0 50 0 10 00
f x
( )
y x x0
(
)
f x0
(
)
x x
x0
Другой пример использования производной – нахождение экстремумов функции.
Пример 4.6.
Найти экстремумы кубического полинома у=0.5x
3
+x
2
-25x+10
Решение:
1) Зададим функцию: f x
( )
0.5
x
3
x
2
25
x
10
2) Определим функцию, которая является производной для f(x): d x
( )
x f x
( )
d d
3) Определим функцию для вычисления корней производной: r x
( )
root d x
( ) x
(
)
4) Построим график функции-производной. Для контроля можно также построить график исследуемой функции: x
9
8.9
9
5 0
5 20 0 20 0 40 0
f x
( )
d x
( )
x
68
Урок 4. Решение уравнений и систем уравнений
4) Из графика определим приближенные значения корней производной: x1 5
x2 5
x1
r x1
(
)
y1
f x1
(
)
5) Вычислим точные значения корней и соответствующие значения экстремумов: x1
r x1
(
)
y1
f x1
(
)
x1 4.803
y1 97.744
x2
r x2
(
)
y2
f x2
(
)
x2 3.47
y2 43.818
В MathCAD встроена также возможность вычисления определенных интегралов. Ввод оператора определенного интеграла выполняется нажатием кнопки панели инстру- ментов
Calculus
или комбинацией клавиш
Shift+7
(символ &)
Шаблон оператора имеет вид:
d
Рассмотрим пример использования оператора определенного интеграла при вычислении площади фигуры.
Пример 4.7.
Найти площадь фигуры, ограниченной двумя параболами:
y=-x
2
+6x-2 и g=x
2
-2x+4
Решение:
1) Кодируем выражения для заданных функций и для функции поиска точек пересечения: f x
( )
x
2
6
x
2
g x
( )
x
2 2
x
4
r x
( )
root f x
( )
g x
( )
x
(
)
2) Определяем графически приближенные значения переменной x в точках пересечения: x
0 0.1
4
0 1
2 3
4 10
f x
( )
g x
( )
x
3) Уточняем значение абсцисс точек пересечения: x1 1
x1
r x1
(
)
x1 1
x2 3
x2
r x2
(
)
x2 3
«знакоместо» для ввода верхнего предела
«знакоместо» для ввода имени ска- лярной переменной
«знакоместо» для ввода подынте- грального выражения
«знакоместо» для ввода нижнего предела
Урок 4. Решение уравнений и систем уравнений
69 4) Вычисляем площадь фигуры как разность определенных интегралов:
S
x1
x2
x f x
( )
d x1
x2
x g x
( )
d
S
2.667
Пример 4.8.
Найдите длину дуги следующих кривых:
1)
;
2 1
,
ln
2 1
2 4
1
x
x
x
y
2)
;
2
t
0
),
cos
1
(
5
),
sin
(
5
t
y
t
t
x
3)
2 0
,
3
r
Решение:
3
1 4
2
3 2
ln
2
( )
1 4
2
63.769
Сравните с точным значением интеграла:
L
63.769
L
0 2
r
2
r
d d
2
d
r
3
3)
Точное значение интеграла с овпадает с найденным.
L
40
L
0 2
t t
x t
( )
d d
2
t y t
( )
d d
2
d
y t
( )
5 1
cos t
( )
(
)
x t
( )
5
t sin t
( )
(
)
2)
Сравните с точным значением интеграла:
3 2
ln
2
( )
4 1.097
L
1.097
L
1 2
x
1
x y x
( )
d d
2
d
y x
( )
1 4
x
2 1
2
ln x
( )
1)
Для вычисления кратных интегралов оператор определенного интеграла последова- тельно применяется требуемое количество раз.
Пример 4.9.
Найдите объем тела
T
, ограниченного поверхностями: z = 0, z = x
2
+ y
2
, y = x
2
, y = 1.
70
Урок 4. Решение уравнений и систем уравнений
Решение:
Пример 4.9
V
1
1
x x
2 1
y x
2
y
2
d
d
V
0.838
Сравните с точным значением:
88 105 0.838
Пример 4.10.
Вычислите интеграл
T
dxdydz
z
xy
I
,
где
T –
область, ограни- ченная поверхностями: z = 0, z = y, y = x
2
, y = 1.
Решение:
I
1
1
x x
2 1
y
0
y z
x y
z
d
d
d
I
0
Заметим, что точное значение интеграла совпадает с найденным.
Пример 4.11.
Вычислите координаты центра тяжести однородной пластины, огра- ниченной кривой y=sin(x) и прямой x=0.
Решение:
M x
0
x
0
sin x
( )
y y
d
d
M y
0
x
0
sin x
( )
y x
d
d
M
0
x
0
sin x
( )
y
1
d
d
xc
M y
M
yc
M x
M
Координаты центра тяжес ти плас тины:
xc
1.571
yc
0.393
Пример 4.12.
Для заданного
a (a
>0) вычислите площадь области, ограниченной линией
(x
2
+ y
2
)
2
= 2ax
3
Решение: Так как уравнение заданной линии в полярной системе координат имеет вид
r=2acos
3
, то площадь области можно вычислить следующим образом: a
3
S
2
2
0 2
a
cos
3
r r
d
d
S
17.671
Сравните с точным значением интеграла:
5 8
a
2
17.671
Урок 5. Понятие индексированной переменной
71
Урок 5.
Понятие индексированной переменной. Операторы суммы и
произведения. Задание и обработка массивов
5.1. Задание индексированной переменной
В MathCAD для задания и обработки числовых последовательностей используется индек- сированная переменная, обозначение которой содержит ее имя с указанием индекса (или индексов). Индекс в обозначении является самостоятельной переменной или выражением.
Для записи в документе индексированной переменной используется символ квадратной скобки [. Индексированная переменная может содержать не более двух индексов:
Введите
Чтобы увидеть
x[j x
j y[j-1 y
j-1
M[i,j
M
i,j
Индексированная переменная задается с помощью оператора присваивания:
Индексированная_переменная := выражение/список_значений
Понятно, что все переменные, входящие в индексное выражение, должны быть определе- ны, например, как переменные диапазона: i
1 5
y i
i
2
sin
i
i
1 3
j
1 4
M
i j
i j
Если значения переменной задаются списком, то его элементы при вводе разделяются за- пятыми. При этом вводимые значения формируют таблицу, называемую таблицей ввода:
i
1 4
x i
23.5 7.4 4
4.6
При задании индексированной переменной с дву- мя индексами надо учитывать, что вначале меняется второй индекс.
Чтобы выполнить вставку пропущенных значений в таблице, следует выделить следом курсора тот элемент, после или до которого (в зависимости от вида следа) должны быть введены значения, и ввести символ-разделитель ―запятая‖, после чего заполнить от- веденное ―знакоместо‖. Если добавляемых значений несколько, то ввод каждого (кроме последнего) оканчивайте вводом ―запятой‖. Удаление элементов таблицы осуществляется точно так же, как и любой фрагмент формулы.
Значения индексированной переменной можно вычислять и с помощью итераци- онных формул, зная одно или несколько ее значений: i
1 5
p
0.15
x
0 12
x i
x i 1
1
p
(
)
N
10
f
0 0
f
1 1
i
2 N
f i
f i 1
f i 2
72
Урок 5. Понятие индексированной переменной
Чтобы получить значения индексированной переменной в виде таблицы, используйте оператор результата =.
Пример 5.1.
Для N видов продукции известны плановый и фактический объемы выпуска.
Найдите отклонение фактического объема от планового.
Решение:
N
5
i
1
N
P
i
100 120 13.5 94 450
F
i
101 119 13 96 460
D
i
P
i
F
i
D
i
-1 1
0.5
-2
-10
Пример 5.2.
Пусть D
i
, M
I
, Y
i
– соответственно день, месяц и год поступления на работу i- го рабочего, i=1,2,…,N. Определите стаж N рабочих (в полных годах) на заданную дату, задаваемую днем, номером месяца и годом.
Решение:
Опре деление трудового стаж а
N
5
Количество рабочих i
1
N
Даты поступления на работу:
D
i
5 14 17 2
12
M
i
7 10 5
3 12
Y
i
1993 1989 1985 1980 1979
Day d m
(
)
100 m
d
Определение стажа на дату:
Do
18
Mo
3
Yo
2002
S
i
Yo
Y
i
if Day D
i
M
i
Day Do Mo
(
)
1
0
S
i
8 12 16 22 22
Пример 5.3.
Найдите корни уравнения
5x – 8sin(2x)+1=0.
Решение: Этот пример был рассмотрен на
Уроке 4
(пример 4.2). Определив функцию f(x)= 5x – 8sin(2x)+1, мы построили ее график и выяснили, что график пересекает ось x в трех точках. В отличие от предыдущего способа решения для задания начальных прибли- жений трех корней будем использовать индексированную переменную и оформим Math-
CAD-документ следующим образом:
Урок 5. Понятие индексированной переменной
73
f x
( )
5 x
8 sin 2x
( )
1
x
5
4.9
3
5 0
40 20 20 40
y=f(x)
r x
( )
root f x
( ) x
(
)
N
3
i
1
N
x i
1
0 1
x i
r x i
x i
-1.224 0.092 1.098
Очевидно, такой способ более предпочтителен в тех случаях, когда уравнение имеет более двух корней.
Пример 5.4.
Составить MathCAD-документ для вычисления суммы, накопленной на счете в банке к концу каждого года, при известных величинах начального вклада, годовой про- центной ставки, срока накопления (в годах) и периодических дополнительных взносов в конце или в начале каждого года (взнос может быть равным нулю).
Решение:
F
j j
j
0
N
Через N
на с чете будет накоплена с умма
F
N
рублей.
F
i
F
i
F
i 1
1
p
(
)
S
i if type
1 1
p
1
(
)
F
0
S
0
type
1
S
i
100 200 300 100 100
S
i
0
i
1
N
Периодичес к ие взнос ы:
1 - в начале периода,
0 - в конце
N
7
Срок нак опления (в годах):
Годовая процентная с тавка:
p
16 %
Начальный к апитал:
S
0 100
Накопление средств на счете