Файл: Петрозаводский государственный университет.pdf

Урок 3. Создание графиков
53

Тип error применяется для двух последовательных рядов данных, когда требуется по- строить график отклонений (в виде отрезков).
3.2.3.
Сохранение установок по умолчанию
На вкладке
Defaults
(
По умолчанию
) диалога
Formatting Currently Selected X-Y Plot
(
Форматирование выбранного графика
) находятся два элемента управления:
 кнопка
Change to Defaults
(
Вернуть установки по умолчанию
)
–
изменяет все уста- новки выделенного графика на установки по умолчанию, принятые для текущего до- кумента;
 флажок проверки
Use for Defaults
(
Использовать для установок по умолчанию
)
–
делает установками по умолчанию для данного документа установки выбранного графика.
0 2
4 6
1 0
1
Lines sin x
( )
x
0 2
4 6
1 0
1
Points sin x
( )
x
0 2
4 6
1 0
1
Bar sin x
( )
x
0 2
4 6
1 0
1
Step sin x
( )
x
0 2
4 6
1 0
1
Stem sin x
( )
x
0 2
4 6
1 0
1
Error sin x
( )
0.5 co s x
( )
x
Рис. 3.35

54
Урок 3. Создание графиков
3.2.4.
Создание заголовка графика
Чтобы создать заголовок графика:
Пример заполнения полей ввода
Пример заполнения полей ввода вкладки Labels показан на рис. 3.36.

Упражнение 13. Требуется составить MathCAD-документ для решения следующей задачи.
Автомобиль расходует Q л бензина на 100 км пути, что можно рассчитать по формуле:
kv
e
v
c
b
av
Q










, где
v –
скорость автомобиля (км / ч),
a, b, c, k – коэффи- циенты, зависящие от его ходовых свойств.
Для
a
=0,21 л∙ч/км,
b
=
18 л/км,
c
=760 л/ч,
k
=0,005 ч/км построить график зависимо- сти расхода бензина Q (в литрах) от скорости автомобиля v (10 км/ч ≤ v ≤ 100 км/ч), счи- тая интервал изменения скорости равным 5 км/ч.
Возможный вариант MathCAD-документа представлен на рис. 3.37. Значения параметров на вкладках (рис. 3.36), которые были заданы при построении графика, см. в таблице 3.2.
Таблица 3.2

Урок 3. Создание графиков
55
a
0.21

b
18

c
760

k
0.005

Q v
( )
a v

b

c v





e k v



v0 10

vk
100

vh
5

v v0 v0
vh


vk


10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 10 0 0
20 40 60 80
Petrol consumption as a function of car speed
Petrol consumption ca r sp eed (v, km /h)
Q
(v)
, li tr s/
10 0 km

Упражнение 14.
Построим траекторию движения точки, задаваемую уравнениями x(t) = t sin t, y(t) = t cos t, на промежутке времени T=4. Начало траектории отметим сим- волом «окружность», а конец – символом «крестик».
MathCAD-документ показан на рис. 3.38.
3.3.
Построение графиков в полярной системе координат
В полярной системе координат любая точка определяется двумя координатами R и

, где R – полярный радиус, а

– полярный угол точки, R=R(

).
Вывести шаблон графика в полярной системе координат можно одним из трех способов:
1. Выберите из меню команды
Insert, Graph (
рис. 3.1
) пункт
Polar Plot
(Полярный гра- фик).
2. Или нажмите комбинацию клавиш
Ctrl+
7.
3. Или нажмите кнопку на панели
Graph
(рис. 3.4).
x t
( )
t sin t
( )


y t
( )
t cos t
( )


T
4

t
0 0.01

T


4 3
2 1
0 1
2 4
2 0
2
y t
( )
y 0
( )
y T
( )
x t
( ) x 0
( )

x T
( )

Рис. 3.37
Рис. 3.38

56
Урок 3. Создание графиков
Незаполненный шаблон графика представляет собой окружность с двумя знакозаполни- телями для ввода данных в виде тѐмных маленьких прямоугольников (рис. 3.38).
Есть две возможности построения таких графиков:
 задавая пределы изменения переменной

(причем переменная может иметь и другое имя), рис. 3.39;
 без определения диапазона изменения переменной (быстрое построение), рис. 3.40.
Рис. 3.39. Построение графиков с определением переменной
Рис. 3.38. Шаблон полярного графика с сообщением о необходимости заполне- ния знакомест ввода

Урок 3. Создание графиков
57
Аналогично двумерным графикам в полярной системе можно строить графики несколь- ких функций или кривых (рис. 3.41).
Рис. 3.40. Построение графиков без указания границ переменной (быстрое построение)
Рис. 3.41. Построение нескольких графиков на одном шаблоне

58
Урок 3. Создание графиков
Можно изменить внешний вид графика, указав желаемые значения графических парамет- ров в диалоговом окне форматирования текущего графика (см. п.
3.1.4). Здесь имеет смысл только отметить отличия в содержании отдельных вкладок окна, которые были рассмотрены ранее:
 можно задать только общий заголовок графика (вкладка Labels, рис. 3.42);
 различаются списки параметров для полярных осей (вкладка Polar Axes, рис. 3.43).
Примеры заполнения вкладки
Polar Axes и полученные при этом графики показаны на рис. 3.44 и 3.45.
Рис. 3.42. Задание заголовка гра- фика на вкладке Labels
Рис. 3.43. Задание параметров осей на вкладке Polar Axes

Урок 3. Создание графиков
59
x

 
cos

 

y

 

2

0 30 60 90 12 0 15 0 18 0 21 0 24 0 27 0 30 0 33 0 30 20 10 0
5


Рис. 3.45
Рис. 3.44 x

 
cos

 

y

 

2

30 20 10 0
5



60
Урок 4. Решение уравнений и систем уравнений

Урок 4. Решение уравнений и систем уравнений. Вычисление
производных и интегралов
4.1.
Решение нелинейных уравнений
Многие уравнения, например трансцендентные, не имеют аналитических решений. Одна- ко корни таких уравнений могут быть найдены численными методами с некоторой заранее заданной погрешностью. В MathCAD для этой цели запрограммирован метод хорд. Для поиска корней уравнений вида y(x)=0 служит встроенная функция
root
. Она возвращает найденное с заданной точностью значение неизвестной x, обращающее функцию y(x) в 0
(корень функции). Функция
root
имеет следующий формат:
root
(
y(x),x)
Таким образом,
root
– это функция двух аргументов. Перед обращением к ней, как и в случае любой другой функции, ее аргументы должны быть уже определены. Первый ар- гумент y(x) – это сама функция, корень которой мы ищем, а х – скалярная переменная, относительно которой ищется корень (или решается уравнение). Переменной x перед об- ращением к функции должно быть присвоено некоторое значение – приближенное значе- ние корня, которое можно определить графически. Чтобы получить искомый корень, не- обходимо, чтобы между приближенным и точным значениями корня не лежали точки пе- региба функции. Первым фактическим аргументом функции
root
может быть произволь- ное выражение с одной или несколькими переменными.
Использовать функцию root можно так же, как и другие встроенные функции, на- пример, включать ее в состав выражения, определять с ее помощью новые функции и т. д.
Рассмотрим несколько примеров. Выполните на своем компьютере все действия, предлагаемые ниже при описании их решения, включив в MathCAD-документ необходи- мые комментарии.

Пример 4.1.
Решить уравнение
x+sin(x) =2
Решение:
1. Определим функцию, корни которой мы ищем: f x
( )
x sin x
( )

2


2. Построим предварительный (на достаточно большом промежутке) график функции, чтобы определить наличие и расположение корней:
Из графика видно, что корень (или корни) функции лежат в окрестности точки х=0. Этот же факт можно было установить, проанализировав поведение функции на бесконечности.

Урок 4. Решение уравнений и систем уравнений
61 3. Уменьшим промежуток задания переменной x:
Теперь видно, что корень только один, и мы можем уточнить его расположение следую- щим образом:
Из графика видно, что корень лежит внутри промежутка [1; 2]. Примем приближенное значение x=1.5 и определим корень с большей точностью: x
1.5

root f x
( ) x

(
)
1.106

Если требуется определить корень с еще большей точностью, то надо переопределить значение встроенной переменой TOL, а затем снова воспользоваться функцией
root
. При этом потребуется также изменить значение формата результата в диалоговом окне коман- ды
Format, Result
(Формат, Результат)
(рис. 1.6).
TOL
0.0001

root f x
( ) x

(
)
1.10606

TOL
0.001

Вернитесь к точности, установленной по умолчанию:
TOL
0.001


Начиная с версии MathCAD 8, допустим еще один способ обращения к функции
root
,
когда не требуется задавать начальное приближение для корня. Функция в этом случае имеет следующий формат:
root(y(x),x,a,b)
Здесь a и b – начало и конец интервала, на котором находится корень. Решение уравнения из примера 1 можно оформить следующим образом: root f x
( ) x

10


10

(
)
1.106


62
Урок 4. Решение уравнений и систем уравнений

Если функция имеет несколько корней, то можно определить новую функцию, на- пример r(x), обращаясь к которой, можно найти корень, задавая его начальное прибли- жение в качестве фактического аргумента.


Пример 4.2.
Найдите все корни уравнения
5x – 8sin(2x)+1=0.
Решение: Определив функцию f(x), построим ее график: f x
( )
5x
8 sin 2x
(
)

1


x
5

4.9


3


5 3
1 1
3 40 20 20 40
f x
( )
x
Из графика видно, что функция имеет три корня, поэтому удобнее определить новую функцию r(x): r x
( )
root f x
( ) x

(
)

Теперь найдем значения функции r(x) для трех начальных приближений x1, x2 и x3, опре- деленных по графику: x1 1


x2 0

x3 1

r x1
(
)
1.224


r x2
(
)
0.092

r x3
(
)
1.098

Замечание. В случае, когда уравнение имеет несколько корней, для их поиска лучше применить прием векторизации выражений или использовать индексированную перемен- ную. А для поиска нулей полинома воспользоваться специальной функцией
polyroots
Примеры, иллюстрирующие эти способы, рассмотрены в
Уроке 5
(примеры 5.3, 5.24,
5.25).
4.2.
Решение систем двух нелинейных уравнений с двумя неизвестными
Решение систем линейных уравнений рассматривается в
Уроке 5
(пример 5.17). Если же хотя бы одно из выражений, входящих в систему, является многочленом (полиномом) степени выше первой, либо вообще не многочленом, то решение такой системы уравне- ний, если оно существует, можно найти приближенно. Как и при решении уравнений, на- чальные значения корней лучше определить графически.
Системы трансцендентных уравнений могут иметь разный вид. Если система такова, что в одном из уравнений какая-либо переменная, например y, явно выражается через другую,
x, то для решения системы можно воспользоваться встроенной функцией
root
.

Урок 4. Решение уравнений и систем уравнений
63


Пример 4.3.
Найти решение системы уравнений
:









0
|
|
lg
,
0 20 2
3
x
y
y
y
x
Решение: На основе первого уравнения определим новую функцию двух переменных f(x,y),а переменную y выразим через x из второго уравнения: f x y

(
)
x
3
y
2

20
y


y x
( )
log x
 

Теперь нас интересуют корни функцииf(x,y)относительно переменной x. Построим ее график. Поскольку функция lg|x| не определена в точке x=0, то построим два графика на промежутке отрицательных значений x и на промежутке положительных значений x: f x y

(
)
x
3
y
2

20y


y x
( )
log x
 

x1 1

0.9


0.3



x2 0.7 0.8

1.7


1 0.5 5
5 10 15
f x1 y x1
(
)

(
)
x1 1
1.5 2
2 4
f x2 y x2
(
)

(
)
x2
Конечно, подобрать сразу нужные интервалы для изменения переменной x трудно, при- дется попробовать несколько вариантов. Из графиков мы видим, что функция f(x,y(x))
имеет один корень слева от оси y и два справа. Теперь можно воспользоваться функцией
root
для уточнения корней: r a b

(
)
root f x y x
( )

(
) x

a

b

(
)

x1
r 1

0.1


(
)

y1
y x1
( )

x1 0.916


y1 0.038


x2
r 0.1 1.5

(
)

y2
y x2
( )

x2 1.261

y2 0.101

x3
r 1.5 2

(
)

y3
y x3
( )

x3 1.575

y3 0.197

Сделаем проверку: f x1 y1

(
)
6.175 10 8



f x2 y2

(
)
0

f x3 y3

(
)
0

TOL
1 10 3



Заметим, что значения функции f(x,y)в найденных точках могут отличаться от 0 (напри- мер, в точке (x1,y1)). Эта погрешность зависит от заданной точности вычислений. Попро- буйте изменить точность и сравнить результаты.
Замечание. В случае, когда система уравнений имеет несколько корней, то для их поис- ка, как и в случае одного уравнения, лучше использовать индексированную переменную
(см. пример 5.26
Урока 5
).
Вы видите, что возможности применения функции
root для решения систем уравнений ограничены. В общем случае для решения систем уравнений и неравенств произвольного вида используется конструкция, которая называется "решающий блок". Как и функция

64
Урок 4. Решение уравнений и систем уравнений
root
, решающий блок использует для поиска корней итерационные методы, поэтому не- обходимо задавать начальные приближения для значений переменных, относительно ко- торых решается система. Начало решающего блока определяется ключевым словом
Given
. Далее записываются уравнения и неравенства, составляющие систему. При записи уравнений используется знак логического равенства
(комбинация двух клавиш
Ctrl
и
=
). Завершать решающий блок должно выражение, содержащее функцию
Find
. со списком переменных в качестве аргумента. Функция
Find
возвращает вектор-столбец, элементы которого определяют искомые значения соответствующих переменных списка.
Приведем решение системы из примера 4.3 с помощью решающего блока. Чтобы определить приближенные значения переменных xи y, воспользуемся уже построенным графиком для функции f(x,y(x)).
Find x y

(
)
1.57 0.2







y log x
 

0
x
3
y
2

20y

0
Given y
log x
 

x
2

Find x y

(
)
1.26 0.1







y log x
 

0
x
3
y
2

20y

0
Given y
log x
 

x
1

Find x y

(
)
0.92

0.04








y log x
 

0
x
3
y
2

20y

0
Given y
log x
 

x
1


Замечание. Чтобы сократить записи, можно воспользоваться векторизацией выражений или ввести индексированные переменные (см.
Урок 5
).


Пример 4.4.
Найти решение системы уравнений
:








2 0
sin
3
,
15 2
2
x
y
y
x
Решение:
Y x
( )
3
sin x
( )
0.2


f x y

(
)
x
2
y
2

15


x
4

3.9


4


4 2
0 2
4 20 10 10
f x Y x
( )

(
)
x x
4


y
Y x
( )

Given x
2
y
2

15

0
y
3
sin x
( )
0.2

Find x y

(
)
3.581

1.476





x
4

y
Y x
( )

Given x
2
y
2

15

0
y
3
sin x
( )
0.2

Find x y

(
)
3.656 1.277





