Файл: Методические материалы по курсу экономикоматематическое моделирование.doc
Добавлен: 05.12.2023
Просмотров: 128
Скачиваний: 2
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Геометрическая интерпретация и графический метод решения задач линейного программирования.
Основные свойства задачи линейного программирования. Выпуклые многогранные множества и множество допустимых решений: крайняя точка (вершина) множества, выпуклость множества решений задачи линейного программирования.
Опорное (базисное) решение задачи линейного программирования. Вырожденность. Связь между опорными решениями и крайними точками допустимого множества. Теоремы о необходимом и достаточном признаке крайней точки. Теорема о достижении оптимального решения задачи линейного программирования в крайней точке (в случае не единственности в любой выпуклой линейной комбинации крайних точек).
Применение симплексного метода для решения задач линейного программирования
Основы симплексного метода. Общая характеристика симплексного метода как метода направленного перебора опорных планов задачи линейного программирования. Геометрическая интерпретация. Построение опорного плана. Процедура перехода от одного опорного плана к другому опорному плану задачи линейного программирования.
Симплексная таблица. Направленный переход к новому опорному плану задачи линейного программирования. Построение симплексной таблицы. Алгоритм симплексного метода. Вырожденность. Устранение зацикливания.
Методы отыскания первоначального опорного плана задачи линейного программирования. Метод искусственного базиса.
Теория двойственности
Понятие двойственности. Взаимно двойственные задачи. Правила их построения.
Первая теорема двойственности (о существовании оптимальных решений пары двойственных задач). Вторая теорема двойственности (теорема равновесия). Экономическая интерпретация двойственных задач и утверждений теории двойственности. Объективно обусловленные оценки.
Специальные задачи линейного программирования
Транспортные модели: постановка транспортной задачи и ее матема-тическая модель, алгоритм определения оптимального плана перевозок. Задача о назначениях, задача коммивояжера.
Модели целочисленного линейного программирования. Метод Гомори. Метод ветвей и границ. Примеры.
Сетевые модели. Понятие сетевого графика. Основные понятия и определения. Задача нахождения кратчайшего пути. Примеры.
Понятие многокритериальной оптимизации, понятия и основные методы решения. Метод последовательных уступок.
Раздел 3. Балансовые модели и отдельные прикладные модели экономических процессов
Модель Леонтьева
Общая схема модели межотраслевого баланса; основные предположения модели Леонтьева, модель национальной экономики, модель международного обмена.
Понятие продуктивности модели Леонтьева, экономическое содержание продуктивности модели, коэффициенты прямых, косвенных и полных затрат.
Коэффициенты трудовых затрат, лимит по использованию трудовых ресурсов, задача оптимизации национальной экономики при ограниченных трудовых ресурсах.
Прикладные модели
Производственные функции и их свойства, предельные и средние значения производственной функции. Основные характеристики производственной функции Кобба-Дугласа.
Моделирование спроса и потребления. Задача оптимизации потребительского выбора. Выбор потребителя при заданной полезности. Оценка благосостояния потребителя.
Раздел 4. Основы теории игр
Основные идеи и примеры теории игр. Классификация игр; матричные игры: верхняя и нижняя цена игры, седловые точки, решение игры; существование седловой точки для выпукло-вогнутых игр; примеры матричных игр; имеющих седловые точки; доминирование стратегий; решение матричной игры в смешанных стратегиях; основная теорема матричных игр; сведение поиска решения матричной игры к решению задачи линейного программирования. Геометрическое решение матричных игр. Приведение матричной игры к задаче линейного программирования. Примеры применения теории игр в практике принятия экономических решений.
3. Тематический план курса
Тематический план курса «Экономико-математическое моделирование» для студентов дневной формы обучения, обучающимся по специальности «Менеджмент» приведен в таблице.
Тематический план курса
| Название темы | Лекций (акад. час) | Лаб. и практ. занятия (акад. час) |
| Раздел 1 Введение в математические методы и необходимый математический аппарат | 2 | 6 |
| Раздел 2 Оптимальные экономико-математические модели | 10 | 33 |
Общая теория линейного программирования | 2 | 6 |
Применение симплексного метода для решения задач линейного программирования | 3 | 9 |
Теория двойственности | 2 | 6 |
Специальные задачи линейного программирования | 3 | 9 |
| Раздел 3 Балансовые модели и отдельные прикладные модели экономических процессов | 2 | 6 |
Модель Леонтьева | 1 | 3 |
Прикладные модели | 1 | 3 |
| Раздел 4 Основы теории игр | 3 | 6 |
| Всего по дисциплине | 17 | 51 |
4. Вопросы для оценки качества освоения дисциплины
1. Понятие экономической модели. Последовательность её построения. Неполнота. Виды экономико-математических моделей. Виды переменных.
2. Функциональная зависимость. Понятие экстремума. Необходимые и достаточные условия существования экстремума функции одной и нескольких переменной. Понятие линии уровня. Понятие градиента.
3. Понятие условного экстремума. Суть метода Лагранжа.
4. Постановка задачи линейного программирования. Понятие оптимального решения. Графический метод решения задачи линейного программирования.
5. Симплексный метод решения задачи линейного программирования.
6. Симплексный метод с искусственным базисом.
7. Взаимно двойственные задачи линейного программирования и их свойства. Теоремы двойственности.
8. Постановка транспортной задачи. Виды транспортных задач. Алгоритм определения оптимального плана перевозок.
9. Задача о назначениях. Задача коммивояжера.
10. Целочисленное программирование. Метод Гомори, метод ветвей и границ.
11. Задачи многокритериальной оптимизации. Метод последовательных уступок.
12. Модель межотраслевого баланса (модель Леонтьева).
13. Производственные функции. Моделирование спроса и потребления.
14. Основные понятия теории игр. Платёжная матрица. Нижняя и верхняя цены игры.
15. Приведение матричной игры к задаче линейного программирования.
16. Решения игр в смешанных стратегиях. Геометрическая интерпретация игры.
5. Варианты задач по основным темам курса
Тема 1. Построение математических моделей экономических задач
Пример задачи.
Фирма выпускает 2 вида мороженого: сливочное и шоколадное. Для изготовления используются 2 исходных продукта: молоко и наполнители, расходы которых на 1 кг мороженого и суточные запасы исходных продуктов даны в табл. 1.
Таблица 1
| Исходный продукт | Расход исходных продуктов на 1 кг мороженого | Запас, кг | |
| Сливочное | Шоколадное | ||
| Молоко | 0.8 | 0.5 | 400 |
| Наполнители | 0.4 | 0.8 | 365 |
Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на сливочное мороженое превышает спрос на шоколадное мороженое не более чем на 100 кг. Кроме того, установлено, что спрос на шоколадное мороженое не превышает 350 кг в сутки. Отпускная цена 1 кг сливочного мороженого 16 ден.ед., шоколадного – 14 ден.ед. Определить количество мороженого каждого вида, которое должна производить фирма, чтобы доход от реализации продукции был максимальным.
Решение задачи:
Составляем математическую модель задачи.
Вводим обозначения (переменные величины):
х 1 – суточный объем выпуска сливочного мороженого, кг;
х 2 - суточный объем выпуска шоколадного мороженого, кг
Целевая функция:
f = 16 х 1 + 14 х 2→max
при ограничениях:
0.8 х 1 + 0.5 х 2 ≤ 400 (ограничение по молоку);
0.4 х 1 + 0.8 х 2 ≤ 365 (ограничение по наполнителям);
х 1 + х 2 ≤ 100 (рыночное ограничение по спросу);
х 2 ≤ 350 (рыночное ограничение по спросу);
х 1 ≥ 0, х 2 ≥ 0