Файл: Сборник задач по высшей математике. РостовнаДону 2008г. 1.doc

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 06.12.2023

Просмотров: 336

Скачиваний: 4

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

;

249) ;

250) ;

251) ;

252) , δ=10-4;

253) ;

254) ;

355) , δ=10-2;

356) , δ=10-4;

357) , δ=10-4;

358) , δ=10-4;

359) , δ=10-4.

В задачах 260-279 найти пять первых членов разложения в степенной ряд частного решения дифференциального уравнения при заданных начальных условиях:

260) ; y(0)=1.

261) ; y(0)=1.

262) ; y(0)=1.

263) ; y(0)=1.

264) ; y(0)=0.

265) ; y(0)=2.

266) ; y(0)=1.

267) ; y(0)=1.

268) ; y(0)=1.

269) ; y(0)=1.

270) ; y(0)=1, y’(0)=2.

271) ; y(0)=4, y’(0)=2.

272)

; y(0)=1, y’(0)=1.

273) ; y(0)=1, y’(0)=1.

274) ; y(0)=а, y’(0)=0.

275) ; y(0)=0, y’(0)=1.

276) ; y(0)=2, y’(0)=2.

277) ; y(0)=0, y’(0)=1.

278) ; y(0)=1, y’(0)=0.

279) ; y(0)=1, y’(0)=1.

В задачах 280-287 методом неопределенных коэффициентов найти пять первых членов разложения в степенной ряд частного решения дифференциального уравнения:

280) ; y(0)=0, y’(0)=1.

281) ; y(0)=0, y’(0)=1.

282) ; y(0)=0, y’(0)=1.

283) ; y(0)=1, y’(0)=0.

284) ; y(0)=0, y’(0)=1.

285) ; y(0)=1.

286) ; y(0)=-2.

§6. Ряды Фурье.Пусть функция f(x) является периодической с периодом T=2lОпределение. Функциональный ряд вида ,где ; ; ; n=1,2...называется рядом Фурье для функции f(x) в интервале [-l;l] .Определение. Функция f(x) называется кусочно-гладкой в интервале (a;b), если она имеет на этом интервале лишь конечное число точек разрыва 1-го рода; в этих точках функция имеет предельные значения слева и справа: f(x-0) и f(x+0).Основная теорема о возможности разложения функции f(x) в ряд Фурье формулируется следующим образом:Теорема (Условия Дирихле) Если функция f(x) кусочно-гладкая в интервале [-l;l], то ее ряд Фурье сходится к функции f(x) во всех точках, в которых она непрерывна. В точках разрыва функции f(x) ряд сходится к среднему арифметическому ее предельных значений слева и справа, т.е. к значению , где x0 – точка разрыва 1-го рода. В обеих граничных точках интервала сумма ряда равна среднему арифметическому предельных значений функции при стремлении независимой переменно к этим точкам изнутри интервала: .Условие кусочной гладкости слева и справа, т.е. у арифметическому ее точках разрыва функции ф(ч)дельные значения слева и справаения дифференциала:в теореме может быть заменено на условие непрерывности и существования конечного числа точек экстремума.Если функция f(x) четна (f(-x)=f(x)), то все коэффициенты bn=0 и соответствующий ряд Фурье не содержит синусов: ; , n=1,2,....Для нечетной функции (f(-x)=-f(x)), то все коэффициенты bn=0 и соответствующий ряд Фурье содержит только синусы: ; , n=1,2,....
Функцию f(x), заданную в интервале [0;l], можно произвольно продолжить в соседний интервал [-l;0) и поэтому ее можно представить различными рядами Фурье. Пользуясь этим, такую функцию обычно представляют неполным рядом Фурье, содержащим только косинусы или только синусы.Р яд по косинусам получается при четном, а ряд по синусам при нечетном продолжении данной функции на соседней слева интервал [-l;0). В первом случае график данной функции продолжается на интервал [-l;0) симметрично относительно оси ординат, а во втором случае – симметрично относительно начала координат (см. рисунок).Пример. Разложить в ряд Фурье функции в указанном промежутке1) ;2) ;3) по косинусам.Решение:

  1. Используем общие формулы для ряда Фурье; l=π.
Представляя найденные значения коэффициентов в стандартный ряд, получаем разложения функции в ряд Фурье:

  1. Функция f(x)=2x является нечетной, поэтому разлагается в ряд по синусам: a0=0, ak=0; (l=3)
.Следовательно, .

  1. Данная функция четная, в следствии чего коэффициенты bn=0, l=π.
Следовательно, При n=1 полученное здесь общее выражение для an непригодно, вследствие чего коэффициент a1 вычисляется отдельно, полагая n=1 в общей формуле. .Представив значения коэффициентов в ряд, получим искомое разложение:Задачи для решения288) 289) 290) 291) 292) 293) 294) .295) .296) .297) .298) .299) 300) 301) - по синусам.302) 303) - по косинусам304) - по синусам.305) - по косинусам.306) - по синусам.

Смотрите также файлы