Файл: Сборник задач по высшей математике. РостовнаДону 2008г. 1.doc

Скачать файл (1,93Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 06.12.2023

Просмотров: 62

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

;

249)

;

250)

;

251)

;

252)

, δ=10^-4;

253)

;

254)

;

355)

, δ=10^-2;

356)

, δ=10^-4;

357)

, δ=10^-4;

358)

, δ=10^-4;

359)

, δ=10^-4.

В задачах 260-279 найти пять первых членов разложения в степенной ряд частного решения дифференциального уравнения при заданных начальных условиях:

260)

; y(0)=1.

261)

; y(0)=1.

262)

; y(0)=1.

263)

; y(0)=1.

264)

; y(0)=0.

265)

; y(0)=2.

266)

; y(0)=1.

267)

; y(0)=1.

268)

; y(0)=1.

269)

; y(0)=1.

270)

; y(0)=1, y’(0)=2.

271)

; y(0)=4, y’(0)=2.

272)

; y(0)=1, y’(0)=1.

273)

; y(0)=1, y’(0)=1.

274)

; y(0)=а, y’(0)=0.

275)

; y(0)=0, y’(0)=1.

276)

; y(0)=2, y’(0)=2.

277)

; y(0)=0, y’(0)=1.

278)

; y(0)=1, y’(0)=0.

279)

; y(0)=1, y’(0)=1.

В задачах 280-287 методом неопределенных коэффициентов найти пять первых членов разложения в степенной ряд частного решения дифференциального уравнения:

280)

; y(0)=0, y’(0)=1.

281)

; y(0)=0, y’(0)=1.

282)

; y(0)=0, y’(0)=1.

283)

; y(0)=1, y’(0)=0.

284)

; y(0)=0, y’(0)=1.

285)

; y(0)=1.

286)

; y(0)=-2.

§6. Ряды Фурье.
Пусть функция f(x) является периодической с периодом T=2l

Определение. Функциональный ряд вида

,

где

;

; n=1,2...

называется рядом Фурье для функции f(x) в интервале [-l;l] .

Определение. Функция f(x) называется кусочно-гладкой в интервале (a;b), если она имеет на этом интервале лишь конечное число точек разрыва 1-го рода; в этих точках функция имеет предельные значения слева и справа: f(x-0) и f(x+0).

Основная теорема о возможности разложения функции f(x) в ряд Фурье формулируется следующим образом:

Теорема (Условия Дирихле) Если функция f(x) кусочно-гладкая в интервале [-l;l], то ее ряд Фурье сходится к функции f(x) во всех точках, в которых она непрерывна. В точках разрыва функции f(x) ряд сходится к среднему арифметическому ее предельных значений слева и справа, т.е. к значению

, где x₀ – точка разрыва 1-го рода. В обеих граничных точках интервала сумма ряда равна среднему арифметическому предельных значений функции при стремлении независимой переменно к этим точкам изнутри интервала:

.

Условие кусочной гладкости слева и справа, т.е. у арифметическому ее точках разрыва функции ф(ч)дельные значения слева и справаения дифференциала:в теореме может быть заменено на условие непрерывности и существования конечного числа точек экстремума.

Если функция f(x) четна (f(-x)=f(x)), то все коэффициенты b_n=0 и соответствующий ряд Фурье не содержит синусов:

;

, n=1,2,....

Для нечетной функции (f(-x)=-f(x)), то все коэффициенты b_n=0 и соответствующий ряд Фурье содержит только синусы:

;

, n=1,2,....

Функцию f(x), заданную в интервале [0;l], можно произвольно продолжить в соседний интервал [-l;0) и поэтому ее можно представить различными рядами Фурье. Пользуясь этим, такую функцию обычно представляют неполным рядом Фурье, содержащим только косинусы или только синусы.

Р

яд по косинусам получается при четном, а ряд по синусам при нечетном продолжении данной функции на соседней слева интервал [-l;0). В первом случае график данной функции продолжается на интервал [-l;0) симметрично относительно оси ординат, а во втором случае – симметрично относительно начала координат (см. рисунок).
Пример. Разложить в ряд Фурье функции в указанном промежутке

1)