Файл: Сборник задач по высшей математике. РостовнаДону 2008г. 1.doc
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.12.2023
Просмотров: 343
Скачиваний: 4
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Исследуем соответствующий остаточный член формулы Тейлора:Каково бы ни было значение , всегда найдутся такие два последовательных положительных числа и , между которыми заключается , т.е. . Исходя из этого, получим очевидное неравенство:Первый множитель не зависит от и при любом данном значении является постоянным; второй множитель при будет величиной бесконечно малой, ибо . Следовательно, , а Поэтому при любом , т.е. полученный ряд Тейлора для сходится к при любом .Определение. Если в ряде Тейлора положить x0=0, получим частный случай ряда Тейлора, который называется рядом Маклорена. Он имеет вид:
Остаточный член ряда Маклорена в форме Лагранжа имеет вид: .Чтобы он стремился к нулю, достаточно ограниченности производной .Разложения стандартных функций в ряды Маклорена имеют вид:1) (сходится при любом x);2) (сходится при любом x);3) (сходится при любом x);4) биномиальный ряд:(сходится при -15) (сходится при -16) (сходится при -1≤x≤1).Пример. Разложить в ряды Маклорена функции:1) ; 2) ; 3) .Решение:1) Т.к. ряд Маклорена ex сходится на всей числовой оси, то и полученный ряд сходится к данной функции, при всех значениях x. 2) Преобразуем функцию к виду и воспользуемся биномиальным рядом, в котором положим :Заменяя в этом выражении x на 3x, получаем:Окончательно.Биномиальный ряд сходится при -1 .3) Преобразуем данную функцию: . Пишем ряд Маклорена для полученных слагаемых функций
(второй ряд получен из первого путем замены x на 2x) и складывая их почленно, имеем: .Задачи для решения:171) Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки x=1 (при x0=1).172) Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки x=1.173) Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки x=-1.174) Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки x=3.175) Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки x=1.176) Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки x=4.177) Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки x=1.178) Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки x=2.179) Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки x=5.В задачах 180- 186 найти первые пять членов ряда Тейлора для данной функции в окрестности точки x0:180) 181) 182) 183) 184) 185) 186)
В задачах 187-201 разложит данные функции в окрестности точки x=0, пользуясь формулами разложения в ряд Маклорена функций ex, sinx, cosx, ln(1+x), (1+x)mи arctgx:187) 187) 188) .189) 190) .191) 192) .193) .194) .195) .196) .197) .198) .199) .200) .201) .202) Пользуясь разложением функции в ряд Тейлора, найти значение:1) седьмой производной функции при x=0,2) пятой производной функции при x=0,3) десятой производной функции при x=0.
§5. Применение рядов к приближенным вычислениям.5.1 Приближенное вычисление значений функции.Допустим, что в окрестности некоторой точке x0 функция f(x) разлагается в ряд Тейлора. Тогда точное значение функции f(x) в любой точке этой окрестности может быть вычислено по ряду Тейлора, а приближенное ее значение – по частичной сумме этого ряда. Возникающую при этом ошибку можно оценивать по остаточному члену ряда: в случае знакочередующегося ряда – при помощи теоремы Лейбница (ошибка не превосходит по модулю первого отброшенного члени); в случае знакоположительного ряда стараются подобрать другой ряд (обычно геометрическую прогрессию), члены которой больше членов остатка и сумму которой мы можем найти.Пример. Пользуясь разложением в ряд Маклорена вычислить с точностью до 0,0001 значение .Решение:Преобразуем данный корень и применяем биноминальный ряд, пологая , : .Чтобы определить, сколько взять первых членов этого знакочередующегося ряда для вычисления с точностью до 0,0001, вычисляем несколько последовательных первых членов ряда: a1=1; a2≈0,1562; a3≈0,00037; a4≈0,00001.Согласно теореме Лейбница, если ограничиться суммой первых трех членов ряда, то ошибка искомого приближенного значения будет меньше 2a4≈2∙0,00001<0,0001.Следовательно ≈2(1+0,01562-0,00037)≈2,0305.5.2 Вычисление пределов.Пример. Вычислить предел, пользуясь разложением функций в ряд Маклорена:Решение:Разложим функции в ряды Маклорена: ;
Остаточный член ряда Маклорена в форме Лагранжа имеет вид: .Чтобы он стремился к нулю, достаточно ограниченности производной .Разложения стандартных функций в ряды Маклорена имеют вид:1) (сходится при любом x);2) (сходится при любом x);3) (сходится при любом x);4) биномиальный ряд:(сходится при -15) (сходится при -16) (сходится при -1≤x≤1).Пример. Разложить в ряды Маклорена функции:1) ; 2) ; 3) .Решение:1) Т.к. ряд Маклорена ex сходится на всей числовой оси, то и полученный ряд сходится к данной функции, при всех значениях x. 2) Преобразуем функцию к виду и воспользуемся биномиальным рядом, в котором положим :Заменяя в этом выражении x на 3x, получаем:Окончательно.Биномиальный ряд сходится при -1 .3) Преобразуем данную функцию: . Пишем ряд Маклорена для полученных слагаемых функций
(второй ряд получен из первого путем замены x на 2x) и складывая их почленно, имеем: .Задачи для решения:171) Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки x=1 (при x0=1).172) Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки x=1.173) Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки x=-1.174) Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки x=3.175) Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки x=1.176) Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки x=4.177) Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки x=1.178) Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки x=2.179) Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки x=5.В задачах 180- 186 найти первые пять членов ряда Тейлора для данной функции в окрестности точки x0:180) 181) 182) 183) 184) 185) 186)
В задачах 187-201 разложит данные функции в окрестности точки x=0, пользуясь формулами разложения в ряд Маклорена функций ex, sinx, cosx, ln(1+x), (1+x)mи arctgx:187) 187) 188) .189) 190) .191) 192) .193) .194) .195) .196) .197) .198) .199) .200) .201) .202) Пользуясь разложением функции в ряд Тейлора, найти значение:1) седьмой производной функции при x=0,2) пятой производной функции при x=0,3) десятой производной функции при x=0.
§5. Применение рядов к приближенным вычислениям.5.1 Приближенное вычисление значений функции.Допустим, что в окрестности некоторой точке x0 функция f(x) разлагается в ряд Тейлора. Тогда точное значение функции f(x) в любой точке этой окрестности может быть вычислено по ряду Тейлора, а приближенное ее значение – по частичной сумме этого ряда. Возникающую при этом ошибку можно оценивать по остаточному члену ряда: в случае знакочередующегося ряда – при помощи теоремы Лейбница (ошибка не превосходит по модулю первого отброшенного члени); в случае знакоположительного ряда стараются подобрать другой ряд (обычно геометрическую прогрессию), члены которой больше членов остатка и сумму которой мы можем найти.Пример. Пользуясь разложением в ряд Маклорена вычислить с точностью до 0,0001 значение .Решение:Преобразуем данный корень и применяем биноминальный ряд, пологая , : .Чтобы определить, сколько взять первых членов этого знакочередующегося ряда для вычисления с точностью до 0,0001, вычисляем несколько последовательных первых членов ряда: a1=1; a2≈0,1562; a3≈0,00037; a4≈0,00001.Согласно теореме Лейбница, если ограничиться суммой первых трех членов ряда, то ошибка искомого приближенного значения будет меньше 2a4≈2∙0,00001<0,0001.Следовательно ≈2(1+0,01562-0,00037)≈2,0305.5.2 Вычисление пределов.Пример. Вычислить предел, пользуясь разложением функций в ряд Маклорена:Решение:Разложим функции в ряды Маклорена: ;