; 2)

1) Рядом сравнения будет гармонический ряд . Действительно,

, , ,

следовательно, ряды ведут себя одинаково, а т.к. гармонический ряд расходится, то и данный ряд также расходится.

2) В качестве ряда сравнения выберем обобщенный гармонический ряд , поскольку

Ряд сходится.

( ), поэтому сходится и рассматриваемый ряд.

Из примеров следует вывод:

Чтобы выбрать ряд сравнения, нужно разделить старшую степень числителя на старшую степень знаменателя; образовавшийся после сокращения обобщенный гармонический ряд и есть ряд сравнения.
2. Признак Даламбера.

Если для знакоположительного ряда существует конечный предел



то при 1) L<1 ряд сходится; 2) L>1 ряд расходится; 3) L=1 признак ответа не дает.

Признак Даламбера обычно применяется в том случае, когда общий член ряда содержит факториалы, показательную функцию от n, синус или тангенс бесконечно малого аргумента.

Пример. Исследовать на сходимость:

1) , 2)

1) Т.к. , то

- ряд расходится.

2)

---

;

- ряд расходится.
3. Интегральный признак Коши.
Пусть члены ряда u₁, u₂, u₃,..., u_n,... положительны и не возрастают, т.е.

u₁ ≥u₂≥ u₃≥...

и пусть - такая непрерывная невозрастающая функция, что

f(1)=u₁; f(2)=u₂;...; f(n)=u_n

Тогда:

1. 
   если несобственный интеграл сходится, то и ряд сходится;
   
2. 
   если же расходится, то и ряд расходится.
   

Пример. Исследовать на сходимость: ; .

1. 
   Заменяем в заданном выражении общего члена ряда номер n непрерывной переменной x и убеждаемся, что полученная функция
   

является непрерывной и убывающей на всем бесконечном интервале изменения x. Затем находим несобственный интеграл от с бесконечным верхним пределом:Несобственный интеграл расходится, следовательно, и данный ряд также расходится.2) Несобственный интеграл сходится, следовательно, и рассматриваемый ряд также сходится.4. Радикальный признак Коши. Если для знакоположительного ряда существует предел ,то при l<1 ряд сходится, а при l>1 расходится; при l=1 признак ответа не дает.Пример. Исследовать на сходимость:1)

---

; 2)

Решение:

;

.

Следовательно, исходный ряд расходится.

2) ;

,

следовательно, рассмотренный ряд является сходящимся.




Задачи для решения.
В задачах 1-10 написать формулу n-ого члена ряда.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

В задачах 11-16 написать 5 первых членов ряда

11) .

12) .

13) .

14) .

15) .

16) .

В задачах 17-24 1) найти сумму n первых членов ряда (S_n), 2) доказать сходимость ряда, пользуясь непосредственно определением сходимости и 3) найти сумму ряда (S):

17)

18)

---

19) 20) 21) .22) 23) 24) В задачах 25-30 выяснить, сходится ли данный ряд. Для сходящегося ряда найти его сумму:25) 26) .27) 28) .29) 30) .В задачах 31-45 исследовать сходимость рядов с помощью признаков сравнения и необходимого признака.31) 32) 33) 34) 35) 36) 37) 38) 39) 40) 41) 42)

---

43) 44) 45) В задачах 46-58 исследовать сходимость рядов с помощью признака Даламбера:46) 47) 48) .49) .50) .51) 52) 53) .54) .55) 56) 57) 58) В заданиях 59-65 вопрос о сходимости рядов решить с помощью интегрального признака Коши:59) 60) 61) 62) 63) .64) .65) .В задачах 66-72 исследовать сходимость рядов с помощью радикального признака Коши:66)

---

Смотрите также файлы

• Теория вероятностей.doc

• Суть стартапа, что это такое.docx

• История Болезни Ф. И. О. больного Чуркин Сергей Геннадьевич 17 лет. Диагноз.doc

• Олимпиада по русскому языку i тур Найди общее начало для частей слов, которые находятся справа, и впиши его.docx

• Основные значения сигналов, подаваемых светофорами (независимо от места установки и их назначения), следующие.pdf