Файл: Сборник задач по высшей математике. РостовнаДону 2008г. 1.doc

Скачать файл (1,93Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 06.12.2023

Просмотров: 59

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

; 2)

1) Рядом сравнения будет гармонический ряд

. Действительно,

,

следовательно, ряды ведут себя одинаково, а т.к. гармонический ряд расходится, то и данный ряд также расходится.

2) В качестве ряда сравнения выберем обобщенный гармонический ряд

, поскольку

Ряд

сходится.

(

), поэтому сходится и рассматриваемый ряд.

Из примеров следует вывод:

Чтобы выбрать ряд сравнения, нужно разделить старшую степень числителя на старшую степень знаменателя; образовавшийся после сокращения обобщенный гармонический ряд и есть ряд сравнения.
2. Признак Даламбера.

Если для знакоположительного ряда

существует конечный предел

то при 1) L<1 ряд сходится; 2) L>1 ряд расходится; 3) L=1 признак ответа не дает.

Признак Даламбера обычно применяется в том случае, когда общий член ряда содержит факториалы, показательную функцию от n, синус или тангенс бесконечно малого аргумента.

Пример. Исследовать на сходимость:

1)

, 2)

1) Т.к.

, то

- ряд расходится.

2)

;

- ряд расходится.
3. Интегральный признак Коши.
Пусть члены ряда u₁, u₂, u₃,..., u_n,... положительны и не возрастают, т.е.

u₁ ≥u₂≥ u₃≥...

и пусть

- такая непрерывная невозрастающая функция, что

f(1)=u₁; f(2)=u₂;...; f(n)=u_n

Тогда:

если несобственный интеграл сходится, то и ряд сходится;
если же расходится, то и ряд расходится.

Пример. Исследовать на сходимость:

;

Заменяем в заданном выражении общего члена ряда номер n непрерывной переменной x и убеждаемся, что полученная функция

является непрерывной и убывающей на всем бесконечном интервале изменения x. Затем находим несобственный интеграл от

с бесконечным верхним пределом:

Несобственный интеграл расходится, следовательно, и данный ряд также расходится.

2)

Несобственный интеграл сходится, следовательно, и рассматриваемый ряд также сходится.
4. Радикальный признак Коши.

Если для знакоположительного ряда

существует предел

,

то при l<1 ряд сходится, а при l>1 расходится; при l=1 признак ответа не дает.

Пример. Исследовать на сходимость:

1)

; 2)

Решение:

;

.

Следовательно, исходный ряд расходится.

2)

;

,

следовательно, рассмотренный ряд является сходящимся.

Задачи для решения.
В задачах 1-10 написать формулу n-ого члена ряда.

1)

10)

В задачах 11-16 написать 5 первых членов ряда

11)

.

12)

.

13)

.

14)

.

15)

.

16)

.

В задачах 17-24 1) найти сумму n первых членов ряда (S_n), 2) доказать сходимость ряда, пользуясь непосредственно определением сходимости и 3) найти сумму ряда (S):

17)