Файл: Сборник задач по высшей математике. РостовнаДону 2008г. 1.doc
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.12.2023
Просмотров: 334
Скачиваний: 4
;
;
;
Подставим полученные ряды в выражение, стоящее под знаком предела:
.
5.3. Вычисление интегралов.
Неопределенные интегралы, не имеющие выражения в конечном виде через элементарные функции, могут быть представлены в виде рядов.
Пример. Разлагая подынтегральную функцию в ряд Маклорена и интегрируя его почленно, найти разложение в ряд интеграла:
.
Решение:
Пользуясь рядом Маклорена для sinx, заменяя в нем x на x2, имеем:
Полученный ряд является сходящимся при любых значениях x, следовательно, можно интегрировать при любом x.
.
Определенные интегралы, которые, как функции верхнего предела, не выражаются через элементарные функции, так же бывает удобно вычислять с помощью рядов. При этом подынтегральную функцию разлагают в ряд Тейлора, и если пределы интеграла лежат внутри интервала сходимости, то ряд можно проинтегрировать почленно.
Пример. С помощью рядов вычислить с точностью до 0,0001 приближенное значение интеграла:
.
Решение:
Пользуясь рядом Маклорена для arctgx, получим:
Деля обе части равенства на x и интегрируя, найдем:
Полученный ряд представляет собой сходящийся ряд, четвертый член которого меньше 0,0001. Поэтому для вычисления искомого приближенного значения достаточно взять сумму трех первых членов ряда. В результате получим приближенное значение с заданной точностью:
I≈0,1211.5.4 Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов.Пусть задано дифференциальное уравнение и начальные условия, определяющие частное решение. Допустим, что решение уравнения в окрестности x0, в которой заданы начальные условия, можно разложить в степенной ряд по степеням x-x0:y=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+...Продифференцируем этот ряд пока с неопределенными коэффициентами столько раз, каков порядок уравнения. Подставляя затем в уравнение вместо функции и ее производных соответствующие ряды, мы получим тождество, из которого и определяем неизвестные коэффициенты ряда. При этом первые коэффициенты ряда определяются из начальных условий.Такой метод решения называется методом неопределенных коэффициентов.Пример: Найти четыре первых члена разложения в степенной ряд частного решения уравнения , удовлетворяющего начальному условию y(0)=1Решение:Ищем решение в виде степенного ряда:y=a0+a1x+a2x2+...+anxn+...Согласно начальному условию y(0)=a0=1.Далее найдем ряды для и : =a1+2a2x+3a3x2+...+(n+1)an+1xn+... =a02+2a02x+(a12+2a02x)x2...Подставим их в ряд для cosx в исходное уравнение:a1+2a2x+3a3x2+...+x(a02+2a02x+(a12+2a02x)x2+...)=2-x2...Отсюда путем сравнения коэффициентов при одинаковых степенях x из обеих частей равенства найдем: ; ; .Следовательно, искомое частное решение есть:
Если подстановка рядов вместо y и ее производных приводит к сложным уравнениям для определения, может быть применен метод последовательного дифференцирования.Пример. Найти разложение в степенной ряд частного решения уравнения , удовлетворяющего начальным условиям: y(0)=1; y’(0)=0.Решение:Пусть искомая функция y(x) разложена в ряд Маклорена ,где величины ,..., являются значениями функции y(x) и ее производных при x=0,а следующие коэффициенты найдем путем последовательного дифференцирования данного уравнения: ; ; ; ; ; ; ; ... ... .Подставляя эти значения коэффициентов в ряд Маклорена получим искомое частное решение в виде ряда: ,который сходится при любом значении x.Задачи для решения.В задачах 203-216, пользуясь формулами разложения в ряд Маклорена функций ex, sinx, cosx, ln(1+x), (1+x)m, arctgx, вычислить с заданной точностью:203)
с точностью до 0,0001.
204) 
с точностью до 0,0001.
205) 
с точностью до 0,0001.
206) 
с точностью до 0,0001.
207) 
с точностью до 0,0001.
208) 
с точностью до 0,0001.
209) 
с точностью до 0,0001.
210) 
с точностью до 0,0001.
211) 
с точностью до 0,0001.
212) 
с точностью до 0,0001.
213) 
с точностью до 0,0001.
214) 
с точностью до 0,0001.
215) 
с точностью до 0,0001.
216) 
с точностью до 0,0001.
В задачах 217-228 пользуясь разложением функций в ряд Маклорена, вычислить пределы:
217) 
;
218) 
;
219) 
;
220) 
;
221) 
;
222) 
;
223) 
;
224) 
;
225) 
;
226) 
;
227) 
;
228) 
;
В задачах 229-237 выразить в форме ряда интегралы, используя разложение в ряд подынтегральных функций; указать области сходимости полученных рядов.
229) 
;
230) 
;
231) 
;
232) 
;
233) 
;
234) 
;
235) 
;
236) 
;
237) 
.
В задачах 238-241 вычислить приближенные значения определенных интегралов, взяв указанное число членов разложения подынтегральной функции в ряд; указать погрешность:
238) 
(3 члена);
239) 
(2 члена);
240) 
(3 члена);
241) 
(6 членов);
В задачах 242-259 вычислить с точностью до 0,001=δ интегралы:
242) ;
243) 
;
244) 
;
245) 
;
246) 
;
247) 
;
248) 