Файл: Сборник задач по высшей математике. РостовнаДону 2008г. 1.doc

Скачать файл (1,93Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 06.12.2023

Просмотров: 61

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

;

Подставим полученные ряды в выражение, стоящее под знаком предела:

.
5.3. Вычисление интегралов.
Неопределенные интегралы, не имеющие выражения в конечном виде через элементарные функции, могут быть представлены в виде рядов.

Пример. Разлагая подынтегральную функцию в ряд Маклорена и интегрируя его почленно, найти разложение в ряд интеграла:

.

Решение:

Пользуясь рядом Маклорена для sinx, заменяя в нем x на x², имеем:

Полученный ряд является сходящимся при любых значениях x, следовательно, можно интегрировать при любом x.

.

Определенные интегралы, которые, как функции верхнего предела, не выражаются через элементарные функции, так же бывает удобно вычислять с помощью рядов. При этом подынтегральную функцию разлагают в ряд Тейлора, и если пределы интеграла лежат внутри интервала сходимости, то ряд можно проинтегрировать почленно.

Пример. С помощью рядов вычислить с точностью до 0,0001 приближенное значение интеграла:

.

Решение:

Пользуясь рядом Маклорена для arctgx, получим:

Деля обе части равенства на x и интегрируя, найдем:

Полученный ряд представляет собой сходящийся ряд, четвертый член которого меньше 0,0001. Поэтому для вычисления искомого приближенного значения достаточно взять сумму трех первых членов ряда. В результате получим приближенное значение с заданной точностью:

I≈0,1211.
5.4 Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов.
Пусть задано дифференциальное уравнение и начальные условия, определяющие частное решение. Допустим, что решение уравнения в окрестности x₀, в которой заданы начальные условия, можно разложить в степенной ряд по степеням x-x₀:

y=a₀+a₁(x-x₀)+a₂(x-x₀)²+...

Продифференцируем этот ряд пока с неопределенными коэффициентами столько раз, каков порядок уравнения. Подставляя затем в уравнение вместо функции и ее производных соответствующие ряды, мы получим тождество, из которого и определяем неизвестные коэффициенты ряда. При этом первые коэффициенты ряда определяются из начальных условий.

Такой метод решения называется методом неопределенных коэффициентов.

Пример: Найти четыре первых члена разложения в степенной ряд частного решения уравнения

, удовлетворяющего начальному условию y(0)=1

Решение:

Ищем решение в виде степенного ряда:

y=a₀+a₁x+a₂x²+...+a_nxⁿ+...

Согласно начальному условию y(0)=a₀=1.

Далее найдем ряды для

=a₁+2a₂x+3a₃x²+...+(n+1)a_n+1xⁿ+...

=a₀²+2a₀²x+(a₁²+2a₀²x)x²...

Подставим их в ряд для cosx в исходное уравнение:

a₁+2a₂x+3a₃x²+...+x(a₀²+2a₀²x+(a₁²+2a₀²x)x²+...)=2-x²...

Отсюда путем сравнения коэффициентов при одинаковых степенях x из обеих частей равенства найдем:

;

.

Следовательно, искомое частное решение есть:

Если подстановка рядов вместо y и ее производных приводит к сложным уравнениям для определения, может быть применен метод последовательного дифференцирования.

Пример. Найти разложение в степенной ряд частного решения уравнения

, удовлетворяющего начальным условиям: y(0)=1; y’(0)=0.

Решение:

Пусть искомая функция y(x) разложена в ряд Маклорена

,

где величины

,..., являются значениями функции y(x) и ее производных при x=0,

а следующие коэффициенты найдем путем последовательного дифференцирования данного уравнения:

;

... ...

.

Подставляя эти значения коэффициентов в ряд Маклорена получим искомое частное решение в виде ряда:

,

который сходится при любом значении x.
Задачи для решения.
В задачах 203-216, пользуясь формулами разложения в ряд Маклорена функций e^x, sinx, cosx, ln(1+x), (1+x)^m, arctgx, вычислить с заданной точностью:

203)

с точностью до 0,0001.

204)

с точностью до 0,0001.

205)

с точностью до 0,0001.

206)

с точностью до 0,0001.

207)

с точностью до 0,0001.

208)

с точностью до 0,0001.

209)

с точностью до 0,0001.

210)

с точностью до 0,0001.

211)

с точностью до 0,0001.

212)

с точностью до 0,0001.

213)

с точностью до 0,0001.

214)

с точностью до 0,0001.

215)

с точностью до 0,0001.

216)

с точностью до 0,0001.

В задачах 217-228 пользуясь разложением функций в ряд Маклорена, вычислить пределы:

217)

;

218)

;

219)

;

220)

;

221)

;

222)

;

223)

;

224)

;

225)

;

226)

;

227)

;

228)

;

В задачах 229-237 выразить в форме ряда интегралы, используя разложение в ряд подынтегральных функций; указать области сходимости полученных рядов.

229)

;

230)

;

231)

;

232)

;

233)

;

234)

;

235)

;

236)

;

237)

.

В задачах 238-241 вычислить приближенные значения определенных интегралов, взяв указанное число членов разложения подынтегральной функции в ряд; указать погрешность:

238)