Файл: Учебное пособие СанктПетербург 2020 2 ббк 65. 05 Удк 338. 984 Публикуется по решению ученого совета.pdf

109
Решение:
Пусть сумма кредита равна S.По условию долг предприятия должен уменьшаться до нуля равномерно:
К концу каждого месяца к сумме долга добавляется
r%. Пусть
k=1+
????
????????????%
,
тогда последовательность сумм долга вместе с процентами такова:
k*S; k*S*
????????
????????
;……; k*S*
????
????????
; k*S
∗
????
????????
Следовательно, выплаты должны быть следующими:
(k-1)*S+
????
????????
;
????????∗(????−????)∗????+????
????????
;….;
????∗(????−????)∗????+????
????????
;
(????−????)∗????+????
????????
Всего следует выплатить:
S+S*(k-1)*(1+
????????
????????
+
????????
????????
+…+
????
????????
+
????
????????

110
k = 1,02,
r = 0,02 или 2%
Ответ: r = 2%
Задача 3.
15-го января был выдан полугодовой кредит на развитие бизнеса. В таблице представлен график его погашения.
В конце каждого месяца, начиная с января, текущий долг увеличивался на 5%, а выплаты по погашению кредита происходили в первой половине каждого месяца, начиная с февраля. На сколько процентов общая сумма выплат при таких условиях больше суммы самого кредита?
Решение:
Не уходя от общих рассуждений, примем начальную сумму кредита за 100 руб. и будем считать, что выплаты производились 10 числа каждого месяца. Составим таблицу выплат:

111
Дата
14.02 14.03 14.04 14.05 14.06 14.07
Долг, руб.
105 94,5 84 73,5 63 52,5
Выплата, руб.
15 14,5 14 13,5 13 52,5
Остаток долга на день
выплаты, руб.
90 80 70 60 50 0
Остаток долга на день
выплаты, %
90%
80%
70%
60%
50%
0%
Тем самым, полная сумма выплат равна 15 + 14,5 +14
+13,5 +13 + 52,5 = 122,5 руб., переплата составила 22,5%.
Ответ: 22,5.
Задача 4.
Фермер получил кредит в банке под определенный процент годовых. Через год фермер в счет погашения кредита вернул в банк 3/4 от всей суммы, которую он должен банку к этому времени, а еще через год в счет полного погашения кредита он внес в банк сумму, на 21% превышающую величину полученного кредита. Каков процент годовых по кредиту в данном банке?

112
Решение.
Пусть сумма кредита составляет S у.е., а процентная ставка по кредиту x%. К концу первого года сумма долга фермера в банк с учетом начисленных процентов составила (1+0.01*x)*S у.е.
После возвращения банку 3/4 части от суммы долга долг фермера на следующий год составил ¼*(1+0.01*x)*S у. е.
На эту сумму в следующем году вновь начислены проценты. Сумма долга фермера к концу второго года погашения кредита с учетом процентной ставки составила¼*(1+0.01*x)²*S у.е. По условию задачи эта сумма равна 1,21*S у.е .
Решим уравнение ¼*(1+0.01*x)²*S =1,21*S на множестве положительных чисел.
(1+0.01*x)² =4*1,21
1+0.01*x =2*1,1
0.01*x=1.2
x=120

113
Задача 5.
31 декабря 2014 года ООО «Мебель +» получило в банке 4 290 000 рублей в кредит под 14,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 14,5%), затем ООО переводит в банк X рублей. Какой должна быть сумма X, чтобы ООО выплатило долг двумя равными платежами (то есть за два года)?
Решение:
Пусть сумма кредита равна S, а годовые проценты составляют а%. Тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент b = 1 + 0,01а.
После первой выплаты сумма долга составит S
1
= Sb − X.
После второй выплаты сумма долга составит:
????
????
= ????
????
∗ ???? − ???? = (???? ∗ ???? − ????)???? − ???? = ????????
????
− ????(???? + ????)
По условию двумя выплатами ООО должно погасить кредит полностью, поэтому ????????
????
− ????(???? + ????) = 0, откуда:

114
???? =
????????
????
???? + ????
При S = 4 290 000 и а = 14,5, получаем: b = 1,145 и
???? =
????????????????????????????∗????,????????????
????
????+????,????????????
= 2622050 (рублей).
Ответ: 2 622 050 руб.
Задача 6.
В июле 2016 года планируется взять кредит в размере
6,6 млн. руб. Условия возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года.
— с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга.
— в июле 2017, 2018 и 2019 годов долг остается равным 6,6 млн. руб.
— суммы выплат 2020 и 2021 годов равны.
Найдите r, если в 2021 году долг будет выплачен полностью и общие выплаты составят 12,6 млн. рублей.

115
Решение:
Пусть, банк начисляет r процентов, то есть умножает остаток долга на ???? +
????
????????????%
Обозначим это выражение за x.
Тогда первые три платежа составляли
????, ???? ∗ ???? − ????, ???? миллионов рублей.
Пусть четвертый и пятый платежи составляли N миллионов рублей.
Тогда ???? = (????, ???????? − ????)????, откуда ???? =
????,????????
????
????+????
По условию ???? ∗ (????, ???????? − ????, ????) + ???? ∗
????,????????
????
????+????
=12,6
Решим это уравнение:
(????????, ???????? − ????????. ????) + ????????, ????????
????
/(1+x) = 12,6
(????????, ???????? − ????????, ????)(???? + ????) + ????????, ????????
????
???? + ????
= ????????, ????
????????, ???????? − ????????, ???? + ????????, ????????
????
− ????????, ???????? + ????????, ????????
????
= ????????, ???? + ????????, ????????
????????????
????
− ????????, ???????? − ????????, ???? = ????
11
????
????
− ????, ???????? − ????????, ???? = ????
???? =
????, ???? ± √????????, ???????? + ???? ∗ ???????? ∗ ????????, ????
????????

116
Так как???? > ????, то ???? =
????,????+????????,????
????????
= ????, ????
Тогда r=20, банк начислял 20% годовых.
Ответ: 20%.
Задача 7.
Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 20 % по сравнению с началом года. В конце 1-го, 2-го и 3-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце
4-го и 5-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика превысит 10 млн.
Решение:
Обозначим через S размер кредита. В конце 1-го, 2-го и 3-го годов заёмщик выплачивает по 0,2S млн.
Всего 0,6S за три года.

117
Рассмотрим погашение кредита за следующие два года. В середине 4-го года долг возрастёт до 1,2S млн.
Обозначим через x размер выплачиваемой суммы в конце 4- го и 5-го годов. После выплаты в конце 4-го года долг равен 1,2S-x, а в середине 5-го года он равен 1,2*(1,2S-x). В конце 5-го года весь долг должен быть погашен, то есть последняя выплата равна 1,2*(1,2S-x) и по условию равна x. Значит,
1,2*(1,2S-x) =x
1,44S-1,2x=x
1,44S=2,2x
x=
????????????????
????????????
и общий размер выплат равен ????, ???????? + ???? ∗
????????????????
????????????
=
????????
????????
????
По условию
????????
????????
???? > ???????? млн , или 21S> ???????????? млн
При 6 это неравенство верно, а при 5 оно неверно, как и при меньших S
Ответ: 6 млн руб.

118
3.2 Задания для самостоятельного разбора
1. Предприниматель А взял кредит в банке на срок 6 месяцев. В конце каждого месяца общая сумма оставшегося долга увеличивается на одно и то же число процентов
(месячную процентную ставку), а затем уменьшается на сумму, уплаченную предпринимателем А. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину. Общая сумма выплат превысила сумму кредита на 63%. Найдите месячную процентную ставку.
2. ООО «Акрос» получило в банке в кредит 1,2 млн рублей на срок 24 месяца. По договору «Акрос» должны вносить в банк часть денег в конце каждого месяца. Каждый месяц общая сумма долга возрастает на 2%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную банку в конце месяца.
Суммы, выплачиваемые ООО, подбираются так, чтобы сумма долга уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый месяц. Какую сумму ООО «Акрос» выплатит банку в течение первого года кредитования?
3. 1 марта 2010 года Предприятие получило в банке кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита, следующая: 1 марта каждого следующего года банк,

119 начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Предприятие переводит в банк платеж. Весь долг Предприятие выплатило за 3 платежа, причем второй платеж оказался в два раза больше первого, а третий – в три раза больше первого. Сколько рублей взяло в кредит Предприятие, если за три года оно выплатил банку 2 395 800 рублей?
4. В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 31% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга, равную 69 690 821 рубль.
Сколько рублей было взято в банке, если известно, что он был полностью погашен тремя равными платежами
(то есть за три года)?
5. Индивидуальный предприниматель решил взять кредит в банке 331000 рублей на 3 месяца под 10% в месяц.
Существуют две схемы выплаты кредита.
По первой схеме банк в конце каждого месяца начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем предприниматель переводит в банк фиксированную сумму и в результате

120 выплачивает весь долг тремя равными платежами
(аннуитетные платежи).
По второй схеме тоже сумма долга в конце каждого месяца увеличивается на 10%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную предпринимателем.
Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину
(дифференцированные платежи). Какую схему выгоднее выбрать ИП? Сколько рублей будет составлять эта выгода?
6.
1 января
2015 года индивидуальный предприниматель взял в банке 1 млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита, следующая: 1 числа каждого следующего месяца банк, начисляет 1 процент на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 1%), затем предприниматель переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев можно взять такой кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 125 тыс. рублей?
7. 1 июня 2013 года ООО «Стома» получило в банке
900 000 рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая — 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 1 процент на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 1%), затем ООО «Стома» переводит в

121 банк платёж. На какое минимальное количество месяцев
ООО «Стома» может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 300 000 рублей?
8. 31 декабря 2014 года предприятие получило в банке
6 902 000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплат кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем предприятие переводит в банк x рублей. Какой должна быть сумма x, чтобы весь кредит был погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?
9.
31 декабря
2014 года
Тимофей, как индивидуальный предприниматель, взял в банке 7 007 000 рублей в кредит под 20% годовых. Схема выплаты кредита, следующая: 31 декабря каждого следующего года банк, начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20%), затем Тимофей переводит в банк платёж. Весь долг Тимофей выплатил за 3 равных платежа.
На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа?
10. 31 декабря 2014 года ООО «Актив» получило в банке 7 378 000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита, следующая: 31 декабря каждого