Файл: Лекция матрицы план Понятие матрицы. Типы матриц. Алгебра матриц.docx

Матрицы А и В называются согласованными, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Так, если , , m≠k, то матрицы А и В согласованные, так как n = n, а в обратном порядке матрицы В и А несогласованные, так как m ≠ k. Квадратные матрицы согласованы, когда у них одинаковый порядок n, причем согласованы как А и В, так и В и А. Если , а , то будут согласованы матрицы А и В, а также матрицы В и А, так как n = n, m = m.

Произведением двух согласованных матриц и

А= , В=
называется матрица С порядка mk:

= ∙ , элементы которой вычисляются по формуле:
( 1, 2, 3, …, m , j=1, 2, 3, …, k),
то есть элемент i –ой строки и j –го столбца матрицы С равен сумме произведений всех элементов i –ой строки матрицы А на соответствующие элементы j –го столбца матрицы В.
Пример. Найти произведение матриц А и В.
= , = ,

∙ = = = .
Произведение матриц В∙А не существует, так как матрицы В и А не согласованы: матрица В имеет порядок 22, а матрица А – порядок 32.

Рассмотрим свойства произведения матриц:

1) некоммутативность: АВ ≠ ВА, даже если А и В, и В и А согласованы. Если же АВ = ВА, то матрицы А и В называются коммутирующими (матрицы А и В в этом случае обязательно будут квадратными).

---

Пример 1. = , = ;
= = ;

= = .
Очевидно, что ≠ .
Пример 2. = , = ;
= = = ;

= = = .
Вывод: ≠ , хотя матрицы и одного порядка.

2) для любых квадратных матриц единичная матрица Е является коммутирующей к любой матрице А того же порядка, причем в результате получим ту же матрицу А, то есть АЕ = ЕА = А.

Пример.
=

---

, = ;

= = = ;

= = = .

3) A·0 = 0·A = 0.
4) произведение двух матриц может равняться нулю, при этом матрицы А и В могут быть ненулевыми.
Пример.
= , = ;

= = = .
5) ассоциативность АВС=А(ВС)=(АВ)С:
· ( ·
Пример.

Имеем матрицы , , ;

тогда Аּ(ВּС) = ( ·



(АּВ)ּС=

---

= = =

= = .
Таким образом, мы на примере показали, что Аּ(ВּС) = (АּВ)ּС.

6) дистрибутивность относительно сложения:
(А+В)∙С = АС + ВС, А∙(В + С)=АВ + АС.
7) (А∙В) = В ∙А .
Пример.

= , = ,

, = .
Тогда АВ= ∙ = =

= (А∙В) = =
В ∙А = ∙ = = = .

Таким образом, (А∙В) = В А .
8) λ(АּВ) = (λА)ּ

---

В = Аּ (λВ), λ, R.
Рассмотрим типовые примеры на выполнение действий над матрицами, то есть требуется найти сумму, разность, произведение (если они существуют) двух матриц А и В.
Пример 1.
, .
Решение.
1) + = = = ;

2) – = = = ;
3) произведение не существует, так как матрицы А и В несогласованы, впрочем, не существует и произведения по той же причине.

Пример 2.
= , = .
Решение.

1) суммы матриц, как и их разности, не существует, так как исходные матрицы разного порядка: матрица А имеет порядок 23, а матрица В – порядок 31;
2) так как матрицы А и В согласованны, то произведение матриц АּВ существует:
· = · = = ,
произведение матриц ВּА не существует, так как матрицы

---