Файл: Лекция матрицы план Понятие матрицы. Типы матриц. Алгебра матриц.docx

МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

ЛЕКЦИЯ 1. МАТРИЦЫ

План

1. 
   Понятие матрицы. Типы матриц.
   
2. 
   Алгебра матриц.
   

1. ПОНЯТИЕ МАТРИЦЫ. ТИПЫ МАТРИЦ

Прямоугольную таблицу

А= ,
состоящую из m строк и n столбцов, элементами которой являются действительные числа , где i– номер строки, j- номер столбца на пересечении которых стоит этот элемент, будем называть числовой матрицей порядка mn и обозначать .

Рассмотрим основные типы матриц:

1. Пусть m = n, тогда матрица А – квадратная матрица, которая имеет порядок n:
А = .
Элементы образуют главную диагональ, элементы образуют побочную диагональ.

Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы, кроме, возможно, элементов главной диагонали, равны нулю:
А = = diag ( ).
Диагональная, а значит квадратная, матрица называется единичной, если все элементы главной диагонали равны 1:
Е = = diag (1, 1, 1,…,1).
Заметим, что единичная матрица является матричным аналогом единицы во множестве действительных чисел, а также подчеркнем, что единичная матрица определяется только для квадратных матриц.

Приведем примеры единичных матриц:
= , = .
Квадратные матрицы
А = , В =
называются верхней и нижней треугольными соответственно.

---

2. Пусть m = 1, тогда матрица А – матрица-строка, которая имеет вид:

3. Пусть n=1, тогда матрица А – матрица-столбец, которая имеет вид:


4.Нулевой матрицей называется матрица порядка mn, все элементы которой равны 0:
0 =
Заметим, что нулевая матрица может быть квадратной, матрицей-строкой или матрицей-столбцом. Нулевая матрица есть матричный аналог нуля во множестве действительных чисел.

5. Матрица называется транспонированной к матрице и обозначается , если ее столбцы являются соответствующими по номеру строками матрицы .

Пример. Пусть = , тогда = .

Заметим, если матрица А имеет порядок mn, то транспонированная матрица имеет порядок nm.
6. Матрица А называется симметричной, если А=А , и кососимметричной, если А = –А .

Пример. Исследовать на симметричность матрицы А и В.

= , тогда = , следовательно, матрица А – симметричная, так как А = А .

В = , тогда = , следовательно, матрица В – кососимметричная, так как В = – В .

Заметим, что симметричная и кососимметричная матрицы всегда квадратные. На главной диагонали

---

симметричной матрицы могут стоять любые элементы, а симметрично относительно главной диагонали должны стоять одинаковые элементы, то есть = . На главной диагонали кососимметричной матрицы всегда стоят нули, а симметрично относительно главной диагонали = – .

2. АЛГЕБРА МАТРИЦ
Рассмотрим действия над матрицами, но вначале введем несколько новых понятий.

Две матрицы А и В называются матрицами одного порядка, если они имеют одинаковое количество строк и одинаковое количество столбцов.

Пример. и – матрицы одного порядка 23;

и – матрицы разных порядков, так как 23≠32.

Понятия ″больше″ и ″меньше″ для матриц не определяют.

Матрицы А и В называются равными, если они одного порядка mn, и = , где 1, 2, 3, …, m, а j = 1, 2, 3, …, n.

Умножение матрицы на число.

Умножение матрицы А на число λ приводит к умножению каждого элемента матрицы на число λ:
λА = , λ R.

Из данного определения следует, что общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.

Пример.

Пусть матрица А = , тогда 5А= = .

Пусть матрица В = = = 5

---

.
Свойства умножения матрицы на число:
1) λА = Аλ;

2) (λμ)А = λ(μА) = μ(λА), где λ,μ R;

3) (λА) = λА ;

4) 0ּА = 0.
Сумма (разность) матриц.

Сумма (разность) определяется лишь для матриц одного порядка mn.

Суммой (разностью) двух матриц А и В порядка mn называется матрица С того же порядка, где = ± ( 1, 2, 3, …, m ,

j = 1, 2, 3, …, n.).

Иными словами, матрица С состоит из элементов, равных сумме (разности) соответствующих элементов матриц А и В.

Пример. Найти сумму и разность матриц А и В.
= , = ,

тогда = + = = ,

= – = = .
Если же = , = , то А ± В не существует, так как матрицы разного порядка.

Из данных выше определений следуют свойства суммы матриц:

1. 
   коммутативность А+В=В+А;
   
2. 
   ассоциативность (А+В)+С=А+(В+С);
   
3. 
   дистрибутивность к умножению на число λ R: λ(А+В) = λА+λВ;
   
4. 
   0+А=А, где 0 – нулевая матрица;
   
5. 
   А+(–А)=0, где (–А) – матрица, противоположная матрице А;
   
6. 
   (А+В) = А + В .
   

---

Произведение матриц.

Операция произведения определяется не для всех матриц, а лишь для согласованных.

---