Файл: Лекция матрицы план Понятие матрицы. Типы матриц. Алгебра матриц.docx

и несогласованны.
Пример 3.
= , = .

Решение.

1) суммы матриц, как и их разности, не существует, так как исходные матрицы разного порядка: матрица А имеет порядок 32, а матрица В – порядок 23;

2) произведение как матриц АּВ, так и ВּА, существует, так как матрицы согласованны, но результатом таких произведений будут матрицы разных порядков: · = , · = .
· = · =

= = ;

· = · = =

= = в данном случае АВ ≠ ВА.
Пример 4.
= , = .
Решение.
1) +

---

= = = ,

2) – = = = ;

3) произведение как матриц АּВ, так и ВּА, существует, так как матрицы согласованны:
· = = · = = ;

· = = · = =

= ≠ , то есть матрицы А и В некоммутирующие.
Пример 5.
= , = .
Решение.
1) + = = = ,

2) –

---

= = = ;
3) произведение как матриц АּВ, так и ВּА, существует, так как матрицы согласованны:
· = = · = = ;

· = = · = =

= = АּВ=ВּА, т. е. данные матрицы коммутирующие.

ЛЕКЦИЯ 2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
План

1. 
   Определители квадратной матрицы и их свойства.
   
2. 
   Теоремы Лапласа и аннулирования.
   

1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ КВАДРАТНОЙ МАТРИЦЫ И ИХ СВОЙСТВА
Пусть А – квадратная матрица порядка n:
А= .
Каждой такой матрице можно поставить в соответствие единственное действительное число, называемое определителем (детерминантом) матрицы и обозначаемое

= det A= Δ= .
Отметим, что определитель существует только для квадратных матриц.

Рассмотрим правила вычисления определителей и их свойства для квадратных матриц второго и третьего порядка, которые будем называть для краткости определителями второго и третьего порядка соответственно.

Определителем второго порядка

---

матрицы называется число, определяемое по правилу:
= = – , (1)
т. е. определитель второго порядка есть число, равное произведению элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной диагонали.
Пример.
= , тогда = = 4 · 3 – ( –1) · 2=12 + 2 = 14.
Следует помнить, что для обозначения матриц используют круглые или квадратные скобки, а для определителя – вертикальные линии. Матрица – это таблица чисел, а определитель – число.

Из определения определителя второго порядка следуют его свойства:

1. 
   Определитель не изменится при замене всех его строк соответствующими столбцами:
   

= .

2. 
   Знак определителя меняется на противоположный при перестановке строк (столбцов) определителя:
   

= – , = – .

3. 
   Общий множитель всех элементов строки (столбца) определителя можно вынести за знак определителя:
   

= или = .

4. 
   Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то определитель равен нулю.
   
5. 
   Определитель равен нулю, если соответствующие элементы его строк (столбцов) пропорциональны:
   

---

=0, = 0.

6. 
   Если элементы одной строки (столбца) определителя равны сумме двух слагаемых, то такой определитель равен сумме двух определителей:
   

= + , = + .

7. 
   Значение определителя не изменится, если к элементам его строки (столбца) прибавить (вычесть) соответственные элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и тоже число :
   

= + = ,
так как =0 по свойству 5.
Остальные свойства определителей рассмотрим ниже.

Введем понятие определителя третьего порядка: определителем третьегопорядкаквадратной матрицы называется число
Δ = = det A= =

= + + – –

---