Файл: Основы теории надежности.pdf

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ ИМПЕРАТОРА АЛЕКСАНДРА I»
(ФГБОУ ВО ПГУПС)
Н.В. ГРИБКОВА
ОСНОВЫ ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ
Учебное пособие
Санкт-Петербург
2022

УДК 519.873
ББК 30.14
Г82
Рецензенты:
профессор кафедры теории вероятностей и математической статистики
Санкт-Петербургского государственного университета,
доктор физико-математических наук
В.Б. Невзоров;
профессор, заведующий лабораторией методов анализа надежности ФГБУ науки
«Институт проблем машиноведения Российской Академии наук (ИПМаш РАН)»,
доктор физико-математических наук
Б.П. Харламов
Грибкова, Н.В.
Г82 Основы теории надежности: учебное пособие / Н.В.Грибкова. – Санкт-Петербург:
ФГБОУ ВО ПГУПС, 2022. – 155 с.
ISBN 978-5-7641-1757-7
В пособии изложены основы математических методов теории надежно- сти. Представлены базовые модели надежности систем как статические,
так и динамические, в том числе восстанавливаемых систем, для описа- ния и исследования которых используется теория марковских случайных процессов. Даны многочисленные примеры расчета надежности систем,
приведены задачи для самостоятельного решения.
Предназначено для студентов, изучающих основы теории надежности,
прикладной математики, математического моделирования. Также может быть полезно аспирантам и преподавателям.
УДК 519.873
ББК 30.14
c
Грибкова Н.В., 2022
ISBN 978-5-7641-1757-7
c
ФГБОУ ВО ПГУПС, 2022

Оглавление
1 Введение
5 1.1
Концепция надежности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 1.2
Основные термины и понятия теории надежности . . . . . .
6 1.3
Применяемые математические модели и методы . . . . . . .
9 1.4
Методы повышения надежности объектов . . . . . . . . . . .
11 2 Количественные показатели надежности
13 2.1
Индикатор состояния
13 2.2
Время наработки до отказа . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14 2.3
Функция надежности
15 2.4
Интенсивность отказов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16 2.5
Среднее время наработки до отказа . . . . . . . . . . . . . .
18 2.6
Среднее остаточное время наработки до отказа . . . . . . . .
20 2.7
Статистические оценки показателей надежности . . . . . . .
21 2.8
Показатели надежности ремонтируемых объектов . . . . . .
23
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26 3 Модели отказов
27 3.1
Дискретные модельные распределения . . . . . . . . . . . . .
27 3.2
Экспоненциальное распределение . . . . . . . . . . . . . . . .
29 3.3
Распределение Эрланга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31 3.4
Распределение Вейбулла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32 3.5
Нормальное (гауссовское) распределение
36 3.6
Логнормальное распределение . . . . . . . . . . . . . . . . .
38 3.7
Обратное гауссовское распределение . . . . . . . . . . . . . .
40 3.8
Распределения экстремальных значений . . . . . . . . . . . .
42
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47 4 Анализ надежности структурных схем
50 4.1
Блок-схемы надежности и функции структур . . . . . . . . .
50 4.2
Надежность систем с независимыми компонентами
57 3

4.3
Резервирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73 5 Считающие процессы
77 5.1
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77 5.2
Считающие процессы
78 5.3
Некоторые базовые понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81 5.4
Основные типы считающих процессов . . . . . . . . . . . . .
84
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93 6 Марковские модели в теории надежности
96 6.1
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96 6.2
Марковские процессы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98 6.3
Дифференциальные уравнения Колмогорова . . . . . . . . . 107 6.4
Стационарные вероятности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 6.5
Параллельные и последовательные структуры . . . . . . . . 118 6.6
Системы с поглощающими состояниями . . . . . . . . . . . . 123 6.7
Системы с зависимыми компонентами . . . . . . . . . . . . . 130 6.8
Системы с резервированием . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 6.9
Зависящие от времени (нестационарные) решения . . . . . . 142
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 7 Дополнения
150 7.1
Преобразование Лапласа
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 7.2
Гамма-функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
Библиографический список . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 4

Глава 1
Введение
1.1
Концепция надежности
Понятие надежности как свойства вещей и человеческого атрибута су- ществовало с древних времен, но в отношении технических объектов кон- цепция надежности стала применяться только в XX веке, после Первой мировой войны, и использовалась вначале для обозначения меры безопас- ности эксплуатации первых самолетов. Надежность измерялась тогда ко- личеством аварий на час времени полета. В начале 1930-х годов были заложены теоретические основы использования статистических методов контроля качества промышленной продукции. Однако эти методы полу- чили широкое применение лишь после Второй мировой войны.
Математическая теория надежности возникла в связи с опытом эксплу- атации сложных систем в годы Второй мировой войны. Эти технические системы состояли из большого числа элементов и часто отказывали, хотя включали в себя качественные (если рассматривать их по отдельности)
комплектующие. Было замечено, что проблема заключается в том, что показатели надежности сложной системы часто равны (или близки) про- изведению показателей надежности ее элементов. Поэтому, если система содержит большое число элементов, ее надежность может быть довольно низкой, несмотря на то, что комплектующие имеют высокую надежность.
В середине XX века, с появлением космической техники, электроники,
атомной энергетики и других технологичных направлений человеческой деятельности, мир вступил в качественно новый этап своего развития.
Сложность и ответственность текущих и перспективных задач по прогно- зированию и обеспечению надежности технических систем вызвали бур- ный рост работ по надежности, востребованных как в теории, так и на практике.
В западной науке пионерами создания основ математической теории
5

надежности были Р. Барлоу и Ф. Прошан [1–2]. В нашей стране разви- тие теории надежности связано с именами Б.В. Гнеденко, А.Д. Соловьева,
Ю.К. Беляева [17], И.А. Ушакова [31–33] и др. Студентам, заинтересован- ным в более подробном знакомстве с историей становления математиче- ской теории надежности, можно порекомендовать замечательный истори- ческий обзор И.А. Ушакова [33].
Современная теория надежности — это инженерное направление, в котором применяются математические модели и методы для: 1) расчета и обеспечения надежности технических объектов на этапе их проектиро- вания; 2) получения выводов о надежности произведенных технических систем на основе результатов эксплуатации и/или специально спланиро- ванных испытаний; 3) обеспечения и повышения надежности технических объектов в процессе эксплуатации, хранения и транспортировки [12].
Процессы, происходящие в технических системах при их эксплуатации
(или транспортировке и хранении), как правило, носят случайный харак- тер. Характеристики надежности систем — это характеристики модели- рующих их работу случайных процессов. Оценки параметров, характери- зующих надежность систем, производятся на основе испытаний большо- го числа однотипных объектов и относятся к средним показателям. Все сказанное объясняет тот факт, что основными методами математической теории надежности являются методы теории вероятностей, случайных процессов и математической статистики.
Теория надежности имеет дело с такими показателями, как, например,
вероятность безотказный работы, среднее время безотказной работы,
вероятность того, что система будет исправна в некоторый заданный момент времени (или в некотором заданном интервале времени) и пр.
Кроме вероятностных и статистических в теории надежности также широко применяют методы теории оптимизации, математической логики,
исследования операций и др.
1.2
Основные термины и понятия теории надежности
В этом разделе мы перечислим и определим основные термины теории надежности, которые будем использовать в дальнейшем. Полный список терминов представлен в ГОСТ 27.002-89. Надежность в технике. Основные понятия. Термины и определения [18].
Объект — техническое изделие определенного целевого назначения, рас- сматриваемое в периоды проектирования, производства, испытаний и экс- плуатации.
6

Система — объект, представляющий собой совокупность элементов,
взаимодействующих в процессе выполнения определенного круга задач и взаимосвязанных функционально.
Элемент системы — объект, представляющий собой простейшую часть системы, отдельные части которого не представляют самостоятельного интереса в рамках конкретного рассмотрения.
В дальнейшем мы будем использовать слово «объект» как обобщаю- щее обозначение для систем, подсистем, элементов. Все технические объ- екты предназначены для выполнения одной или нескольких обязательных функций. С возможностью выполнения этих функций и связано понятие надежности (как основное понятие теории надежности).
Надежность — свойство объекта сохранять во времени в установлен- ных пределах значения всех параметров, характеризующих способность выполнять требуемые функции в заданных режимах и условиях эксплуа- тации, технического обслуживания, хранения и транспортировки.
Прежде чем оценивать надежность объекта (например, автомобиля),
необходимо перечислить и систематизировать функции, которые должен выполнять этот объект, и установить границы значений параметров, при которых выполнение этих функций возможно.
Надежность является комплексным свойством, которое в зависимости от назначения объекта и условий его эксплуатации может включать без- отказность, долговечность, ремонтопригодность или различные сочетания этих свойств.
Отказ — событие, заключающееся в нарушении работоспособного состо- яния объекта.
Безотказность — свойство объекта непрерывно сохранять работоспособ- ное состояние в течение некоторого времени или наработки.
Ремонтопригодность — свойство объекта, заключающееся в приспособ- ленности к поддержанию и восстановлению работоспособного состояния путем технического обслуживания и ремонта.
Восстанавливаемый (невосстанавливаемый) объект — объект, ра- ботоспособность которого в случае возникновения отказа подлежит (не подлежит) восстановлению в рассматриваемых условиях.
Объект может изучаться как невосстанавливаемый, если в какой-то мо- мент нас интересуют только его характеристики до первого отказа.
Наработка до отказа — наработка объекта от начала эксплуатации до возникновения первого отказа.
7

Наработка до отказа может измеряться временем T работы до отказа,
но может быть измерена, например, пробегом в километрах или количе- ством произведенной до первого отказа продукции.
Для восстанавливаемых объектов могут быть также определены сле- дующие понятия.
Наработка между отказами — наработка объекта от окончания восста- новления его работоспособного состояния после отказа до возникновения следующего отказа.
Время восстановления — продолжительность восстановления работо- способного состояния объекта.
Готовность — способность объекта (имея в виду аспекты надежности и возможности восстановления (ремонта)) в установленный момент вре- мени (или в течение указанного периода времени) выполнять требуемые функции. Показателем готовности является функция готовности:
A(t) = P элемент работоспособен в момент времени t
.
Термин «готовность» означает здесь, что система (элемент) или находится в активной работе, или что она может работать при необходимости.
Коэффициент средней готовности — величина
A
ср.
=
T
ср.
T
ср.
+ T
ср.рем.
,
где T
ср.
– среднее время наработки до отказа, а T
ср.рем.
– среднее время ремонта.
Коэффициент A
ср.
имеет смысл средней доли времени, в течение кото- рого (ремонтопригодная) система остается работоспособной.
Одним из способов повышения надежности является резервирование для наиболее уязвимых и/или критически важных для работоспособности объекта узлов и элементов.
Резервирование — способ обеспечения надежности объекта за счет ис- пользования дополнительных средств и/или возможностей, избыточных по отношению к минимально необходимым для выполнения требуемых функций.
Резерв — совокупность дополнительных средств и/или возможностей,
используемых для резервирования.
8

Основной элемент — элемент объекта, необходимый для выполнения требуемых функций без использования резерва.
Резервируемый элемент — основной элемент, на случай отказа кото- рого в объекте предусмотрены один или несколько резервных элементов.
Резервный элемент — элемент, предназначенный для выполнения функций основного элемента в случае отказа последнего.
Нагруженный резерв — резерв, который содержит один или несколько резервных элементов, находящихся в режиме основного элемента, т. е. в эксплуатации. По другой терминологии в этом случае используют также термин «горячий резерв».
Облегченный резерв — резерв, который содержит один или несколь- ко резервных элементов, находящихся в менее нагруженном режиме, чем основной элемент. В этом случае используют также термин «частично нагруженный резерв».
Ненагруженный резерв — резерв, который содержит один или несколь- ко резервных элементов, находящихся в режиме ожидания до начала вы- полнения ими функций основного элемента. По другой терминологии в этом случае используют также термин «холодный резерв».
1.3
Применяемые математические модели и методы
При изучении надежности технических объектов мы по необходимости работаем с моделями этих объектов, причем применяются, как правило,
модели двух типов: графические (разного вида сети) и математические,
которые делятся на статические (не учитывающие фактор времени) и ди- намические (использующие модели (случайных) процессов). Однако сле- дует помнить, что для того, чтобы применение модели было успешным,
модель должна быть достаточно «реалистична», при этом реалистичность модели можно проверить только практикой ее использования.
Е. Нейман (один из основоположников математической статистики) вы- ражал это следующим образом: «Каждая попытка использовать мате- матику для изучения реальных явлений должна начинаться с постро- ение математической модели этих явлений. По необходимости модель упрощает объект исследования, в большей или меньшей степени игно- рируя ряд деталей. Успех зависит от того, действительно ли проигно- рированные детали не важны для изучения явления. Решение матема- тической проблемы может быть верным, при этом вы можете всту-
9

пить в конфликт с реальностью просто потому, что исходные предпо- ложения математической модели существенно расходятся с условиями практической задачи. Заранее невозможно предсказать с уверенностью,
является ли данная математическая модель адекватной. Чтобы это выяснить, необходимо получить ряд следствий применения модели и сравнить их с наблюдениями».
Другой знаменитый специалист в области статистики Дж. Бокс подчер- кивал, что «ни одна модель не является абсолютно правильной. В опре- деленных ситуациях, однако, некоторые модели оказываются более по- лезными, чем другие».
При построении математической модели всегда присутствуют два про- тиворечивых интереса:
• модель должна быть достаточно простой, чтобы можно было приме- нять доступные математические и статистические методы;
• модель должна быть достаточно «реалистичной», чтобы полученные с ее помощью результаты имели практическую значимость.
Чтобы быть «реалистичной», модель должна описывать основные чер- ты системы, но не обязательно быть точной во всех деталях. Мы должны,
однако, помнить, что, применяя модели, мы работаем с идеализирован- ным, упрощенным «портретом» системы, при этом результаты, которые мы получаем, строго говоря, действительны только для модели и, соот- ветственно, являются «правильными» только в той степени, в которой мо- дель реалистична. Исходя из сказанного мы должны понимать, что для успешного анализа надежности технических систем требуются:
• подробные знания о технических аспектах системы и физических ме- ханизмах, которые могут привести к отказу;
• знание математических и статистических методов;
• возможность получения статистических данных для оценки парамет- ров и проверки качества моделей.
Применяемые для анализа надежности математические модели делят- ся на два класса: динамические (когда происходящие события, отказы рас- сматриваются как процессы, развивающиеся во времени) и статические,
в которых состояния системы определяются наборами работоспособных и неработоспособных элементов в фиксированный момент времени t.
В рамках статических моделей объекты представляются в ви- де блоковых диаграмм, отражающих последовательные, параллельные,
параллельно-последовательные или мостиковые структуры (см. п. 4.1).
Для анализа надежности таких структур используют: основные формулы теории вероятностей (вероятность   1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11