ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 12.12.2023
Просмотров: 308
Скачиваний: 13
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
0
. В качестве моделей процесса X(t) применяются марковские [5–6], [11], [22], полумарковские
[5], [34] и регенерирующие процессы [9], [20]. При этом, как правило, ис- пользуются асимптотические результаты, базирующиеся на вычислении стационарных (предельных при t → ∞) вероятностей состояний объек- та. В рамках динамических моделей широко используется также метод статистического моделирования (метод Монте-Карло).
1.4
Методы повышения надежности объектов
В технических системах часто надежность отдельных элементов (под- систем) может иметь критически важное значение для работоспособно- сти всей системы, большее, чем других ее компонентов. Если, например,
функционирование элемента необходимо для работы остальной части си- стемы, отказ этого единственного элемента влечет за собой то, что система выйдет из строя. С целью повышения надежности технических систем на этапе их проектирования используют различные подходы, среди которых можно выделить три основных и взаимодополняющих:
• повышение надежности элементной базы;
• введение резервирования;
• обеспечение многоуровневого характера функционирования.
Первый подход предполагает: использование высоконадежных ком- плектующих, изготовленных в соответствии с современными технологи- ями, отобранных и проверенных на требуемых режимах работы; защиту элементов от внешних вредных воздействий (климатических, механиче- ских, радиационных и т.п.); снижение нагрузок на элементы.
Второй – структурное резервирование, представляющее собой метод повышения надежности системы, при котором вводятся дополнительные избыточные элементы сверх минимально необходимых для нормального выполнения системой возложенных на нее функций.
11
Тип резервирования, получаемый путем замены важного элемента дву- мя или более элементами, работающими параллельно, называется нагру- женным (или «горячим») резервированием. Эти элементы делят между собой нагрузку с самого начала, пока не произойдет отказ одного из них.
Резервные элементы также могут храниться в режиме ожидания и ак- тивироваться один за другим, заменяя основной работающий элемент при его отказе. Если резервные элементы не несут нагрузки в период ожида- ния до их активации (следовательно, не может произойти их отказ в этот период), такое резервирование называется ненагруженным (или «холод- ным») резервированием. Возможны схемы резервирования, при которых резервные элементы несут слабую нагрузку в период ожидания (следова- тельно, может произойти их отказ в этот период), такое резервирование называется частично нагруженным.
Третий метод обеспечения более высоких показателей надежности —
разработка систем с многоуровневым характером функционирования при возникновении отказов. Многоуровневость функционирования с точки зрения надежности означает, что при возникновении отказов система не остается на том же, например 100 %-ном, уровне производительности, что имеет место в случае систем с резервированием, но и не снижает уровень производительности до 0 % (отказ системы), а переключается на проме- жуточные, как правило, дискретные уровни, снижая свою эффективность
(производительность).
12
Глава 2
Количественные показатели надежности
В этой главе вначале введем несколько количественных показателей на- дежности невосстанавливаемых объектов. Эти объекты могут быть чем угодно, от небольших элементов до больших систем. При этом, когда мы классифицируем объект как не подлежащий ремонту, это означает, что мы заинтересованы только в его изучении до момента первого отказа.
В некоторых случаях объект может быть действительно неисправимым,
это означает, что он будет отброшен при первом отказе. В других случаях объект может быть отремонтирован, но нас интересует только то, что про- исходит с ним до первого отказа. Мы введем следующие четыре важных показателя надежности невосстанавливаемых элементов:
• R(t) — функция надежности (выживаемости);
• υ(t) — функция интенсивности отказов;
• T
ср.
— среднее время наработки до отказа;
• T
ср. ост.
(t) — средний остаточный срок службы.
Затем в п. 2.7 мы рассмотрим статистические версии (оценки) этих показателей. И наконец, в п. 2.8 приведем основные показатели для ре- монтопригодных объектов, а также их статистические версии.
2.1
Индикатор состояния
Состояние объекта в момент времени t может быть описано индикатором состояния X(t):
X(t) =
(
1,
если объект работоспособен в момент времени t;
0,
если объект находится в состоянии отказа в момент t.
(2.1)
13
Индикатор X(t) состояния объекта, не подлежащего ремонту, является,
вообще говоря, элементарным случайным процессом, поскольку его зна- чение изменяется с 1 на 0 в случайный момент времени (момент отказа элемента). Типичный график реализации X(t) показан на рис. 2.1.
Рис. 2.1. Индикатор состояния и время до отказа объекта
2.2
Время наработки до отказа
Под временем T наработки до отказа объекта будем понимать время,
прошедшее с момента начала его эксплуатации до момента его первого выхода из строя. Установим t = 0 в качестве отправной точки. Время до отказа T естественно интерпретировать как случайную величину, посколь- ку его изменения обычно связаны со случайными причинами. Очевидно,
время до отказа T и индикатор состояния X(t) связаны между собой сле- дующим образом:
T = sup t≥0
{t : X(t) = 1},
это соотношение иллюстрирует рис. 2.1.
Важно отметить, что в теории надежности время до отказа T не всегда имеет смысл именно календарного времени. В зависимости от ситуации это может также измеряться более косвенными понятиями времени, таки- ми как:
• число срабатываний переключателя;
• пробег в километрах автомобиля до первой поломки;
• число оборотов подшипника;
• количество циклов для периодически работающего объекта.
Из этих примеров видно, что время до отказа может быть часто и дис- кретной случайной величиной. Однако распределение дискретной случай- ной величины может быть аппроксимировано распределением непрерыв- ной случайной величины. В дальнейшем, если не оговорено противное, мы
14
Таким образом, R(t) – это вероятность того, что объект не отказал в промежутке времени [0, t), или, другими словами, что объект «выжил» в промежутке [0, t) и все еще функционирует к моменту времени t. Пример- ный график функции надежности изображен на рис. 2.3.
Рис. 2.3. Функция надежности (выживания) R(t)
2.4
Интенсивность отказов
Вероятность того, что отказ объекта произойдет в интервале [t, t + 4t),
при условии, что к моменту t объект работоспособен, равна
P t ≤ T < t + 4t
T ≥ t
=
P t ≤ T < t + 4t
P T ≥ t
=
F (t + 4t) − F (t)
R(t)
Деля последнее равенство на 4t и переходя затем к пределу при
4t → 0, получаем величину υ(t), называемую функцией интенсивности отказов:
υ(t) = lim
4t→0
P t ≤ T < t + 4t
T ≥ t
4t
=
= lim
4t→0
F (t + 4t) − F (t)
4t
1
R(t)
=
f (t)
R(t)
(2.5)
Отсюда следует, что если 4t мало, то
P t ≤ T < t + 4t
T ≥ t
≈ υ(t)4t.
(2.6)
Отметим, что поскольку R(t) ≤ 1, мы всегда имеем υ(t) ≥ f (t) при всех t > 0. Так что если мы в момент t = 0 зададимся вопросом, какова веро- ятность того, что объект откажет в промежутке времени [t, t + 4t), то мы оценим эту вероятность как ≈ f (t)4t, но если мы знаем, что объект еще не отказал к моменту t, то оценим эту же вероятность как ≈ υ(t)4t, при- чем последняя величина, вообще говоря, больше первой. Если мы введем в эксплуатацию много идентичных объектов в момент t = 0, то величина
16
υ(t)4t будет представлять собой, грубо говоря, долю объектов, не отка- завших к моменту t, которые откажут в интервале времени [t, t + 4t).
Заметим, что f (t) =
d dt
F (t) =
d dt
(1 − R(t)) = −R
0
(t),
следовательно,
υ(t) =
f (t)
R(t)
= −
R
0
(t)
R(t)
= −
d dt ln R(t),
(2.7)
т. е. функция интенсивности отказов есть взятая со знаком минус лога- рифмическая производная функции надежности R(t).
Поскольку R(0) = 1 и, следовательно, ln R(0) = 0, то из (2.7) следует,
что ln R(t) = −
t
Z
0
υ(u) du
=⇒
R(t) = exp
−
t
Z
0
υ(u) du
,
(2.8)
в силу (2.5) мы также имеем f (t) = υ(t) · exp
−
t
Z
0
υ(u) du
(2.9)
Отметим, что из (2.8) следует, в частности, что если υ(t) ≡ const = λ
при t ≥ 0, то R(t) = e
−λ t
Обычно функция интенсивности отказов имеет характерный «ваннооб- разный» вид, представленный на рис. 2.4, согласно которому срок службы любого объекта можно разделить на три этапа:
Рис. 2.4. «Ваннообразная» форма графика интенсивности отказов
•
I — период приработки (или период «выжигания» дефектных эле- ментов);
17
•
II — период нормальной эксплуатации (или период «случайных от- казов»);
•
III — период старения (износа).
На начальном этапе частота отказов объекта высока, что связано с воз- можным наличием дефектов производства, не обнаруженных изготовите- лем. Затем следует период, в котором частота отказов стабилизируется на некотором уровне, где она остается в течение определенного времени,
пока не начнет увеличиваться по мере износа элементов объекта.
2.5
Среднее время наработки до отказа
Среднее время T
ср.
наработки до отказа объекта определяется как ма- тематическое ожидание:
T
ср.
= E(T ) =
∞
Z
0
t f (t) dt.
(2.10)
Если объект восстанавливаемый и время, необходимое для ремонта или замены неисправного объекта, очень мало по сравнению с T
ср.
, то T
ср.
мож- но понимать также как среднее время между двумя последовательными отказами.
Поскольку f (t) = −R
0
(t), мы может также написать
T
ср.
= −
∞
Z
0
t R
0
(t) dt,
(2.11)
и, интегрируя по частям в (2.11), получаем
T
ср.
= − [tR(t)]
∞
0
+
∞
Z
0
R(t) dt.
(2.12)
Покажем, что если T
ср.
< ∞, то [tR(t)]
∞
0
= 0 в (2.12). Действительно,
на нижнем пределе, т. е. при t = 0, мы имеем 0 · R(0) = 0 · 1 = 0. Покажем,
что и на верхнем пределе lim t→+∞
tR(t) = 0. Мы можем представить T
ср.
,
определенное как
R
∞
0
uf (u) du, в виде суммы двух интегралов
T
ср.
=
t
Z
0
u f (u) du
|
{z
}
→
t→∞
T
ср.
+
∞
Z
t u f (u) du
|
{z
}
→
t→∞
0
(2.13)
18
Итак, мы видим, что если T
ср.
конечно, то второй (остаточный) инте- грал в (2.13) стремится к нулю при t → ∞, а с другой стороны, мы имеем оценку
∞
Z
t u f (u) du ≥ t
∞
Z
t f (u) du = tP T ≥ t
= tR(t),
из которой следует, что tR(t) также стремится к нулю при t → ∞. Отсюда и из (2.12) следует формула
T
ср.
=
∞
Z
0
R(t) dt,
(2.14)
которая иногда удобнее для вычисления среднего времени до отказа, чем формула (2.10).
Среднее время наработки до отказа может быть также вычислено с ис- пользованием преобразования Лапласа (см. п. 7.1) функции надежности
R(t). Действительно, если мы из каких-то соображений нашли преобразо- вание Лапласа:
R
∗
(s) =
∞
Z
0
R(t)e
−st dt,
(2.15)
то отсюда и из формулы (2.14), очевидно, следует, что
T
ср.
= R
∗
(0) =
∞
Z
0
R(t) dt.
(2.16)
Пример 2.1. Рассмотрим устройство с функцией надежности вида
R(t) =
1
(0.2t + 1)
2
,
где время t измеряется в месяцах. Плотность вероятности распределения времени безотказной работы t равна f (t) = −R
0
(t) =
0.4
(0.2t + 1)
3
,
и для функции интенсивности отказов υ(t) имеем
υ(t) =
f (t)
R(t)
=
0.4 0.2t + 1
Среднее время наработки до отказа по формуле (2.14) равно
T
ср.
=
∞
Z
0
R(t) dt =
∞
Z
0 1
(0.2t + 1)
2
dt = 5 месяцев.
19
2.6
Среднее остаточное время наработки до отказа
Рассмотрим объект с временем наработки до отказа T , поставленный под нагрузку в момент t = 0 и еще не отказавший к моменту t. Вероятность того, что объект не откажет в дополнительное время длины s > 0, равна
R(s | t) = P T ≥ t + s
T ≥ t
=
P T ≥ t + s
P T ≥ t
=
R(s + t)
R(t)
(2.17)
Функция R(s | t) называется условной функцией надежности («выжи- вания») объекта возраста t. Среднее остаточное время наработки до от- каза объекта возраста t определяется формулой
T
ср. ост.
(t) = µ(t) =
∞
Z
0
R(s | t) ds =
∞
Z
0
R(s + t)
R(t)
ds =
1
R(t)
∞
Z
t
R(s) ds.
(2.18)
В момент t = 0, когда объект «новый», R(0) = 1, и мы, очевидно, имеем
µ(0) = T
ср.
. Заметим, что
µ
0
(t) =
f (t)
R
2
(t)
∞
Z
t
R(s) ds −
1
R(t)
R(t) = υ(t)µ(t) − 1,
откуда получаем полезную формулу для функции интенсивности отказов
υ(t) =
1 + µ
0
(t)
µ(t)
(2.19)
Пример 2.2. Рассмотрим устройство с функцией интенсивности отказов
υ(t) =
t t+1
. С ростом t интенсивность отказов возрастает и стремится к 1,
когда t → ∞. Соответствующая функция надежности, согласно форму- ле (2.8), равна
R(t) = exp
−
t
Z
0
u u + 1
= (t + 1) e
−t
,
и
T
ср.
=
∞
Z
0
(t + 1) e
−t dt = 2.
Условная функция надежности равна
R(s | t) = P T ≥ t + s
T ≥ t
=
(t + s + 1) e
−(t+s)
(t + 1) e
−t
=
t + s + 1
t + 1
e
−s
20
Среднее остаточное время службы устройства возраста t равно
T
ср. ост.
(t) =
∞
Z
0
R(s | t) ds =
∞
Z
0
t + s + 1
t + 1
e
−s ds = 1 +
1
t + 1
Мы видим, что в начальный момент t = 0, когда устройство новое,
среднее остаточное время T
ср. ост.
(0) = T
ср.
= 2, но с ростом t среднее остаточное время уменьшается и T
ср. ост.
(t) → 1 при t → ∞.
2.7
Статистические оценки показателей надежности
В прикладной теории надежности определения показателей часто дают в двух формах: вероятностной и статистической. Вероятностная форма удобнее при аналитических расчетах надежности, статистическая — при экспериментальных исследованиях. В этом разделе мы приведем стати- стические определения (оценки) основных показателей надежности тех- нических объектов, рассмотренных в п. 2.3–2.6.
Статистические показатели будем обозначать так же, как и соответ- ствующие вероятностные, но со значком оценки, принятым в математиче- ской статистике («крышечкой» сверху). При статистическом определении показателей надежности мы предполагаем, что проведены испытания n однотипных объектов до их отказа, после чего статистический показатель надежности определяют как частотный вариант соответствующего веро- ятностного показателя.
Обозначим через X
i
(t) — индикатор состояния (см. п. 2.1) i-го испы- туемого объекта в момент времени t, t ≥ 0. Введем величину N (t) =
= X
1
(t) + X
2
(t) + · · · + X
n
(t), равную числу объектов, находящихся в ис- правном состоянии в момент времени t. Обозначим T
i время наработки до отказа i-го объекта, i = 1, 2, . . . , n. Будем считать, что N (0) = n, т. е. все n объектов в начале испытаний исправны.
2.7.1. Функция надежности. Статистическим вариантом функции надежности объекта R(t) = P(T ≥ t), где T – время его наработки до отказа, т. е. вероятности того, что объект не откажет в интервале времени
[0, t), является функция b
R(t) =
N (t)
n
=
1
n n
X
i
X
i
(t).
(2.20)
Как известно из курса теории вероятностей, по закону больших чисел
(см., например, [10], [15], [21]) относительная частота наступления события
21
. В качестве моделей процесса X(t) применяются марковские [5–6], [11], [22], полумарковские
[5], [34] и регенерирующие процессы [9], [20]. При этом, как правило, ис- пользуются асимптотические результаты, базирующиеся на вычислении стационарных (предельных при t → ∞) вероятностей состояний объек- та. В рамках динамических моделей широко используется также метод статистического моделирования (метод Монте-Карло).
1.4
Методы повышения надежности объектов
В технических системах часто надежность отдельных элементов (под- систем) может иметь критически важное значение для работоспособно- сти всей системы, большее, чем других ее компонентов. Если, например,
функционирование элемента необходимо для работы остальной части си- стемы, отказ этого единственного элемента влечет за собой то, что система выйдет из строя. С целью повышения надежности технических систем на этапе их проектирования используют различные подходы, среди которых можно выделить три основных и взаимодополняющих:
• повышение надежности элементной базы;
• введение резервирования;
• обеспечение многоуровневого характера функционирования.
Первый подход предполагает: использование высоконадежных ком- плектующих, изготовленных в соответствии с современными технологи- ями, отобранных и проверенных на требуемых режимах работы; защиту элементов от внешних вредных воздействий (климатических, механиче- ских, радиационных и т.п.); снижение нагрузок на элементы.
Второй – структурное резервирование, представляющее собой метод повышения надежности системы, при котором вводятся дополнительные избыточные элементы сверх минимально необходимых для нормального выполнения системой возложенных на нее функций.
11
Тип резервирования, получаемый путем замены важного элемента дву- мя или более элементами, работающими параллельно, называется нагру- женным (или «горячим») резервированием. Эти элементы делят между собой нагрузку с самого начала, пока не произойдет отказ одного из них.
Резервные элементы также могут храниться в режиме ожидания и ак- тивироваться один за другим, заменяя основной работающий элемент при его отказе. Если резервные элементы не несут нагрузки в период ожида- ния до их активации (следовательно, не может произойти их отказ в этот период), такое резервирование называется ненагруженным (или «холод- ным») резервированием. Возможны схемы резервирования, при которых резервные элементы несут слабую нагрузку в период ожидания (следова- тельно, может произойти их отказ в этот период), такое резервирование называется частично нагруженным.
Третий метод обеспечения более высоких показателей надежности —
разработка систем с многоуровневым характером функционирования при возникновении отказов. Многоуровневость функционирования с точки зрения надежности означает, что при возникновении отказов система не остается на том же, например 100 %-ном, уровне производительности, что имеет место в случае систем с резервированием, но и не снижает уровень производительности до 0 % (отказ системы), а переключается на проме- жуточные, как правило, дискретные уровни, снижая свою эффективность
(производительность).
12
Глава 2
Количественные показатели надежности
В этой главе вначале введем несколько количественных показателей на- дежности невосстанавливаемых объектов. Эти объекты могут быть чем угодно, от небольших элементов до больших систем. При этом, когда мы классифицируем объект как не подлежащий ремонту, это означает, что мы заинтересованы только в его изучении до момента первого отказа.
В некоторых случаях объект может быть действительно неисправимым,
это означает, что он будет отброшен при первом отказе. В других случаях объект может быть отремонтирован, но нас интересует только то, что про- исходит с ним до первого отказа. Мы введем следующие четыре важных показателя надежности невосстанавливаемых элементов:
• R(t) — функция надежности (выживаемости);
• υ(t) — функция интенсивности отказов;
• T
ср.
— среднее время наработки до отказа;
• T
ср. ост.
(t) — средний остаточный срок службы.
Затем в п. 2.7 мы рассмотрим статистические версии (оценки) этих показателей. И наконец, в п. 2.8 приведем основные показатели для ре- монтопригодных объектов, а также их статистические версии.
2.1
Индикатор состояния
Состояние объекта в момент времени t может быть описано индикатором состояния X(t):
X(t) =
(
1,
если объект работоспособен в момент времени t;
0,
если объект находится в состоянии отказа в момент t.
(2.1)
13
Индикатор X(t) состояния объекта, не подлежащего ремонту, является,
вообще говоря, элементарным случайным процессом, поскольку его зна- чение изменяется с 1 на 0 в случайный момент времени (момент отказа элемента). Типичный график реализации X(t) показан на рис. 2.1.
Рис. 2.1. Индикатор состояния и время до отказа объекта
2.2
Время наработки до отказа
Под временем T наработки до отказа объекта будем понимать время,
прошедшее с момента начала его эксплуатации до момента его первого выхода из строя. Установим t = 0 в качестве отправной точки. Время до отказа T естественно интерпретировать как случайную величину, посколь- ку его изменения обычно связаны со случайными причинами. Очевидно,
время до отказа T и индикатор состояния X(t) связаны между собой сле- дующим образом:
T = sup t≥0
{t : X(t) = 1},
это соотношение иллюстрирует рис. 2.1.
Важно отметить, что в теории надежности время до отказа T не всегда имеет смысл именно календарного времени. В зависимости от ситуации это может также измеряться более косвенными понятиями времени, таки- ми как:
• число срабатываний переключателя;
• пробег в километрах автомобиля до первой поломки;
• число оборотов подшипника;
• количество циклов для периодически работающего объекта.
Из этих примеров видно, что время до отказа может быть часто и дис- кретной случайной величиной. Однако распределение дискретной случай- ной величины может быть аппроксимировано распределением непрерыв- ной случайной величины. В дальнейшем, если не оговорено противное, мы
14
будем предполагать, что время до отказа T имеет абсолютно непрерывное распределение с функцией плотности f (t) и функцией распределения
F (t) = P T < t
=
t
Z
0
f (u) du,
(2.2)
где t > 0. (Так как по смыслу T – неотрицательная случайная величина,
очевидно, что F (t) = P T < t
≡ 0 при t ≤ 0.)
Таким образом, F (t) — это вероятность того, что отказ объекта про- изойдет в течение интервала времени [0, t). Функция плотности вероятно- сти f (t) определяется как f (t) =
d dt
F (t) = lim
4t→0
F (t + 4t) − F (t)
4t
= lim
4t→0
P t ≤ T < t + 4t
4t
Отсюда следует, что, когда 4t мало,
P t ≤ T < t + 4t
≈ f (t)4t.
Примерные графики функции распределения F (t) и плотности вероят- ности f (t) показаны на рис. 2.2.
Рис. 2.2. Функция распределения F (t) и плотность распределения f (t) = F
0
(t)
2.3
Функция надежности
Функция надежности, которую также называют функцией выживания,
определяется как
R(t) = 1 − F (t) = P T ≥ t
,
(2.3)
где t ≥ 0, или эквивалентным образом как
R(t) = 1 −
t
Z
0
f (u) du =
+∞
Z
t f (u) du.
(2.4)
15
F (t) = P T < t
=
t
Z
0
f (u) du,
(2.2)
где t > 0. (Так как по смыслу T – неотрицательная случайная величина,
очевидно, что F (t) = P T < t
≡ 0 при t ≤ 0.)
Таким образом, F (t) — это вероятность того, что отказ объекта про- изойдет в течение интервала времени [0, t). Функция плотности вероятно- сти f (t) определяется как f (t) =
d dt
F (t) = lim
4t→0
F (t + 4t) − F (t)
4t
= lim
4t→0
P t ≤ T < t + 4t
4t
Отсюда следует, что, когда 4t мало,
P t ≤ T < t + 4t
≈ f (t)4t.
Примерные графики функции распределения F (t) и плотности вероят- ности f (t) показаны на рис. 2.2.
Рис. 2.2. Функция распределения F (t) и плотность распределения f (t) = F
0
(t)
2.3
Функция надежности
Функция надежности, которую также называют функцией выживания,
определяется как
R(t) = 1 − F (t) = P T ≥ t
,
(2.3)
где t ≥ 0, или эквивалентным образом как
R(t) = 1 −
t
Z
0
f (u) du =
+∞
Z
t f (u) du.
(2.4)
15
Таким образом, R(t) – это вероятность того, что объект не отказал в промежутке времени [0, t), или, другими словами, что объект «выжил» в промежутке [0, t) и все еще функционирует к моменту времени t. Пример- ный график функции надежности изображен на рис. 2.3.
Рис. 2.3. Функция надежности (выживания) R(t)
2.4
Интенсивность отказов
Вероятность того, что отказ объекта произойдет в интервале [t, t + 4t),
при условии, что к моменту t объект работоспособен, равна
P t ≤ T < t + 4t
T ≥ t
=
P t ≤ T < t + 4t
P T ≥ t
=
F (t + 4t) − F (t)
R(t)
Деля последнее равенство на 4t и переходя затем к пределу при
4t → 0, получаем величину υ(t), называемую функцией интенсивности отказов:
υ(t) = lim
4t→0
P t ≤ T < t + 4t
T ≥ t
4t
=
= lim
4t→0
F (t + 4t) − F (t)
4t
1
R(t)
=
f (t)
R(t)
(2.5)
Отсюда следует, что если 4t мало, то
P t ≤ T < t + 4t
T ≥ t
≈ υ(t)4t.
(2.6)
Отметим, что поскольку R(t) ≤ 1, мы всегда имеем υ(t) ≥ f (t) при всех t > 0. Так что если мы в момент t = 0 зададимся вопросом, какова веро- ятность того, что объект откажет в промежутке времени [t, t + 4t), то мы оценим эту вероятность как ≈ f (t)4t, но если мы знаем, что объект еще не отказал к моменту t, то оценим эту же вероятность как ≈ υ(t)4t, при- чем последняя величина, вообще говоря, больше первой. Если мы введем в эксплуатацию много идентичных объектов в момент t = 0, то величина
16
υ(t)4t будет представлять собой, грубо говоря, долю объектов, не отка- завших к моменту t, которые откажут в интервале времени [t, t + 4t).
Заметим, что f (t) =
d dt
F (t) =
d dt
(1 − R(t)) = −R
0
(t),
следовательно,
υ(t) =
f (t)
R(t)
= −
R
0
(t)
R(t)
= −
d dt ln R(t),
(2.7)
т. е. функция интенсивности отказов есть взятая со знаком минус лога- рифмическая производная функции надежности R(t).
Поскольку R(0) = 1 и, следовательно, ln R(0) = 0, то из (2.7) следует,
что ln R(t) = −
t
Z
0
υ(u) du
=⇒
R(t) = exp
−
t
Z
0
υ(u) du
,
(2.8)
в силу (2.5) мы также имеем f (t) = υ(t) · exp
−
t
Z
0
υ(u) du
(2.9)
Отметим, что из (2.8) следует, в частности, что если υ(t) ≡ const = λ
при t ≥ 0, то R(t) = e
−λ t
Обычно функция интенсивности отказов имеет характерный «ваннооб- разный» вид, представленный на рис. 2.4, согласно которому срок службы любого объекта можно разделить на три этапа:
Рис. 2.4. «Ваннообразная» форма графика интенсивности отказов
•
I — период приработки (или период «выжигания» дефектных эле- ментов);
17
•
II — период нормальной эксплуатации (или период «случайных от- казов»);
•
III — период старения (износа).
На начальном этапе частота отказов объекта высока, что связано с воз- можным наличием дефектов производства, не обнаруженных изготовите- лем. Затем следует период, в котором частота отказов стабилизируется на некотором уровне, где она остается в течение определенного времени,
пока не начнет увеличиваться по мере износа элементов объекта.
2.5
Среднее время наработки до отказа
Среднее время T
ср.
наработки до отказа объекта определяется как ма- тематическое ожидание:
T
ср.
= E(T ) =
∞
Z
0
t f (t) dt.
(2.10)
Если объект восстанавливаемый и время, необходимое для ремонта или замены неисправного объекта, очень мало по сравнению с T
ср.
, то T
ср.
мож- но понимать также как среднее время между двумя последовательными отказами.
Поскольку f (t) = −R
0
(t), мы может также написать
T
ср.
= −
∞
Z
0
t R
0
(t) dt,
(2.11)
и, интегрируя по частям в (2.11), получаем
T
ср.
= − [tR(t)]
∞
0
+
∞
Z
0
R(t) dt.
(2.12)
Покажем, что если T
ср.
< ∞, то [tR(t)]
∞
0
= 0 в (2.12). Действительно,
на нижнем пределе, т. е. при t = 0, мы имеем 0 · R(0) = 0 · 1 = 0. Покажем,
что и на верхнем пределе lim t→+∞
tR(t) = 0. Мы можем представить T
ср.
,
определенное как
R
∞
0
uf (u) du, в виде суммы двух интегралов
T
ср.
=
t
Z
0
u f (u) du
|
{z
}
→
t→∞
T
ср.
+
∞
Z
t u f (u) du
|
{z
}
→
t→∞
0
(2.13)
18
Итак, мы видим, что если T
ср.
конечно, то второй (остаточный) инте- грал в (2.13) стремится к нулю при t → ∞, а с другой стороны, мы имеем оценку
∞
Z
t u f (u) du ≥ t
∞
Z
t f (u) du = tP T ≥ t
= tR(t),
из которой следует, что tR(t) также стремится к нулю при t → ∞. Отсюда и из (2.12) следует формула
T
ср.
=
∞
Z
0
R(t) dt,
(2.14)
которая иногда удобнее для вычисления среднего времени до отказа, чем формула (2.10).
Среднее время наработки до отказа может быть также вычислено с ис- пользованием преобразования Лапласа (см. п. 7.1) функции надежности
R(t). Действительно, если мы из каких-то соображений нашли преобразо- вание Лапласа:
R
∗
(s) =
∞
Z
0
R(t)e
−st dt,
(2.15)
то отсюда и из формулы (2.14), очевидно, следует, что
T
ср.
= R
∗
(0) =
∞
Z
0
R(t) dt.
(2.16)
Пример 2.1. Рассмотрим устройство с функцией надежности вида
R(t) =
1
(0.2t + 1)
2
,
где время t измеряется в месяцах. Плотность вероятности распределения времени безотказной работы t равна f (t) = −R
0
(t) =
0.4
(0.2t + 1)
3
,
и для функции интенсивности отказов υ(t) имеем
υ(t) =
f (t)
R(t)
=
0.4 0.2t + 1
Среднее время наработки до отказа по формуле (2.14) равно
T
ср.
=
∞
Z
0
R(t) dt =
∞
Z
0 1
(0.2t + 1)
2
dt = 5 месяцев.
19
2.6
Среднее остаточное время наработки до отказа
Рассмотрим объект с временем наработки до отказа T , поставленный под нагрузку в момент t = 0 и еще не отказавший к моменту t. Вероятность того, что объект не откажет в дополнительное время длины s > 0, равна
R(s | t) = P T ≥ t + s
T ≥ t
=
P T ≥ t + s
P T ≥ t
=
R(s + t)
R(t)
(2.17)
Функция R(s | t) называется условной функцией надежности («выжи- вания») объекта возраста t. Среднее остаточное время наработки до от- каза объекта возраста t определяется формулой
T
ср. ост.
(t) = µ(t) =
∞
Z
0
R(s | t) ds =
∞
Z
0
R(s + t)
R(t)
ds =
1
R(t)
∞
Z
t
R(s) ds.
(2.18)
В момент t = 0, когда объект «новый», R(0) = 1, и мы, очевидно, имеем
µ(0) = T
ср.
. Заметим, что
µ
0
(t) =
f (t)
R
2
(t)
∞
Z
t
R(s) ds −
1
R(t)
R(t) = υ(t)µ(t) − 1,
откуда получаем полезную формулу для функции интенсивности отказов
υ(t) =
1 + µ
0
(t)
µ(t)
(2.19)
Пример 2.2. Рассмотрим устройство с функцией интенсивности отказов
υ(t) =
t t+1
. С ростом t интенсивность отказов возрастает и стремится к 1,
когда t → ∞. Соответствующая функция надежности, согласно форму- ле (2.8), равна
R(t) = exp
−
t
Z
0
u u + 1
= (t + 1) e
−t
,
и
T
ср.
=
∞
Z
0
(t + 1) e
−t dt = 2.
Условная функция надежности равна
R(s | t) = P T ≥ t + s
T ≥ t
=
(t + s + 1) e
−(t+s)
(t + 1) e
−t
=
t + s + 1
t + 1
e
−s
20
Среднее остаточное время службы устройства возраста t равно
T
ср. ост.
(t) =
∞
Z
0
R(s | t) ds =
∞
Z
0
t + s + 1
t + 1
e
−s ds = 1 +
1
t + 1
Мы видим, что в начальный момент t = 0, когда устройство новое,
среднее остаточное время T
ср. ост.
(0) = T
ср.
= 2, но с ростом t среднее остаточное время уменьшается и T
ср. ост.
(t) → 1 при t → ∞.
2.7
Статистические оценки показателей надежности
В прикладной теории надежности определения показателей часто дают в двух формах: вероятностной и статистической. Вероятностная форма удобнее при аналитических расчетах надежности, статистическая — при экспериментальных исследованиях. В этом разделе мы приведем стати- стические определения (оценки) основных показателей надежности тех- нических объектов, рассмотренных в п. 2.3–2.6.
Статистические показатели будем обозначать так же, как и соответ- ствующие вероятностные, но со значком оценки, принятым в математиче- ской статистике («крышечкой» сверху). При статистическом определении показателей надежности мы предполагаем, что проведены испытания n однотипных объектов до их отказа, после чего статистический показатель надежности определяют как частотный вариант соответствующего веро- ятностного показателя.
Обозначим через X
i
(t) — индикатор состояния (см. п. 2.1) i-го испы- туемого объекта в момент времени t, t ≥ 0. Введем величину N (t) =
= X
1
(t) + X
2
(t) + · · · + X
n
(t), равную числу объектов, находящихся в ис- правном состоянии в момент времени t. Обозначим T
i время наработки до отказа i-го объекта, i = 1, 2, . . . , n. Будем считать, что N (0) = n, т. е. все n объектов в начале испытаний исправны.
2.7.1. Функция надежности. Статистическим вариантом функции надежности объекта R(t) = P(T ≥ t), где T – время его наработки до отказа, т. е. вероятности того, что объект не откажет в интервале времени
[0, t), является функция b
R(t) =
N (t)
n
=
1
n n
X
i
X
i
(t).
(2.20)
Как известно из курса теории вероятностей, по закону больших чисел
(см., например, [10], [15], [21]) относительная частота наступления события
21