ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 12.12.2023
Просмотров: 297
Скачиваний: 13
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
останавливается до тех пор, пока оба насоса не будут отремонтированы.
Среднее время простоя системы в этом случае оценивается в 25 ч. Требу- ется:
1) выписать диаграмму интенсивностей переходов состояний системы;
2) записать дифференциальные уравнения Колмогорова для вероятно- стей состояний системы в матричной форме;
3) найти стационарные вероятности для каждого из состояний системы;
4) определить процент времени, когда (а) оба насоса работают, (б) ра- ботает только один из насосов, (в) оба насоса находятся в неисправном состоянии;
5) определить среднее число ремонтов насоса, необходимых в течение
5 лет;
6) найти математическое ожидания числа полных отказов системы (из- за одновременного отказа обоих насосов) в течение 5 лет.
6.3. В производственном помещении установлены два кондиционера, ко- торые работают одновременно и, таким образом, распределяют нагрузку.
При этом, когда оба кондиционера задействованы, каждый из них работа- ет приблизительно на 60 % своей мощности. Если один из кондиционеров выходит из строя, то другой берет на себя всю нагрузку и должен рабо- тать на 100 % своей мощности. Предполагается, что при одновременной работе двух кондиционеров интенсивность отказов каждого из них по- стоянна и равна λ = 6, 3 отказа в год. Если кондиционер работает на полную мощность, то интенсивность отказов становится равной λ = 8, 5
отказа в год. Как только один из кондиционеров выходит из строя, сразу же начинается его ремонт. Среднее время ремонта одного кондиционера составляет 8 ч. По окончании ремонта кондиционер сразу же вводится в эксплуатацию. Ремонтные работы выполняются независимо друг от друга
(т. е. наличие обслуживающего персонала не является ограничением). Ес- ли оба кондиционера находятся в неисправном состоянии одновременно,
то производственный процесс останавливается до тех пор, пока не зара- ботает один из кондиционеров. Предполагается, что оба кондиционера в момент времени t = 0 работоспособны. Требуется:
1) определить возможные состояния системы и создать диаграмму пе- реходов состояний;
2) записать дифференциальные уравнения Колмогорова для вероятно- стей состояний в матричной форме;
3) найти стационарные вероятности каждого из состояний системы;
4) найти среднее число ремонтов кондиционера в течение 3 лет;
5) найти процент времени, в течение которого точно один из насосов
146
Среднее время простоя системы в этом случае оценивается в 25 ч. Требу- ется:
1) выписать диаграмму интенсивностей переходов состояний системы;
2) записать дифференциальные уравнения Колмогорова для вероятно- стей состояний системы в матричной форме;
3) найти стационарные вероятности для каждого из состояний системы;
4) определить процент времени, когда (а) оба насоса работают, (б) ра- ботает только один из насосов, (в) оба насоса находятся в неисправном состоянии;
5) определить среднее число ремонтов насоса, необходимых в течение
5 лет;
6) найти математическое ожидания числа полных отказов системы (из- за одновременного отказа обоих насосов) в течение 5 лет.
6.3. В производственном помещении установлены два кондиционера, ко- торые работают одновременно и, таким образом, распределяют нагрузку.
При этом, когда оба кондиционера задействованы, каждый из них работа- ет приблизительно на 60 % своей мощности. Если один из кондиционеров выходит из строя, то другой берет на себя всю нагрузку и должен рабо- тать на 100 % своей мощности. Предполагается, что при одновременной работе двух кондиционеров интенсивность отказов каждого из них по- стоянна и равна λ = 6, 3 отказа в год. Если кондиционер работает на полную мощность, то интенсивность отказов становится равной λ = 8, 5
отказа в год. Как только один из кондиционеров выходит из строя, сразу же начинается его ремонт. Среднее время ремонта одного кондиционера составляет 8 ч. По окончании ремонта кондиционер сразу же вводится в эксплуатацию. Ремонтные работы выполняются независимо друг от друга
(т. е. наличие обслуживающего персонала не является ограничением). Ес- ли оба кондиционера находятся в неисправном состоянии одновременно,
то производственный процесс останавливается до тех пор, пока не зара- ботает один из кондиционеров. Предполагается, что оба кондиционера в момент времени t = 0 работоспособны. Требуется:
1) определить возможные состояния системы и создать диаграмму пе- реходов состояний;
2) записать дифференциальные уравнения Колмогорова для вероятно- стей состояний в матричной форме;
3) найти стационарные вероятности каждого из состояний системы;
4) найти среднее число ремонтов кондиционера в течение 3 лет;
5) найти процент времени, в течение которого точно один из насосов
146
находится в неисправном состоянии;
6) определить среднее время до первого отказа системы, т. е. среднее время до остановки производственного процесса впервые с момента t = 0;
7) найти процент времени простоя производственного помещения из-за отказа кондиционеров.
6.4. Имеется параллельная структура из трех независимых идентичных элементов с интенсивностью отказов λ и интенсивностью восстановле- ния µ. Элементы ремонтируются независимо. Предполагается, что все три элемента в момент времени t = 0 исправны. Требуется:
1) построить диаграмму переходов состояний и написать дифференци- альные уравнения Колмогорова для вероятностей состояний структуры;
2) показать, что среднее время наработки до первого отказа системы определяется как
T
S ср.
=
11 6λ
+
7µ
6λ
2
+
µ
2 3λ
3 6.5. Имеется параллельная структура из четырех независимых идентич- ных элементов с интенсивностью отказов λ и интенсивностью восстанов- ления µ. Элементы ремонтируются независимо. Предполагается, что все четыре элемента в момент времени t = 0 исправны. Требуется:
1) построить диаграмму переходов состояний и написать дифференци- альные уравнения Колмогорова для вероятностей состояний структуры;
2) найти среднее время до первого отказа системы;
3) ответить на вопрос, можно ли найти общую формулу для параллель- ной структуры из n компонентов? (Сравните с предыдущей задачей.)
6.6. Имеется система, которая подлежит двум типам ремонта. Изначально система имеет постоянную интенсивность отказов λ
1
. Когда система выхо- дит из строя в первый раз, выполняется ее частичный ремонт, чтобы вос- становить систему в рабочее состояние. Этот частичный ремонт не идеа- лен, и поэтому частота отказов λ
2
после этого частичного ремонта больше,
чем λ
1
. После отказа системы во второй раз выполняется тщательный ре- монт, который восстанавливает систему до состояния «как новая». Третий ремонт будет снова частичным ремонтом и т.д. Пусть µ
1
обозначает посто- янную интенсивность восстановления системы при частичном ремонте, а
µ
2
– интенсивность восстановления при полном ремонте (µ
1
> µ
2
). Пред- положим, что система введена в эксплуатацию в момент времени t = 0 в состоянии «как новая». Требуется:
1) построить диаграмму переходов состояний, написать дифференци- альные уравнения Колмогорова в матричной форме для вероятностей со-
147
6) определить среднее время до первого отказа системы, т. е. среднее время до остановки производственного процесса впервые с момента t = 0;
7) найти процент времени простоя производственного помещения из-за отказа кондиционеров.
6.4. Имеется параллельная структура из трех независимых идентичных элементов с интенсивностью отказов λ и интенсивностью восстановле- ния µ. Элементы ремонтируются независимо. Предполагается, что все три элемента в момент времени t = 0 исправны. Требуется:
1) построить диаграмму переходов состояний и написать дифференци- альные уравнения Колмогорова для вероятностей состояний структуры;
2) показать, что среднее время наработки до первого отказа системы определяется как
T
S ср.
=
11 6λ
+
7µ
6λ
2
+
µ
2 3λ
3 6.5. Имеется параллельная структура из четырех независимых идентич- ных элементов с интенсивностью отказов λ и интенсивностью восстанов- ления µ. Элементы ремонтируются независимо. Предполагается, что все четыре элемента в момент времени t = 0 исправны. Требуется:
1) построить диаграмму переходов состояний и написать дифференци- альные уравнения Колмогорова для вероятностей состояний структуры;
2) найти среднее время до первого отказа системы;
3) ответить на вопрос, можно ли найти общую формулу для параллель- ной структуры из n компонентов? (Сравните с предыдущей задачей.)
6.6. Имеется система, которая подлежит двум типам ремонта. Изначально система имеет постоянную интенсивность отказов λ
1
. Когда система выхо- дит из строя в первый раз, выполняется ее частичный ремонт, чтобы вос- становить систему в рабочее состояние. Этот частичный ремонт не идеа- лен, и поэтому частота отказов λ
2
после этого частичного ремонта больше,
чем λ
1
. После отказа системы во второй раз выполняется тщательный ре- монт, который восстанавливает систему до состояния «как новая». Третий ремонт будет снова частичным ремонтом и т.д. Пусть µ
1
обозначает посто- янную интенсивность восстановления системы при частичном ремонте, а
µ
2
– интенсивность восстановления при полном ремонте (µ
1
> µ
2
). Пред- положим, что система введена в эксплуатацию в момент времени t = 0 в состоянии «как новая». Требуется:
1) построить диаграмму переходов состояний, написать дифференци- альные уравнения Колмогорова в матричной форме для вероятностей со-
147
стояний этой системы;
2) найти стационарные вероятности всех состояний.
6.7. На рис. 6.19 изображена система с «холодным» резервированием, со- стоящая из двух компрессоров и переключающего элемента S.
Рис. 6.19. Система с резервированием из двух компрессоров
Когда активный компрессор A выходит из строя, запускается резерв- ный компрессор B. Предполагается, что, находясь в режиме ожидания,
компрессор B не может выйти из строя. Вероятность успешного переклю- чения на резервный компрессор B оценивается как (1 − p). Вероятность отказа p при переключении включает в себя также вероятность неудач- ного запуска резервного компрессора. Компрессор A является основным компрессором. Если происходит отказ системы (т. е. когда оба компрессора неисправны), оба компрессора ремонтируются одновременно и система не вводится в эксплуатацию до тех пор, пока не будут отремонтированы оба компрессора. Система всегда запускается снова с компрессором A в каче- стве активного. (Вероятность отказа по общей внешней причине считается пренебрежимо малой.) Предполагаются следующие входные данные: ин- тенсивность отказов для компрессора A равна λ
A
= 5, 0 · 10
−4
отказов в ч,
интенсивность отказов компрессора B равна λ
B
= 2, 0 · 10
−3
отказов в ч,
среднее время ремонта компрессора A составляет
1
µ
A
= 25 ч, среднее вре- мя ремонта обоих компрессоров при их одновременном отказе составляет
1
µ
= 35 ч, вероятность отказа переключателя p = 0, 03. Требуется:
1) определить возможные состояния системы и построить диаграмму переходов состояний;
2) записать дифференциальные уравнения Колмогорова (в матричной форме) для вероятностей состояний системы и найти стационарные веро- ятности состояний системы;
3) определить коэффициент средней готовности A
ср.
системы;
4) найти ожидаемое количество ремонтов компрессоров в течение 5 лет;
5) определить ожидаемое число отказов системы в течение 5 лет;
6) определить среднее время наработки до первого отказа системы при условии, что оба компрессора исправны в момент времени t = 0 с ком- прессором A в качестве рабочего компрессора;
148
2) найти стационарные вероятности всех состояний.
6.7. На рис. 6.19 изображена система с «холодным» резервированием, со- стоящая из двух компрессоров и переключающего элемента S.
Рис. 6.19. Система с резервированием из двух компрессоров
Когда активный компрессор A выходит из строя, запускается резерв- ный компрессор B. Предполагается, что, находясь в режиме ожидания,
компрессор B не может выйти из строя. Вероятность успешного переклю- чения на резервный компрессор B оценивается как (1 − p). Вероятность отказа p при переключении включает в себя также вероятность неудач- ного запуска резервного компрессора. Компрессор A является основным компрессором. Если происходит отказ системы (т. е. когда оба компрессора неисправны), оба компрессора ремонтируются одновременно и система не вводится в эксплуатацию до тех пор, пока не будут отремонтированы оба компрессора. Система всегда запускается снова с компрессором A в каче- стве активного. (Вероятность отказа по общей внешней причине считается пренебрежимо малой.) Предполагаются следующие входные данные: ин- тенсивность отказов для компрессора A равна λ
A
= 5, 0 · 10
−4
отказов в ч,
интенсивность отказов компрессора B равна λ
B
= 2, 0 · 10
−3
отказов в ч,
среднее время ремонта компрессора A составляет
1
µ
A
= 25 ч, среднее вре- мя ремонта обоих компрессоров при их одновременном отказе составляет
1
µ
= 35 ч, вероятность отказа переключателя p = 0, 03. Требуется:
1) определить возможные состояния системы и построить диаграмму переходов состояний;
2) записать дифференциальные уравнения Колмогорова (в матричной форме) для вероятностей состояний системы и найти стационарные веро- ятности состояний системы;
3) определить коэффициент средней готовности A
ср.
системы;
4) найти ожидаемое количество ремонтов компрессоров в течение 5 лет;
5) определить ожидаемое число отказов системы в течение 5 лет;
6) определить среднее время наработки до первого отказа системы при условии, что оба компрессора исправны в момент времени t = 0 с ком- прессором A в качестве рабочего компрессора;
148
7) рассмотреть альтернативную систему, в которой оба компрессора ра- ботают как обычная параллельная структура (с «горячим» резервирова- нием), все входные данные считать такими же, как выше (за исключением того, что когда нагрузка распределена на два компрессора, их интенсив- ность отказов снижается на 20 %, среднее время ремонта компрессора B
предполагается равным 20 ч), сравнить полученные результаты.
149
Глава 7
Дополнения
7.1
Преобразование Лапласа
Пусть функция f (t) определена на интервале [0, ∞). Преобразование
Лапласа f
∗
(s) функции f (t) определяется как
L
f (t) = f
∗
(s) =
∞
Z
0
e
−st f (t) dt,
где s — вещественное число.
Преобразование Лапласа определено не для всех функций. Например,
если f (t) = e t
2
, интеграл, определяющий преобразование f (t), расходится при всех s.
Если функция f (t) — это плотность распределения вероятностей неот- рицательной случайной величины T ≥ 0, то преобразование Лапласа f (t)
есть не что иное, как математическое ожидание случайной величины e
−sT
:
E e
−sT
=
∞
Z
0
e
−st f (t) dt.
При этом функция f (t) является обратным преобразованием Лапласа для f
∗
(s):
f (t) = L
−1
f
∗
(s)
.
(7.1)
Следующая теорема отвечает на вопрос об условиях существования преобразования Лапласа.
Теорема 7.1. Пусть функция f (t) кусочно непрерывна на любом конеч- ном интервале в области t ≥ 0 и удовлетворяет условию
|f (t)| ≤ M e
αt для всех t ≥ 0 150
и для некоторых постоянных α и M . Тогда преобразование Лапласа функции f (t) существует для всех s > α.
Справедливость этой теоремы очевидна.
Пример 7.1. Найдем преобразование Лапласа для функции f (t) = e
αt
,
которое часто применяется в задачах теории надежности. Имеем:
f
∗
(s) =
∞
Z
0
e
−st e
αt dt =
∞
Z
0
e
−(s−α)t dt = −
1
s − α
e
−(s−α)t
∞
0
=
1
s − α
(для s > α).
Таким образом,
L
e
αt
=
1
s − α
(для s > α).
Приведем некоторые важные свойства преобразования Лапласа, боль- шинство из которых следуют непосредственно из определения преобразо- вания Лапласа (или легко доказываются):
• L
f
1
(t) + f
2
(t)
= Lf
1
(t)
+ Lf
2
(t)
.
• L
αf (t) = αLf (t).
• L
f (t − α) = e
−α s
L
f (t).
• L
e
α t f (t)
= f
∗
(s − α).
• L
f
0
(t)
= s Lf (t) − f (0).
• L
R
t
0
f (u) du
=
1
s
L
f (t).
• L
R
t
0
f
1
Справедливость этой теоремы очевидна.
Пример 7.1. Найдем преобразование Лапласа для функции f (t) = e
αt
,
которое часто применяется в задачах теории надежности. Имеем:
f
∗
(s) =
∞
Z
0
e
−st e
αt dt =
∞
Z
0
e
−(s−α)t dt = −
1
s − α
e
−(s−α)t
∞
0
=
1
s − α
(для s > α).
Таким образом,
L
e
αt
=
1
s − α
(для s > α).
Приведем некоторые важные свойства преобразования Лапласа, боль- шинство из которых следуют непосредственно из определения преобразо- вания Лапласа (или легко доказываются):
• L
f
1
(t) + f
2
(t)
= Lf
1
(t)
+ Lf
2
(t)
.
• L
αf (t) = αLf (t).
• L
f (t − α) = e
−α s
L
f (t).
• L
e
α t f (t)
= f
∗
(s − α).
• L
f
0
(t)
= s Lf (t) − f (0).
• L
R
t
0
f (u) du
=
1
s
L
f (t).
• L
R
t
0
f
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
(t − u)f
2
(u) du
= Lf
1
(t)
· Lf
2
(t)
.
• lim s→∞
sf
∗
(s) = lim t→0
f (t).
• lim s→0
sf
∗
(s) = lim t→∞
f (t).
Приведем краткую таблицу преобразований Лапласа для некоторых элементарных функций.
Таблица 7.1. Преобразования Лапласа
№
f (t), t ≥ 0
f
∗
(s)
1 1
1/s
2
t
1/s
2 3
t
2 2!/s
3 4
t n
, n = 0, 1, 2, . . .
n!/s n+1 5
t
α
, α > −1
Γ(α + 1)/s
α+1 6
e
αt
1/(s − α), для s > α
7
t n
e
αt
,
n = 0, 1, 2, . . .
n!/(s − α)
n+1
, для s > α
151
2
(u) du
= Lf
1
(t)
· Lf
2
(t)
.
• lim s→∞
sf
∗
(s) = lim t→0
f (t).
• lim s→0
sf
∗
(s) = lim t→∞
f (t).
Приведем краткую таблицу преобразований Лапласа для некоторых элементарных функций.
Таблица 7.1. Преобразования Лапласа
№
f (t), t ≥ 0
f
∗
(s)
1 1
1/s
2
t
1/s
2 3
t
2 2!/s
3 4
t n
, n = 0, 1, 2, . . .
n!/s n+1 5
t
α
, α > −1
Γ(α + 1)/s
α+1 6
e
αt
1/(s − α), для s > α
7
t n
e
αt
,
n = 0, 1, 2, . . .
n!/(s − α)
n+1
, для s > α
151
7.2
Гамма-функция
7.2.1. Гамма-функция. Гамма-функция Γ(y) определена при всех веще- ственных y > 0 как
Γ(y) =
∞
Z
0
x y−1
e
−x dx.
(7.2)
Интегрированием по частям легко показать, что
Γ(y + 1) = y · Γ(y), для всех y > 0.
(7.3)
Если y = k – целое положительное число, то, применяя соотношение (7.3)
k раз, получаем
Γ(k + 1) = k · (k − 1) · · · 2 · 1 · Γ(1),
при этом
Γ(1) =
∞
Z
0
e
−x dx = 1.
Следовательно,
Γ(k + 1) = k!
(7.4)
Для многих приложений интерес представляют также значения
Γ ((2k + 1)/2) при целых k > 0. Применяя свойство (7.3), получаем
Γ
2k + 1 2
=
2k − 1 2
·
2k − 3 2
· · ·
1 2
· Γ
1 2
,
где
Γ
1 2
=
∞
Z
0
x
−1/2
e
−x dx =
√
2
∞
Z
0
e
−u
2
/2
du =
√
π,
где при вычислении интеграла была сделана замена переменной u =
√
2x .
Таким образом,
Γ
2k + 1 2
=
2k − 1 2
·
2k − 3 2
· · ·
1 2
·
√
π.
Таблицы значений функции Γ(y) для y > 0 можно найти в справочниках и интернет-источниках.
152
Библиографический список
1. Барлоу, Р. Математическая теория надежности / Р. Барлоу, Ф. Прошан;
пер. с англ. под ред. Б.В. Гнеденко. — Москва : Советское радио, 1969. –
488 с. — Текст : непосредственный.
2. Барлоу, Р. Статистическая теория надежности и испытания на безот- казность / Р. Барлоу, Ф. Прошан; пер. с англ. под ред. И.А. Ушакова. —
Москва : Наука, 1984. – 320 с. — Текст : непосредственный.
3. Байхельт, Ф. Надежность и техническое обслуживание. Математиче- ский подход / Ф. Байхельт, П. Франкен; пер. с нем. под ред. И.А. Ушакова
. — Москва : Радио и связь, 1988. – 392 с. — Текст : непосредственный.
4. Показательное распределение в стохастических моделях систем: ме- тодические указания / сост. Ю.В. Боровских, Н.В. Грибкова. — Санкт-
Петербург : ПГУПС, 1994. — 48 с. — Текст : непосредственный.
5. Боровских, Ю.В. Системы обслуживания : учебное пособие / Ю.В. Бо- ровских, Н.В. Грибкова. — Санкт-Петербург : Петербургский гос. ун-т путей сообщения, 1995. — 143 с. — Текст : непосредственный.
6. Боровских, Ю.В. Системы и сети с очерерями : учебное пособие /
Ю.В. Боровских, Н.В. Грибкова. — Санкт-Петербург: ПГУПС, 1995. —
143 с. — Текст : непосредственный.
7. Марковские сети массового обслуживания : методические указания /
сост. Ю.В. Боровских, Н.В. Грибкова. — Санкт-Петербург : ПГУПС,
1995. — 36 с. — Текст : непосредственный.
8. Марковские системы с очередями : методические указания / сост.
Ю.В. Боровских, Н.В. Грибкова. — Санкт-Петербург : ПГУПС, 1995. —
47 с. — Текст : непосредственный.
9. Регенеративное моделирование систем массового обслуживания : ме- тодические указания / сост. Ю.В. Боровских, Н.В. Грибкова. — Санкт-
Петербург : ПГУПС, 1995. — 44 с. — Текст : непосредственный.
10. Бородин, А.Н. Элементарный курс теории вероятностей и математи- ческой статистики/ А.Н. Бородин. – 8-е изд., стер. — Санкт-Петербург :
Лань, 2011. — 224 с. — Текст : непосредственный.
11. Бородин, А.Н. Случайные процессы / А.Н. Бородин. — Санкт-
Петербург : Лань, 2013.— 640 с. — Текст : непосредственный.
12. Вероятность и математическая стстистика / под ред. Ю.В. Прохоро- ва. — Большая Российская энциклопедия, 2003. — Репр. изд. — 912 с.
13. Викторова, В.С. Модели и методы расчета надежности технических систем / В.С. Викторова, А.С. Степанянц. – 2-е изд., испр. — Москва :
153
URSS, 2016. — 256 с. — Текст : непосредственный.
14. Викторова, В.С. Анализ надежности и эффективности многоуровне- вых технических систем / В.С. Викторова, А.С. Степанянц. — Москва :
ЛЕНАНД (URSS), 2020. — 168 с. — Текст : непосредственный.
15. Гнеденко, Б.В. Курс теории вероятностей / Б.В. Гнеденко. – 12-е изд.,
испр. и доп. — Москва : URSS, 2019. — 456 с. — Текст : непосредственный.
16. Гнеденко, Б.В. Математические методы в теории надежности /
Б.В. Гнеденко, Ю.К. Беляев, А.Д. Соловьев. – Москва : Наука, 1965. —
524 с. — Текст : непосредственный.
17. Гнеденко, Б.В. Математические методы в теории надежности. Основ- ные характеристики надежности и их статистический анализ / Б.В. Гне- денко, Ю.К. Беляев, А.Д. Соловьев. – 8-е изд., стер. – Москва : URSS,
2019. — 584 с. — Текст : непосредственный.
18. ГОСТ 27.002-89. Надежность в технике. Основные понятия. Термины и определения. – М. : Изд-во стандартов, 1989. [Электронный ресурс] . –
Режим доступа : http://docs.cntd.ru/document/gost-27-002-89.
19. Зверев, Г.Я. Оценка надежности изделия в процессе эксплуатации /
Г.Я. Зверев. – 2-е изд., стер. – Москва : ЛЕНАНД, 2010. — 96 с. — Текст :
непосредственный.
20. Калашников, В.В. Нить Ариадны в лабиринте моделирования /
В.В. Калашников, Б.В. Немчинов, В.М. Симонов.
— Москва : Наука,
1993. — 192 с. — Текст : непосредственный.
21. Кельберт, М.Я. Вероятность и статистика в примерах и задачах.
Т. 1: Основные понятия теории вероятностей и математической статисти- ки / М.Я. Кельберт, Ю.М. Сухов. – Москва : МЦНМО, 2007. — 456 с. —
Текст : непосредственный.
22. Кельберт, М.Я. Вероятность и статистика в примерах и задачах. Т. 2:
Марковские цепи как отправная точка теории случайных процессов и их приложения / М.Я. Кельберт, Ю.М. Сухов. – Москва : МЦНМО, 2010. —
560 с. — Текст : непосредственный.
23. Кокс, Д.Р. Теория восстановления / Д.Р. Кокс, В.Л. Смит. – Москва :
Советское радио, 1967. — 300 c. — Текст : непосредственный.
24. Ллойд, Д. Надежность: организация исследования, методы, математи- ческий аппарат / Д. Ллойд, М. Липов; пер. с англ. под ред. Н.П. Буслен- ко. — Москва : Советское радио, 1964. — 680 с. — Текст : непосредственный.
25. Надежность технических систем: cправочник / Ю.К. Беляев, В.А. Бо- гатырев, В.В. Болотин [и др.] / под ред. И.А. Ушакова . — Москва : Радио и связь, 1985. –– 606 с. — Текст : непосредственный.
154
26. Острейковский, В.А. Теория надежности / В.А. Острейковский. —
Москва : Высшая школа, 2003. — 463 с. — Текст : непосредственный.
27. Половко, А.М. Основы теории надежности / А.М. Половко, С.М. Гу- ров. — 2-е изд., перераб. и доп. — Санкт-Петербург : БХВ-Петербург,
2006. — 704 c. — Текст : непосредственный.
28. Половко, А.М. Основы теории надежности : практикум / А.М. По- ловко, С.М. Гуров. — Санкт-Петербург : БХВ-Петербург, 2006. — 560 c. —
Текст : непосредственный.
29. Рябинин, И.А. Надежность и безопасность сложных систем / И.А. Ря- бинин. — Санкт-Петербург : Политехника, 2000. — 248 c. — Текст : непо- средственный.
30. Рябинин И.А. Надежность и безопасность структурно-сложных си- стем / И.А. Рябинин. — Санкт-Петербург : СПбГУ, 2007. — 276 c. – Текст :
непосредственный.
31. Ушаков, И.А. Вероятностные модели надежности информационно-вы- числительных систем / И.А. Ушаков. – Москва : Радио и связь, 1991. —
132 c. — Текст : непосредственный.
32. Ушаков, И.А. Курс теории надежности систем / И.А. Ушаков. —
Москва : Дрофа, 2008. — 239 с. — Текст : непосредственный.
33 Ушаков, И.А. Откуда пошла надежность на Руси / И.А. Ушаков. –
электр. жур.-л «Методы менеджмента и качества». — РИА «Стандарты и качество», 2009. [Электронный ресурс] . – Режим доступа : https://ria- stk.ru/mmq/adetail.php?ID=16547.
34 Харламов, Б.П. Непрерывные полумарковские процессы / Б.П. Хар- ламов. – Санкт-Петербург : Наука, 2001. — 432 с. — Текст : непосредствен- ный.
35. Черкесов Г.Н. Надежность аппаратно-программных комплексов : учеб- ное пособие / Г.Н. Черкесов. — Санкт-Петербург : Питер, 2005. — 479 с. —
Текст : непосредственный.
36.
Drechsler
R
Binary
Decision
Diagrams
–
Theory and
Implementations / R. Drechsler, B. Becker. – Springer, 2010. — 210 pp.
37. Rausand M System reliability theory: models, statistical methods, and applications / M. Rausand, A. Høyland. – N.Y.: Wiley& Sons, 2004. — 636 pp.
155