Файл: Основы теории надежности.pdf

Система с резервированием может эксплуатироваться и ремонтиро- ваться различными способами:
• резервный элемент может быть «холодным» или частично нагружен- ным;
• переключающее устройство может иметь несколько типов отказов,
таких как «сбой переключения», «ложное переключение» и «отключение»;
• отказ резервного элемента может быть скрытым (необнаружимым)
или явным (обнаруживаемым).
Рис. 6.14. Двухэлементная система с резервированием
В этом разделе мы рассмотрим несколько режимов работы и ремонта двухэлементной системы с резервированием [37]. Результаты для этой си- стемы достаточно просто могут быть обобщены на случай более сложных систем и режимов [37].
6.8.1. Параллельная система с холодным резервированием и иде- альным переключателем. Поскольку в случае холодного резервиро- вания запасной элемент пассивен, естественно предположить, что он не выйдет из строя в состоянии ожидания. Предположим, что переключение идеальное, отказ активного элемента обнаруживается немедленно и ре- зервный элемент активируется с вероятностью 1. Интенсивности отказов в нагруженном режиме: λ
A
(работающего), λ
B
(резервного). Если основ- ной элемент A отказывает, резервный B немедленно встает на замену.
Время ремонта распределено экспоненциально с параметрами µ
A
и µ
B
соответственно. По окончании ремонта элемент переводится в состояние ожидания.
Таблица 6.3. Возможные состояния системы
Состояние системы Состояние элемента A Состояние элемента B
4
O
W
3
F
O
2
W
O
1
O
F
0
F
F
136

Возможные состояния системы перечислены в табл. 6.3, где 0
(operating) обозначает состояние под нагрузкой; W (waiting) — состоя- ние ожидания; F (failure) — состояние отказа. Отказ системы происходит,
когда активный элемент выходит из строя до завершения ремонта другого элемента. Состояние отказа системы — это состояние 0 в табл. 6.3.
Рис. 6.15. Диаграмма переходов для системы с холодным резервированием
В состоянии 0, когда оба элемента неисправны, они ремонтируются од- новременно, и система, таким образом, возвращается в состояние 4. Интен- сивность восстановления в этом случае обозначается через µ. Диаграмма перехода состояний системы показана на рис. 6.15. Матрица интенсивно- стей переходов
A =






−µ
0 0
0
µ
λ
A
−(λ
A
+ µ
B
)
0 0
µ
B
0
λ
B
−λ
B
0 0
λ
B
0
µ
A
−(λ
B
+ µ
A
)
0 0
0 0
λ
A
−λ
A






(6.43)
Стационарные вероятности состояний могут быть найдены решением предельного варианта уравнений Колмогорова, как описано в п. 6.3. Функ- ция надежности R(t) и среднее время T
ср.S
до отказа системы могут, как прежде, быть найдены путем рассмотрения состояния 0 как поглощающе- го. Предположим, что начальным состоянием (при t = 0) является состо- яние 4. Удаляя строку и столбец матрицы интенсивностей A, соответству- ющие поглощающему состоянию 0, мы получаем сокращенную матрицу
A
R
=




−(λ
A
+ µ
B
)
0 0
µ
B
λ
B
−λ
B
0 0
0
µ
A
−(λ
B
+ µ
A
)
0 0
0
λ
A
−λ
A




137

Применяя преобразования Лапласа и полагая в них s = 0, получаем си- стему уравнений
0, 0, 0, −1
= P
∗
1
(0), P
∗
2
(0), P
∗
3
(0), P
∗
4
(0)
· A
R
Из этих уравнений находим, что
P
∗
2
(0) =
λ
A
+ µ
B
λ
B
P
∗
1
(0),
P
∗
3
(0) =
λ
A
+ µ
B
µ
A
P
∗
1
(0),
P
∗
4
(0) =
λ
B
+ µ
A
λ
A
P
∗
3
(0) =
(λ
B
+ µ
A
)(λ
A
+ µ
B
)
λ
A
µ
A
P
∗
1
(0),
P
∗
4
(0) =
1 + µ
B
P
∗
1
(0)
λ
A
Отсюда находим
P
∗
1
(0) =
µ
A
λ
A
λ
B
+ λ
A
µ
A
+ λ
B
µ
B
Тогда для среднего времени T
ср.S
до отказа системы получаем
T
ср.S
= R
∗
(0) = P
∗
1
(0) + P
∗
2
(0) + P
∗
3
(0) + P
∗
4
(0) =
=
1
λ
A
+
1
λ
B
+
µ
A
λ
B
1
λ
B
−
1
λ
B
+ µ
A
+
λ
B
λ
A
µ
B
!
(6.44)
В частности, если ремонт отсутствует, то µ
A
= µ
B
= 0. В этом случае
T
ср.S
=
1
λ
A
+
1
λ
B
,
что является очевидным результатом.
6.8.2. Параллельная система с холодным резервированием и иде- альным переключателем (элемент A является основным). Рас- смотрим такую же систему с резервированием, как на рис. 6.14, но пред- положим теперь, что элемент A является основным элементом функцио- нирования. Это означает, что элемент B используется только тогда, когда элемент A находится в неисправном состоянии и ремонтируется. Таким образом, элемент A будет снова введен в эксплуатацию, как только будет завершен его ремонт. Отказ системы происходит, когда работающий эле- мент B выходит из строя до завершения ремонта основного элемента A.
Таким образом, отказ системы соответствует состоянию 0 в табл. 6.3.
Когда оба элемента вышли из строя, они ремонтируются одновремен- но, и система возвращается в состояние 4. Интенсивность восстановления в этом случае обозначается через µ. В этой системе состояния 1 и 2 из табл. 6.3 не могут иметь места. Диаграмма перехода состояний этой си- стемы показана на рис. 6.16.
138

Рис. 6.16. Диаграмма переходов параллельной системы, A – основной элемент
Матрица интенсивностей переходов в этом случае
A =


−µ
0
µ
λ
B
−(λ
B
+ µ
A
)
µ
A
0
λ
A
−λ
A


,
(6.45)
и из уравнений
0, 0, 0
= P
0
, P
3
, P
4
·


−µ
0
µ
λ
B
−(λ
B
+ µ
A
)
µ
A
0
λ
A
−λ
A


,
P
0
+ P
3
+ P
4
= 1
находим стационарные вероятности
P
0
=
λ
A
λ
B
λ
A
λ
B
+ λ
A
µ + λ
B
µ + µµ
A
,
P
3
=
λ
A
µ
λ
A
λ
B
+ λ
A
µ + λ
B
µ + µµ
A
,
P
4
=
λ
B
µ + µµ
A
λ
A
λ
B
+ λ
A
µ + λ
B
µ + µµ
A
,
где P
j
— средняя доля времени, в течение которого система находится в состояниях j = 0, 3, 4.
Интенсивность отказов системы в этом случае — это частота посещения состояния 0:
ω
F
= υ
0
=
P
0
µ
Для нахождения среднего времени T
ср.S
до отказа системы используем уравнения для преобразований Лапласа вероятностей состояний (с s = 0),
удаляя из матрицы интенсивностей строку и столбец, соответствующие поглощающему состоянию 0:
0, −1
= P
∗
3
(0), P
∗
4
(0)
·
−(λ
B
+ µ
A
)
µ
A
λ
A
−λ
A

139

Решение уравнений:
P
∗
3
(0) =
1
λ
B
,
P
∗
4
(0) =
1
λ
A
+
µ
A
λ
A
· λ
B
Отсюда находим среднее время T
ср.S
до отказа системы:
T
ср.S
= R
∗
(0) = P
∗
3
(0) + P
∗
4
(0) =
1
λ
A
+
1
λ
B
+
µ
A
λ
A
· λ
B
Среднее время ремонта (простоя) системы:
T
ср.рем. S
=
1
µ
Средняя готовность (исправность) системы:
A =
T
ср.S
T
ср.S
+ T
ср.рем. S
=
1/λ
A
+ 1/λ
B
+ µ
A
/(λ
A
λ
B
)
1/λ
A
+ 1/λ
B
+ µ
A
/(λ
A
λ
B
) + 1/µ
6.8.3. Параллельная система с холодным резервированием и неидеальным переключателем (элемент A является основным).
Рассмотрим снова схему, представленную на рис. 6.14, но предположим теперь, что переключатель не идеален. Если основной элемент A выходит из строя, резервный элемент B будет активирован успешно с вероятно- стью (1 − p). Противоположное событие, происходящее с вероятностью p,
может включать в себя также ситуацию, когда переключатель сработал,
но резервный элемент не запустился. Диаграмма переходов между состо- яниями системы показана на рис. 6.17.
Рис. 6.17. Система с неидеальным переключателем, A– основной элемент
Из состояния 4 система может перейти в состояние 3 с интенсивностью
(1 − p)λ
A
и в состояние 0 — с интенсивностью pλ
A
Стационарные вероятности определяются из системы уравнений
0, 0, 0
= P
0
, P
3
, P
4
·


−µ
0
µ
λ
B
−(λ
B
+ µ
A
)
µ
A
p λ
A
(1 − p)λ
A
−λ
A


,
P
0
+ P
3
+ P
4
= 1,
140

решение которой
P
0
=
λ
A
λ
B
+ pλ
A
µ
A
λ
A
λ
B
+ pλ
A
µ
A
+ (1 − p)λ
A
µ + λ
B
µ + µµ
A
,
P
3
=
(1 − p)λ
A
µ
λ
A
λ
B
+ pλ
A
µ
A
+ (1 − p)λ
A
µ + λ
B
µ + µµ
A
,
P
4
=
λ
B
µ + µµ
A
λ
A
λ
B
+ pλ
A
µ
A
+ (1 − p)λ
A
µ + λ
B
µ + µµ
A
Среднее время до отказа системы может быть найдено с помощью урав- нений
0, −1
= P
∗
3
(0), P
∗
4
(0)
·
−(λ
B
+ µ
A
)
µ
A
(1 − p)λ
A
−λ
A

Решение уравнений:
P
∗
3
(0) =
1 − p
λ
B
+ p µ
A
,
P
∗
4
(0) =
λ
B
+ µ
A
λ
A
(λ
B
+ p µ
A
)
Таким образом,
T
ср.S
= R
∗
(0) = P
∗
3
(0) + P
∗
4
(0) =
(1 − p) λ
A
+ λ
B
+ µ
A
λ
A
(λ
B
+ p µ
A
)
6.8.4. Параллельная система с частично нагруженным резер- вом и идеальным переключателем (элемент A является основ- ным). Рассмотрим снова систему с резервированием, представленную на рис. 6.14, но теперь мы будем предполагать, что резервный элемент B
может отказать в режиме ожидания и оказаться непригодным при акти- вации. Интенсивность отказов элемента B в режиме ожидания обозначим через λ
w
B
, причем эта интенсивность, как правило, меньше, чем интенсив- ность отказов во время функционирования.

в состояние 0. Диаграмма интенсивностей переходов состояний показана на рис. 6.18. Стационарные вероятности находятся из системы линейных уравнений
0, 0, 0, 0
= P
0
, P
1
, P
3
, P
4
·




−µ
0 0
µ
λ
A
−λ
A
0 0
λ
B
0
−(λ
B
+ µ
A
)
µ
A
0
λ
w
B
λ
A
−(λ
A
+ λ
w
B
)




,
P
0
+ P
3
+ P
4
= 1,
которая легко решается (оставляем это читателю в качестве упражнения).
Среднее время до отказа системы находим с помощью уравнений
0, 0, −1
= P
∗
1
(0), P
∗
3
(0), P
∗
4
(0)
·


−λ
A
0 0
0
−(λ
B
+ µ
A
)
µ
A
λ
w
B
λ
A
−(λ
A
+ λ
w
B
)


,
получая
P
∗
1
(0) =
(λ
w
B
/λ
A
)(λ
B
+ µ
A
)
λ
A
λ
B
+ λ
B
λ
w
B
+ λ
w
B
µ
A
,
P
∗
3
(0) =
λ
A
λ
A
λ
B
+ λ
B
λ
w
B
+ λ
w
B
µ
A
,
P
∗
4
(0) =
(λ
B
+ µ
A
)(λ
A
+ µ
B
)
λ
A
λ
B
+ λ
B
λ
w
B
+ λ
w
B
µ
A
Таким образом,
T
ср.S
= R
∗
(0) = P
∗
1
(0) + P
∗
3
(0) + P
∗
4
(0) =
λ
w
B
/λ
A
+ 1
(λ
B
+ µ
A
) + λ
A
λ
A
λ
B
+ λ
B
λ
w
B
+ λ
w
B
µ
A
В частном случае, когда элементы A и B однотипные ( λ
A
= λ
B
= λ и
λ
w
A
= λ
w
B
= λ
w
) и ремонт не производится ( µ
A
= µ = 0), среднее время до отказа системы
T
ср.S
=
1
λ + λ
w

2 +
λ
w
λ

Отметим также, что в случае λ = λ
w результат соответствует времени до отказа параллельной системы с двумя одновременно работающими эле- ментами («горячее» резервирование).
6.9
Зависящие от времени (нестационарные) решения
Вернемся к прямым уравнениям Колмогорова (6.24) для вероятностей состояний марковского процесса в векторно-матричной форме
P
0
(t) = P (t) · A,
142

где P (t) = P
0
(t), P
1
(t), . . . , P
r
(t)
— вектор вероятностей состояний (зна- чений) процесса в момент времени t. Предположим, что мы знаем вектор вероятностей состояний в начальный момент времени P (0). Как правило,
нам известно, что в момент времени 0 система находится в определенном состоянии i ∈ X с вероятностью 1, т. е. начальное распределение обыч- но вырожденное. Как уже отмечалось в п. 6.3, решение P (t) уравнений
Колмогорова для любого t ≥ 0 имеет вид
P (t) = P (0) · e
At
= P (0) ·
∞
X
k=1
A
k t
k k!
,
где A
0
обозначает единичную матрицу I размерности (r + 1) × (r + 1).
Однако хотя решение и известно (и выглядит достаточно просто), нахож- дение P (t) может быть довольно трудоемким (получение численных зна- чений облегчает наличие таких средств, например, как функция expm(.) в
MatLab, вычисляющая значения матричной экспоненты). С другой сторо- ны, когда мы изучаем систему с поглощающими состояниями (см., напр.,
параллельную систему в примере 6.7), мы можем ввести вектор-столбец C
с элементами 1 и 0, где 1 соответствует состоянию функционирования, а
0 — состоянию отказа. Таким образом, вектор имеет вид C = (0, 1, 0, . . . )
T
Функция надежности системы тогда может быть представлена как
R
(
t) = P (t) · C = P (0) ·
∞
X
k=1
A
k t
k k!
· C.
Кроме того, мы можем воспользоваться тем, что e
At
= lim k→∞
I + t · A/k

k
,
и аппроксимировать P (t):
P (t) ≈ P (0) · I + t · A/n

n при достаточно больших n.
Использование преобразования Лапласа. Альтернативный подход заключается в использовании преобразования Лапласа. Снова предполо- жим, что мы знаем P (0) — начальное распределение марковского про- цесса в момент t = 0. Уравнения Колмогорова (6.24) для вероятностей состояний марковского процесса в момент времени t — это линейные диф- ференциальные уравнения первого порядка. Самый простой и широко
143

используемый метод решения таких уравнений — использование преоб- разований Лапласа. Обозначим P
∗
j
(s) преобразование Лапласа вероятно- сти состояния P
∗
j
(t). Преобразование Лапласа производной по времени
P
0
j
(t) =
d dt
P
j
(t)
L
P
0
j
(t)
= sP
∗
j
(s) − P
j
(0),
j = 0, 1, . . . , r.
Тогда преобразование Лапласа уравнений (6.24) приводит к уравнениям sP
∗
(s) − P (0) = P
∗
(s) · A,
где P
∗
(s) = P
∗
0
(s), P
∗
1
(s), . . . , P
∗
r
(s)
. Вводя преобразования Лапласа, мы свели дифференциальные уравнения к системе линейных уравнений, из которой мы можем найти P
∗
j
(s). Вероятности состояний P
j
(t) могут быть затем вычислены обратным преобразованием Лапласа.
Пример 6.10 [37]. Рассмотрим систему из одного элемента из примера 6.5
с матрицей интенсивностей переходов
A =
−µ
µ
λ
−λ

Предположим, что в момент t = 0 элемент функционирует, т. е. начальное распределение вероятностей P (0) = P
0
(0), P
1
(0)
= (0, 1). Преобразова- ние Лапласа для уравнений Колмогорова в этом случае имеет вид s P
∗
0
(s) − 0, s P
∗
1
(s) − 1
= P
∗
0
(s), P
∗
1
(s)
·
−µ
µ
λ
−λ

,
т. е.
−µP
∗
0
(s) + λP
∗
1
(s) = s P
∗
0
(s)
µP
∗
0
(s) − λP
∗
1
(s) = s P
∗
1
(s) − 1.
Складывая эти два уравнения, получаем s P
∗
0
(s) + s P
∗
1
(s) = 1,
откуда следует, что
P
∗
0
(s) =
1
s
− P
∗
1
(s).
Подставляя P
∗
0
(s) во второе из уравнений, получаем
µ
s
− µP
∗
1
(s) − λP
∗
1
(s) = s P
∗
1
(s) − 1,
откуда находим
P
∗
1
(s) =
1
λ + µ + s
+
µ
s
·
1
λ + µ + s
144

Чтобы найти обратное преобразование Лапласа, удобно переписать это выражение в виде
P
∗
1
(s) =
µ
λ + µ
·
1
s
+
λ
λ + µ
·
1
λ + µ + s
Используя свойства преобразования Лапласа (см. п. 7.1), находим
P
1
(t) =
µ
λ + µ
+
λ
λ + µ
e
−(λ+µ) t
,
что совпадает с результатом, полученным в примере 6.5.
ЗАДАЧИ
6.1. У предохранительного клапана возможны два типа отказа: прежде- временное закрытие (ПЗ) и отказ при закрытии (ОПЗ). Интенсивности этих отказов постоянны и равны λ
ПЗ
= 10
−3
в ч, λ
ОПЗ
= 2 · 10
−4
в ч соответственно. Предполагается, что среднее время устранения неисправ- ности ПЗ составляет 1 ч, а среднее время ремонта при неисправности
ОПЗ — 24 ч. Предполагается, что время ремонта имеет экспоненциальное распределение. Объясните, почему работа клапана может быть описана марковским процессом с тремя состояниями. Изобразите диаграмму пе- реходов состояний, выпишите матрицу интенсивностей переходов и диф- ференциальные уравнения Колмогорова для вероятностей состояний это- го процесса. Найдите стационарные вероятности состояний и рассчитайте коэффициент средней готовности A
ср.
клапана и среднее время между отказами.
6.2. Два одинаковых насоса работают как параллельная система. Если один из насосов выходит из строя, то другой должен выполнять всю ра- боту в одиночку с более высокой нагрузкой, чем при работе обоих насо- сов. Предполагается, что насосы имеют постоянную интенсивность отка- зов λ
2
= 1, 5 · 10
−4
отказов в ч (в состоянии 2, когда работают оба насоса,
распределяя между собой нагрузку) и λ
1
= 3, 5 · 10
−4
отказов в ч (в со- стоянии 1, когда один из насосов находится на ремонте). Кроме того, су- ществует общая внешняя причина, из-за которой оба насоса могут выйти из строя одновременно. Интенсивность отказов по внешней причине равна
λ
B
= 3 · 10
−5
отказов в ч. Этот тип внешних причин (напряжений) воз- действует на систему с интенсивностью λ
B
независимо от того, сколько насосов функционируют. Ремонт начинается, как только один из насосов выходит из строя. Среднее время ремонта насоса составляет 15 ч. Когда оба насоса находятся в состоянии отказа одновременно, работа системы
145