Файл: Основы теории надежности.pdf

в n независимых опытах сходится по вероятности при n → ∞ к вероятно- сти этого события в единичном опыте. Поэтому если число испытуемых объектов достаточно велико, то величина b
R(t) близка к теоретическому показателю R(t). (В математической статистике о таких оценках говорят как о состоятельных.)
2.7.2. Вероятность отказа в интервале времени [0, t) и ее плот- ность. Вероятность отказа объекта, т. е. функция распределения времени наработки до отказа F (t) = P(T < t) оценивается величиной b
F (t) =
n − N (t)
n
= 1 − b
R(t),
(2.21)
где n − N (t), очевидно, число объектов, вышедших из строя в интервале времени (0, t].
Для оценки плотности f (t) = F
0
(t) вероятности отказа возьмем доста- точно малое 4t > 0, после чего оценим функцию плотности как b
f (t) =
b
F (t + 4t) − b
F (t)
4t
=
N (t) − N (t + 4t)
n4t
=
4N (t)
n4t
,
(2.22)
где N (t) − N (t + 4t) – число объектов, вышедших из строя в интервале времени (t, t + 4t].
2.7.3. Интенсивность отказов в момент t. Интенсивность отказов
υ(t) – это условная плотность вероятности отказа объекта в момент t при условии, что до этого времени отказа объекта не было: υ(t) = f (t)/R(t)
(см. п. 2.4). Подставляя в эту формулу оценки числителя и знаменателя,
получаем статистический вариант интенсивности отказов:
b
υ(t) =
b f (t)
b
R(t)
=
N (t) − N (t + 4t)
N (t)4t
=
4N (t)
N (t)4t
(2.23)
Рис. 2.5. Статистическая оценка функции интенсивности отказов
22

На рис. 2.5 показана гистограмма интенсивности отказов на основе ис- пытаний n объектов (сравните с «ваннообразным» графиком теоретиче- ской функции интенсивности, изображенным на рис. 2.4).
2.7.4. Среднее время наработки до отказа. Для величины T
ср.
=
= E(T ) естественным статистическим аналогом является среднее ариф- метической времен наработки до отказа n объектов:
b
T
ср.
=
1
n n
X
i=1
T
i
(2.24)
2.7.5. Условная функция надежности и среднее остаточное время наработки до отказа. Условная функция надежности – это веро- ятность того, что объект не откажет в дополнительное время длины s > 0
при условии, что он работоспособен в момент t, равна R(s | t) =
R(s+t)
R(t)
(см.
п. 2.6). Статистическая оценка этой функции b
R(s | t) =
N (s + t)
N (t)
(2.25)
Для оценки среднего остаточного времени наработки до отказа выберем объекты, у которых T
i
≥ t, число таких объектов равно N (t), и оценим среднее остаточное время средним арифметическим таких T
i
:
b
T
ср. ост.
(t) =
1
N (t)
n
X
i=1
T
i
· 1
{T
i
≥t}
,
(2.26)
где 1
{T
i
≥t}
– индикатор события {T
i
≥ t}.
2.8
Показатели надежности ремонтируемых объек- тов
Как уже отмечалось, показатели надежности, рассмотренные в п. 2.2–
2.6, могут быть применены и для восстанавливаемых (ремонтопригод- ных ) объектов, если нас интересует только то, что происходит с ними от момента t = 0 до первого отказа. Однако есть показатели, относящиеся только к восстанавливаемым объектам, которые мы рассмотрим в этом разделе.
Процесс функционирования ремонтируемого объекта может быть пред- ставлен в виде последовательности {T
k
, θ
k
}
∞
k=1
сменяющих друг друга пе- риодов, где T
k
— время нормальной работы от момента окончания k − 1-го
23

ремонта (при k = 1 – от момента t = 0 начала эксплуатации), θ
k
— про- должительность k-го ремонта (времени простоя). В общем случае система может восстанавливаться не полностью, и времена T
k наработки до от- каза имеют разное распределение при разных k. Распределение времени ремонта θ
k также может зависеть от k.
Говоря о статистических оценках приводимых далее показателей, будем для простоты рассматривать так называемый альтернирующий процесс,
при котором объект каждый раз восстанавливается до состояния «как новый». В этом случае предполагается, что случайные величины T
k неза- висимы между собой и имеют одинаковое распределение F (t), случайные величины θ
k также независимы между собой, не зависят от последователь- ности {T
k
} и имеют одинаковое распределение G(t). При оценке показате- лей ремонтопригодного объекта мы будем основываться на n циклах при его испытаниях вместо испытаний n объектов, как в п. 2.7. Таким образом,
имеем n наблюдений интервалов времени между отказами T
i и столько же времен ремонта θ
k
, k = 1, 2, . . . , n.
2.8.1. Среднее время наработки между отказами. Средним вре- менем наработки между отказами (для альтернирующего процесса) на- зывается величина
T
ср.
= E(T
k
) =
∞
Z
0
t dF (t),
его статистической оценкой является b
T
ср.
=
1
n n
X
i=1
T
i
2.8.2. Среднее время восстановления. Аналогично среднее время восстановления (ремонта) определяется как
θ
ср.
= E(θ
k
) =
∞
Z
0
t dG(t),
его статистической оценкой является b
θ
ср.
=
1
n n
X
i=1
θ
i
2.8.3. Коэффициент средней готовности объекта Готовностью
A(t) ремонтопригодного объекта в момент времени t ≥ 0 называется ве- роятность того, что объект исправно функционирует в момент t:
A(t) = P X(t) = 1
,
24

где X(t) – индикатор состояния объекта в момент t. Отметим, что ес- ли объект не ремонтируется (или рассматривается только до его первого отказа), то A(t) = R(t + 0).
Средняя готовность A
ср.
(t
1
, t
2
) в интервале времени [t
1
, t
2
), 0 ≤ t
1
< t
2
определяется как
A
ср.
(t
1
, t
2
) =
1
t
2
− t
1
t
2
Z
t
1
A(t) dt.
В частности, если нас интересует средняя готовность от начала эксплу- атации объекта (от момента t = 0) до некоторого момента τ , то имеем
A
ср.
(τ ) =
1
τ
τ
Z
0
A(t) dt,
при этом предельное значение этой величины при τ → ∞ называется коэф- фициентом средней готовности. Для альтернирующего процесса (когда каждый раз производится полное восстановление объекта)
A
ср.
= lim
τ →∞
A
ср.
(τ ) =
T
ср.
T
ср.
+ θ
ср.
Отсюда следует естественная статистическая оценка коэффициента сред- ней готовности:
b
A
ср.
=
P
n k=1
T
k
P
n k=1
T
k
+
P
n k=1
θ
k
,
которая равна доле времени, в течение которого объект исправно работает.
2.8.4. Параметр потока отказов. Важной количественной характе- ристикой потока отказов восстанавливаемого объекта в момент времени t является параметр потока отказов, который определяется как производ- ная
ω(t) =
d dt
N
ср.
(t)
,
где N (t) — число отказов объекта в интервале (0, t], а N
ср.
(t) = E(N (t)).
2.8.5. Интенсивность восстановления. Интенсивностью восста- новления объекта в момент t называется функция
µ(t) =
G
0
(t)
1 − G(t)
=
g(t)
1 − G(t)
условной плотности восстановления объекта в момент t при условии, что до этого момента восстановление еще не завершилось. Статистические
25

оценки интенсивности µ(t), а также параметра потока ω(t) (за исклю- чением случая, когда они постоянны, т. е. не зависят от времени) требуют проведения большого числа испытаний однотипных объектов.
ЗАДАЧИ
2.1. В ходе проведения испытаний в течение 800 ч полупроводниковых ди- одов в количестве n = N (0) = 100 были получены следующие данные по числу отказов за каждые 100 ч испытаний: 1, 2, 1, 3, 2, 2, 1, 3. Поскольку время отказа не фиксировалось, моментами отказов в этом случае счита- ются середины интервалов: t = 50, 150, . . . , 750. Найдите статистические оценки для функций R(t) и F (t) в моменты t = k10 2
, k = 1, . . . , 8, и для функций f (t) и υ(t) в моменты t = k10 2
− 50, k = 1, . . . , 8, приняв
4t = 100. Оцените среднее время наработки до отказа T
ср.
2.2. На испытание поставлено 1000 однотипных реле. За 3000 ч испытаний отказали 80 реле. Требуется оценить значения функций F (t) и R(t) в момент t = 3000, а также плотность f (t) и интенсивность отказов υ(t),
приняв 4t = 3000.
2.3. На испытание поставлено 1000 однотипных светофорных ламп. За первые t = 3000 ч отказало 15 ламп, а за интервал времени 3000˘4000 ч отказало еще 10 ламп. Требуется оценить условную функцию надежности
R(s|t) для s = 4000 ч и t = 3000 ч.
2.4. Насос испытывался в режиме стресс-нагрузок в течение 1500 ч. В ре- зультате испытаний зафиксированы моменты (время измеряется в часах)
отказов 110, 350, 620, 815, 1010, 1150, 1320, 1480 и времена восстанов- ления 3, 7, 2, 10, 24, 4, 5, 8. Считая процесс отказов и ремонтов аль- тернирующим, оцените среднее время наработки до отказа T
ср.
, среднее время восстановления θ
ср.
, коэффициент средней готовности A
ср.
2.5. В момент t = 0 были поставлены на испытания 1000 ремонтируемых элементов. В момент t = 2400 ч имелось 1975 работоспособных элементов,
в интервале времени 2400−2500 ч отказали 10 элементов. Найдите оценку для параметра потока отказов ω(t) в момент t = 2400 ч.
2.6. В начале восьмичасового рабочего дня в ремонтном цехе началось восстановление работоспособности 100 отказавших однотипных элемен- тов. За 6 ч непрерывной работы была восстановлена работоспособность
54 элементов, за оставшиеся до конца рабочей смены 2 ч было отремонти- ровано еще 8 элементов. Оцените вероятность восстановления объекта за 6
и за 8 ч. Найдите статистическую оценку интенсивности восстановления за 2 ч до конца рабочего дня.
26

Глава 3
Модели отказов
В этой главе рассмотрим основные вероятностные законы распределе- ния, которые находят применение в теории надежности как модели рас- пределений времени наработки до отказа (для невосстанавливаемых объ- ектов), времени ремонта или времени от момента окончания ремонта до следующего отказа (для восстанавливаемых объектов). Мы рассмотрим три основных дискретных распределения: биномиальное, геометрическое и пуассоновское и следующие распределения непрерывного типа:
• экспоненциальное распределение;
•
распределение Эрланга;
•
распределение Вейбулла;
•
нормальное распределение;
•
логнормальное распределение;
•
обратное гауссовское распределение;
•
распределения экстремальных значений.
Вычисляемые далее характеристики этих распределений будем интер- претировать в терминах теории надежности.
3.1
Дискретные модельные распределения
Биномиальное распределение — одно из наиболее широко использу- емых в теории надежности дискретных распределений. Оно возникает в следующей ситуации:
• производится последовательность независимых испытаний;
• каждое испытание имеет два возможных исхода A («успех») и A
(«неудача»);
• вероятность успеха P(A) = p одинакова во всех испытаниях.
Эта последовательность называется последовательностью испытаний
Бернулли. Рассмотрим первые n испытаний последовательности, и пусть
27

X обозначает число испытаний среди n испытаний, в который наблюдал- ся исход A («успех»). Тогда X — это дискретная случайная величина с распределением
P X = x
= C
x n
p x
(1 − p)
n−x
,
где x = 0, 1, 2, . . . , n,
(3.1)
C
x n
=
n!
x!(n−x)!
— биномиальный коэффициент. Распределение случайной величины X называется биномиальным распределением с параметром
(n, p), при этом часто используется обозначение X ∼ Bin(n, p). Мате- матическое ожидание и дисперсия X равны соответственно
E(X) = np,
D(X) = np(1 − p).
(3.2)
Геометрическое распределение. Теперь предположим, что произво- дится последовательность испытаний Бернулли и нас интересует распре- деление случайной величины Y — числа испытаний до первого наступ- ления события A (первого «успеха»). Если Y = y, то это означает, что первые y − 1 испытаний имели исход A, а в испытании с номером y насту- пил исход A. Закон распределения Y имеет вид
P Y = y
= (1 − p)
y−1
p,
где y = 1, 2, . . .
(3.3)
Распределение случайной величины Y называется геометрическим распределением с параметром p, при этом часто используется обозначение
Y ∼ Geom(p). Полезной является следующая формула:
P Y ≥ y
=
∞
X
i=y
(1 − p)
i−1
p = (1 − p)
y−1
p
∞
X
s=0
(1 − p)
s
= (1 − p)
y−1
Математическое ожидание и дисперсия Y равны соответственно
E(Y ) =
1
p
,
D(Y ) =
1 − p p
2
(3.4)
Распределение Пуассона — распределение, широко используемое как модель случайного числа событий, связанных с отказами объекта (или окончаниями ремонтных работ) в фиксированном интервале времени. Рас- пределение Пуассона является базовым элементом в определении пуассо- новского процесса (см. п. 5.4). Случайная величина N имеет распределение
Пуассона с параметром λ > 0, что кратко обозначается: N ∼ P ois(λ), ес- ли она принимает значения из множества Z
+
= {0, 1, 2, . . . } целых неот- рицательных чисел, причем
P N = k
=
λ
k k!
e
−λ
, для k = 0, 1, 2, . . .
28

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины N равны соответственно
E(N ) = λ,
D(N ) = λ.
(3.5)
3.2
Экспоненциальное распределение
Рассмотрим объект, поставленный в эксплуатацию в момент времени t = 0, плотность распределения времени T наработки до отказа (времени жизни) которого имеет вид f (t) =
(
λe
−λt
,
для t ≥ 0,
0,
для t < 0,
(3.6)
где λ > 0. Это распределение называется экспоненциальным распределе- нием с параметром λ. Мы будем использовать стандартное обозначение:
T ∼ Exp (λ).
Функция надежности этого объекта
R(t) = P T ≥ t
=
∞
Z
t
λe
−λu du = e
−λt
, где t ≥ 0,
(3.7)
среднее время наработки до отказа —
T
ср.
= E(T ) =
∞
Z
0
R(t) dt =
1
λ
(3.8)
Дисперсия времени наработки до отказа равна
D(T ) =
1
λ
2
(3.9)
Функция интенсивности отказов υ(t), t > 0, есть
υ(t) =
f (t)
R(t)
=
λe
−λt e
−λt
= λ.
(3.10)
Таким образом, интенсивность отказов в случае экспоненциального распределения времени T постоянна (т. е. не зависит от времени) и равна значению параметра λ. Смысл параметра λ в этом случае заключается в следующем. Если T
ср.
= 1/λ – это среднее время между двумя отказами объекта (при быстром (≈ мгновенном) его восстановлении при каждом отказе), то величина
λ =
1
T
ср.
29

имеет смысл среднего числа отказов объекта в единицу времени. Напри- мер, если λ = 2 и время T измеряется в годах, то среднее время между двумя последовательными отказами T
ср.
= 1/λ будет равно 1/2 года, т. е.
6 месяцам, и в год в среднем будет происходить 2 отказа, т. е. пример- но 1 отказ за полгода.
В силу постоянства функции интенсивности отказов экспоненциальная модель времени наработки до отказа объекта применима для периода II
(периода нормальной работы устройства), когда уже нет отказов, связан- ных с наличием дефектов производства, и еще не начался период износа
(старения).
Рассмотрим условную функцию надежности объекта возраста t > 0 с экспоненциальным распределением времени наработки до отказа:
R(s | t) = P T ≥ t + s
T ≥ t
=
P T ≥ t + s

P T ≥ t

=
R(s + t)
R(t)
=
e
−λ(s+t)
e
−λt
=
= e
−λs
= P T ≥ s
= R(s).
(3.11)
Из формулы (3.11) следует, что условная функция надежности не за- висит от t, т. е. от того, сколько времени уже эксплуатировалось устрой- ство. Его надежность такая же, как и в начальный момент времени t = 0.
Это происходит благодаря так называемому марковскому свойству экспо- ненциального распределения, которое заключается в независимости оста- точной продолжительности экспоненциально распределенной операции от того, сколько времени эта операция уже продолжалась. Это общее свой- ство экспоненциального распределения, которое называется также свой- ством отсутствия последействия. Благодаря этому свойству для средне- го остаточного времени эксплуатации устройства возраста t > 0 мы имеем
T
ср. ост.
(t) =
∞
Z
0
R(s | t) ds =
∞
Z
0
R(s) ds = T
ср.
,
и оно также не зависит от t и равно 1/λ в каждый момент времени экс- плуатации устройства.
Таким образом, предположение об экспоненциальном распределении времени наработки до отказа объекта влечет за собой то, что
• объект в вероятностном смысле остается «как новый» и не требует замены в течение всего периода эксплуатации (его случайные отказы не связаны со старением);
30

• для оценки функции надежности, среднего времени до отказа и дру- гих показателей достаточно собрать статистические данные о времени ра- боты до отказа объектов данного типа в разные периоды их эксплуатации,
при этом возраст испытуемых объектов не имеет значения.
Экспоненциальное распределение является наиболее часто используе- мой моделью времени наработки до отказа (времени жизни объекта) в прикладных задачах надежности. Причинами этого являются, с одной стороны, математическая простота при исследовании показателей надеж- ности, а с другой – то, что эта модель оказывается вполне реалистичной для многих типов объектов (в период II их нормальной работы).
3.3
Распределение Эрланга
Рассмотрим объект, у которого время T наработки до отказа представ- ляет собой сумму k (k ≥ 1, целое число) независимых одинаково распре- деленных экспоненциальных случайных величин с параметром λ > 0
T = T
1
+ T
2
+ · · · + T
k
(3.12)
Распределение случайной величины T , определенной формулой (3.12),
называется распределением Эрланга [T ∼ Erl(k, λ)]. Распределение на- звано в честь А. К. Эрланга (1878–1929), сотрудника копенгагенской теле- фонной лаборатории, впервые применившего его для моделирования про- цессов в системах обслуживания телефонных абонентов.
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины T равны соответственно
E(T ) = E(T
1
) + E(T
2
) + · · · + E(T
k
) =
k
λ
,
(3.13)
D(T ) = D(T
1
) + D(T
2
) + · · · + D(T
k
) =
k
λ
2
(3.14)
Плотность распределения Эрланга f (t) =
λ
(k − 1)!
(λ t)
k−1
e
−λt
, для t ≥ 0.
(3.15)
Функция надежности объекта в случае распределения Эрланга времени T
R(t) = 1 − F (t) =
k−1
X
n=0
(λt)
n n!
e
−λt
, для t ≥ 0,
(3.16)
31