Файл: Основы теории надежности.pdf

Среднее время до отказа системы находится интегрированием
T
ср.S
=
∞
Z
0
tf
S
(t) dt =
2 λ
2
α
2
− α
1
∞
Z
0
t e
−α
1
t
− e
−α
2
t
dt =
3 2λ
+
µ
2λ
2 6.6.2. Функция надежности систем с поглощающими состояни- ями. Напомним, что мы представили ранее множество состояний X си- стемы в виде объединения множества состояний B, при которых функци- онирование системы возможно, и множества F = X \ B состояний, при которых происходит отказ системы. В п. 6.6.2 мы будем предполагать, что множество F состоит из поглощающих состояний, т. е. переход в эти со- стояния является необратимым и система при переходе в эти состояния не подлежит восстановлению.
Рассмотрим систему, которая находится в одном из рабочих состояний в момент времени t = 0. Функция надежности R(t) определяет вероятность того, что система не покинет множество B в течение интервала времени
[0, t). Таким образом, функция надежности
R(t) =
X
j∈B
P
j
(t).
Преобразование Лапласа функции надежности
R
∗
(s) =
X
j∈B
P
∗
j
(s).
Среднее время до отказа системы может быть найдено (см. гл. 2) как
T
ср.S
=
∞
Z
0
R(t) dt.
Преобразование Лапласа для R(t)
R
∗
(s) =
∞
Z
0
e
−st
R(t) dt.
Из двух последних формул следует, что среднее время до отказа систе- мы T
ср.S
может быть найдено, как значение преобразования Лапласа при s = 0:
R
∗
(0) =
∞
Z
0
R(t) dt = T
ср.S
(6.41)
127

Пример 6.7 (продолжение). Вернемся к примеру 6.7 с поглощающим со- стоянием. Мы уже нашли ранее преобразование Лапласа для R(t):
R
∗
(s) =
3 λ + µ + s s
2
+ (3λ + µ) s + 2 λ
2
Подставляя s = 0, находим
T
ср.S
= R
∗
(0) =
3 λ + µ
2 λ
2
=
3 2λ
+
µ
2λ
2
,
что совпадает с результатом, полученным ранее прямым вычислением.
Процедура нахождения T
ср.S
. Рассмотрим систему с множеством со- стояний X = {0, 1, . . . , r} и предположим, что число элементов подмно- жества F , состоящего только из критичных («поглощающих») состояний системы, равно k < r. Обозначим через P(t) =
P
0
(t), P
1
(t), . . . P
r
(t)

вектор вероятностей состояний в момент времени t, а через P
∗
(s) =
=
P
∗
0
(s), P
∗
1
(s), . . . P
∗
r
(s)
— вектор преобразований Лапласа этих веро- ятностей. Из сказанного выше и из рассмотренных примеров вытекает следующая процедура нахождения среднего времени до первого отказа системы:
• установить матрицу интенсивностей переходов A
(r+1)×(r+1)
;
• задать начальное распределение вероятностей состояний P(0) =
= P
0
(0), P
1
(0), . . . P
r
(0)
, убедившись, что оно соответствует работоспо- собному состоянию системы в момент t = 0;
• выделить из множества состояний те, что соответствуют критичным отказам системы, при которых восстановление невозможно. Определить эти состояния, как «поглощающие»;
• удалить строки и столбцы матрицы A, которые соответствуют по- глощающим состояниям, т. е., если j – это поглощающее состояние, то из матрицы удаляются элементы a ij и a ji для всех i = 0, 1, . . . , r. Обозна- чим A
R
оставшуюся после удаления матрицу интенсивностей размерности
(r + 1 − k) × (r + 1 − k);
• удалить элементы вектора P
∗
(s), соответствующие поглощающим со- стояниям. Обозначим P
∗
R
(s) оставшийся после удаления вектор размерно- сти (r + 1 − k);
• удалить элементы вектора sP
∗
(s) − P(0), соответствующие поглоща- ющим состояниям. Обозначим [sP
∗
(s)−P(0)]
R
оставшийся после удаления вектор размерности (r + 1 − k);
128

• написать систему уравнений для преобразований Лапласа
[sP
∗
(s) − P(0)]
R
= P
∗
R
(s) · A
R
,
положить s = 0 в этой системе и найти P
∗
(0);
• среднее время до отказа системы определяется как
T
ср.S
=
X
P
∗
j
(0),
где суммирование производится по всех j, входящим в множество, состо- ящее из (r + 1 − k) не поглощающих состояний.
Пример 6.8. Вернемся к параллельной структуре из двух независимых элементов, рассмотренной в примере 6.2, где элементы имеют интенсив- ности отказов λ
1
и λ
2
и интенсивности ремонта µ
1
и µ
2
соответственно.
Состояния системы определены в таблице в примере 6.2. Предположим,
что в момент запуска t = 0 система находится в состоянии 3, в котором исправны оба элемента. Система работоспособна до тех пор, пока функци- онирует хотя бы один из ее элементов. Таким образом, множество состо- яний, при которых система работоспособна, B = {1, 2, 3}. Отказ системы происходит, когда отказывают оба элемента, т. е. в состоянии 0. В этом примере мы в первую очередь заинтересованы в определении среднего времени T
ср.S
наработки до отказа системы. Поэтому определяем состо- яние 0 как поглощающее и полагаем все интенсивности выхода из этого состояния, равными 0. Матрица интенсивностей перехода тогда имеет вид
A =




0 0
0 0
λ
2
−(λ
2
+ µ
1
)
0
µ
1
λ
1 0
−(λ
1
+ µ
2
)
µ
2 0
λ
1
λ
2
−(λ
1
+ λ
2
)




,
(6.42)
и функция надежности
R(t) = P
1
(t) + P
2
(t) + P
3
(t).
Теперь мы удалим в матрице A строку и столбец, соответствующие погло- щающему состоянию (состоянию 0), т. е. удалим 1-ю строку и 1-й столбец,
получим матрицу A
R
. Введем сокращенный вектор вероятностей состоя- ний P
R
(t) = P
1
(t), P
2
(t), P
3
(t)
. Выпишем сокращенную систему уравне- ний
P
0
R
(t) = P
R
(t) · A
R
,
выполним преобразование Лапласа с учетом того, что преобразование Ла- пласа для производной функции f
0
(t) равно s f
∗
(s) − f (0),
sP
∗
1
(s), sP
∗
2
(s), sP
∗
3
(s) − 1
= P
∗
1
(s), P
∗
2
(s), P
∗
3
(s)
· A
R
129

Поскольку для нахождения T
ср.S
нам нужны значения P
∗
i
(s), i = 1, 2, 3, в нуле, полагаем s = 0 в последних уравнениях и получаем уравнения
0, 0, −1
= P
∗
1
(0), P
∗
2
(0), P
∗
3
(0)
·


−(λ
2
+ µ
1
)
0
µ
1 0
−(λ
1
+ µ
2
)
µ
2
λ
1
λ
2
−(λ
1
+ λ
2
)


,
отсюда получаем
P
∗
1
(0) =
λ
1
λ
2
+ µ
1
P
∗
3
(0),
P
∗
2
(0) =
λ
2
λ
1
+ µ
2
P
∗
3
(0)
и

λ
1
µ
1
λ
2
+ µ
1
+
λ
2
µ
2
λ
1
+ µ
2
− (λ
1
+ λ
2
)

P
∗
3
(0) = −1.
Из последнего уравнения следует, что
P
∗
3
(0) =
1
λ
1
λ
2
1/(λ
1
+ µ
2
) + 1/(λ
2
+ µ
1
)
.
Объединяя полученные выше равенства, в итоге получаем
T
ср.S
= P
∗
1
(0) + P
∗
2
(0) + P
∗
3
(0) =
λ
1
/(λ
2
+ µ
1
) + λ
2
/(λ
1
+ µ
2
) + 1
λ
1
λ
2
1/(λ
1
+ µ
2
) + 1/(λ
2
+ µ
1
)
.
Рассмотрим два частных случая.
1. Невосстанавливаемая система (µ
1
= µ
2
= 0)
T
ср.S
=
λ
1
/λ
2
+ λ
2
/λ
1
+ 1
λ
1
+ λ
2
Если интенсивности отказов одинаковые λ
1
= λ
2
= λ, ответ сводится к
T
ср.S
=
3 2λ
2. Обе компоненты идентичны и имеют одинаковые интенсивности от- казов λ и одинаковые интенсивности восстановления µ. В этом случае
T
ср.S
=
3 2λ
+
µ
2λ
2 6.7
Системы с зависимыми компонентами
В п. 6.7. мы покажем, как марковские модели могут быть использованы в случае зависимых отказов. Мы опишем две простые ситуации: системы,
130

подверженные отказам по общей причине, и системы с распределением нагрузки, которые подвержены каскадным сбоям.
6.7.1. Отказы по общей причине. Рассмотрим параллельную струк- туру, состоящую из двух одинаковых элементов. Предполагается, что эти элементы могут выйти из строя из-за старения или каких-то присущих им врожденных дефектов. Такие отказы происходят независимо друг от дру- га с интенсивностью λ
I
(индекс I означает independent – независимый).
Элементы ремонтируются также независимо друг от друга с интенсивно- стью µ.
Предположим, что может произойти внешнее событие, которое вызы- вает сбой всех работающих элементов одновременно. Отказы, вызванные внешним событием, называются отказами по общей причине. Внешние со- бытия происходят с интенсивностью λ
C
(индекс C означает common
–
общий), которую будем называть интенсивностью отказов по общей при- чине. Состояния системы пронумеруем в соответствии с количеством функционирующих элементов. Таким образом, пространство состояний
X = {0, 1, 2}. Диаграмма интенсивностей переходов между состояниями параллельной системы с общими причинами отказов показана на рис. 6.10.
Соответствующая этой ситуации матрица интенсивностей переходов
A =


−2µ
2µ
0
λ
C
+ λ
I
−(λ
C
+ λ
I
+ µ)
µ
λ
C
2λ
I
−(2λ
I
+ λ
C
)


Рис. 6.10. Диаграмма переходов с наличием общей причины
Предположим, что нас интересует среднее время до отказа систе- мы T
ср.S
. Поскольку система выходит из строя как только она входит в состояние 0, мы определяем состояние 0 как поглощающее, в этом случае первая строка матрицы A рассматривается как нулевая, и мы удаляем в матрице строку и столбец, соответствующие состоянию 0. Как и прежде,
предполагаем, что в момент времени t = 0 система находится в состоя- нии 2 (оба элемента исправны). Применяя преобразование Лапласа (как это делалось в примере 6.8), получаем матричные уравнения

Решая эти линейные алгебраические уравнения, получаем
P
∗
1
(0) =
2λ
I
(2λ
I
+ λ
C
)(λ
I
+ λ
C
) + λ
C
µ
,
P
∗
2
(0) =
λ
I
+ λ
C
+ µ
(2λ
I
+ λ
C
)(λ
I
+ λ
C
) + λ
C
µ
Отсюда находим среднее время до отказа системы
T
ср.S
= P
∗
1
(0) + P
∗
2
(0) =
3λ
I
+ λ
C
+ µ
(2λ
I
+ λ
C
)(λ
I
+ λ
C
) + λ
C
µ
Введем коэффициент (фактор) общей причины
β =
λ
C
λ
C
+ λ
I
=
λ
C
λ
,
где λ = λ
C
+λ
I
— полная интенсивность отказов элемента. Коэффициент β
означает долю отказов по общей причине среди всех отказов элемента.
Чтобы понять, как доля общей причины β влияет на среднее время до отказа T
ср.S
, мы вставляем β и λ в полученную выше формулу. Имеем:
T
ср.S
=
3(1 − β)λ + βλ + µ
[2(1 − β)λ + βλ]λ + βλµ
=
3 − 2βλ + µ
(2 − β)λ
2
+ βλµ
=
1
λ
·
λ(3 − 2β) + µ
(2 − β)λ + βµ
На рис. 6.11 показано, как среднее время до отказа T
ср.S
параллельной системы зависит от фактора общей причины β.
Рис. 6.11. График T
ср.S
как функции β (λ = 1, µ = 100)
Рассмотрим два простых частных случая.
1. β = 0 (т. е. имеются только независимые отказы, λ = λ
I
). В этом случае
T
ср.S
=
3 2λ
I
+
µ
2λ
2
I
,
что совпадает с результатом, полученным в примере 6.8.
2. β = 1 (т. е. все отказы происходят по общей причине, λ = λ
C
). В этом случае
T
ср.S
=
1
λ
C
·
λ
C
+ µ
λ
C
+ µ
=
1
λ
C
132

Этот результат очевиден: отказ системы происходит только по общей при- чине, действующей одновременно на оба элемента с интенсивностью отка- зов λ
C
6.7.2. Системы с распределением нагрузки. Рассмотрим параллель- ную систему с двумя одинаковыми элементами, которые разделяют между собой общую нагрузку. Если один из элементов выходит из строя, остав- шийся должен нести всю нагрузку, и предполагается, что интенсивность отказов этого элемента увеличивается сразу же при увеличении нагрузки.
Таким образом, отказы двух элементов системы являются зависимыми.
Элементами могут быть, например, насосы, компрессоры или генераторы энергии. Предполагаются следующие интенсивности отказов:
λ
n
= интенсивность отказов при нормальной нагрузке (оба работают);
λ
f
= интенсивность отказов при полной нагрузке (при отказе другого).
Пусть µ
h обозначает интенсивность восстановления элемента, когда вы- шел из строя только один элемент, µ
f
— интенсивность восстановления элемента, когда оба элемента вышли из строя. Пусть количество функ- ционирующих элементов обозначает состояние системы. Таким образом,
пространство состояний X = {0, 1, 2}. Когда система вышла из строя (со- стояние 0), все доступные ресурсы используются для восстановления од- ного из элементов (обычно первого из отказавших). Система сразу перехо- дит в состоянии 1 как только отремонтирован первый элемент. Диаграмма перехода системы приведена на рис. 6.12.
Рис. 6.12. Диаграмма для системы с элементами, разделяющими нагрузку
Матрица интенсивностей переходов
A =


−µ
f
µ
f
0
λ
f
−(λ
f
+ µ
h
)
µ
h
0 2λ
n
−2λ
n


Отказ системы происходит при отказе обоих элементов (т. е. в состо- янии 0). Чтобы определить среднее время T
ср.S
до отказа системы, мы рассматриваем состояние 0 как поглощающее состояние и удаляем строку и столбец, соответствующие этому состоянию, из матрицы интенсивно- стей A. Предположим, что система начинает работать в момент време- ни t = 0 с работоспособным состоянием обоих элементов (состояние 2).
133

Система уравнений для преобразований Лапласа вероятностей состояний при s = 0 имеет вид
0, −1
= P
∗
1
(0), P
∗
2
(0)
·
−(λ
f
+ µ
h
)
µ
h
2λ
n
−2λ
n

Решая эти линейные алгебраические уравнения, получаем
P
∗
1
(0) =
1
λ
f
,
P
∗
2
(0) =
λ
f
+ µ
h
2λ
f
λ
n
Функция надежности системы R(t) = P
1
(t) + P
2
(t), и поэтому среднее время до отказа системы
T
ср.S
= P
∗
1
(0) + P
∗
2
(0) =
1
λ
f
+
1 2λ
n
+
µ
h
2λ
n
λ
f
Отметим, что если ремонт отсутствует (т. е. µ
h
= 0), то
T
ср.S
=
1
λ
f
+
1 2λ
n
Если после отказа одного из элементов нагрузка на оставшийся не возрас- тает, т. е. λ
f
= λ
n
, то
T
ср.S
=
3 2λ
n
,
что соответствует результату, полученному в примере 6.8.
Пример 6.9 [37]. Рассмотрим электростанцию с двумя однотипными ге- нераторами. Во время нормальной работы генераторы распределяют на- грузку, и каждый генератор имеет интенсивность отказов, равную λ
n
=
= 1, 6 · 10
−4
ч
−1
. При выходе из строя одного из генераторов нагрузка на оставшийся генератор будет увеличена, а интенсивность отказов увели- чится до λ
f
= 8, 0 · 10
−4
ч
−1
(т. е. в пять раз).
Рис. 6.13. Диаграмма для двух генераторов, разделяющих нагрузку
Кроме того, система подвержена отказам по общей причине. В слу- чае возникновения общей причины все работающие генераторы выйдут из строя одновременно. Интенсивность отказов по общей причине составляет
134

λ
C
= 20, ·10
−5
ч
−1
. Когда один генератор выходит из строя, он ремонти- руется. Среднее время простоя для ремонта составляет 12 часов, поэтому интенсивность ремонта составляет µ
h
= 1/12 ≈ 8, 3 · 10
−2
ч
−1
Если же система выходит из строя, среднее время простоя для ремонта одного из генераторов составляет 8 часов, поэтому интенсивность восста- новления составляет µ
f
= 1/8 = 1, 25 · 10
−1
ч
−1
. Диаграмма переходов между состояниями системы генератора с распределением нагрузки и от- казами по общей причине показана на рис. 6.13.
Стационарные (предельные при t → ∞) вероятности состояний можно найти с помощью того же подхода, который мы показали выше (см. при- мер 6.6). Они равны
P
2
=
µ
h
µ
f
(λ
f
+ λ
C
+ µ
f
)(λ
C
+ 2λ
n
) + λ
C
µ
h
+ µ
h
µ
f
≈ 0, 99575,
P
1
=
(λ
C
+ 2λ
n
)µ
f
(λ
f
+ λ
C
+ µ
f
)(λ
C
+ 2λ
n
) + λ
C
µ
h
+ µ
h
µ
f
≈ 0, 00406,
P
0
=
(λ
f
+ λ
C
)(λ
C
+ 2λ
n
) + λ
C
µ
h
(λ
f
+ λ
C
+ µ
f
)(λ
C
+ 2λ
n
) + λ
C
µ
h
+ µ
h
µ
f
≈ 0, 00019.
Среднее время T
ср.S
до отказа системы находится с помощью преобра- зования Лапласа из системы уравнений
0, −1
= P
∗
1
(0), P
∗
2
(0)
·
−(λ
f
+ λ
C
+ µ
h
)
µ
h
2λ
n
−(λ
C
+ 2λ
n
)

Решая уравнения, находим
T
ср.S
= P
∗
1
(0) + P
∗
2
(0) =
2λ
n
+ λ
f
+ λ
C
+ µ
h
(λ
C
+ 2λ
n
)(λ
f
+ λ
C
+ µ
h
) − 2λ
n
µ
h
≈ 43421час. ≈
≈ 4.96 лет.
6.8
Системы с резервированием
Системы с резервированием были рассмотрены в п. 4.3, где для неко- торых простых, не подлежащих ремонту систем с резервированием были найдены функция надежности R
S
(t) и среднее время T
ср.S
до отказа си- стемы. В этом разделе мы рассмотрим некоторые простые ремонтируемые системы с резервированием, состоящие из двух элементов, в свете марков- ских моделей. Рассматриваемая система показана на рис. 6.14. Элемент A
изначально (в момент времени t = 0) находится в оперативном состоянии
(O) (под нагрузкой), а S является датчиком и переключателем.
135