Файл: Учебные материалы по дисциплине Теоретическая механика.pdf
Добавлен: 12.12.2023
Просмотров: 227
Скачиваний: 5
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Раздел 9. Механика Гамильтона
Канонические переменные.
Рассмотрим потенциальную механическую систему с голономными связями. Движение точек этой системы описывается уравнениями Лагранжа второго рода (417), которые, являются дифференциальными уравнениями второго порядка. Для нахождения однозначных решений этих уравнений требуются задать начальные условия, т.е. задать значения обобщенных координат и обобщенных скоростей в некоторый момент времени. В этом смысле обобщенные координаты qi и обобщенные скорости образуют полную систему 2s независимых переменных, необходимых для описания движения системы.
С математической точки зрения, имеет смысл перейти от s дифференциальных уравнения движения второго порядка к 2s уравнениям первого порядка, зависящим от 2s переменных, которые полностью определяют движение системы. Указанное преобразование, выполненное
Гамильтоном, привело к системе простых по форме и симметричных относительно основных переменных уравнений, которые благодаря этим свойствам получили название канонических (простейших). Переменными новых уравнений, введенными Гамильтоном, являются обобщенные координаты qi и обобщенные импульсы pi, которые, как указывалось ранее
(см. главу 8), определяются равенствами:
.
(421)
Так как функция Лагранжа L не содержит членов выше второго порядка относительно обобщенных скоростей, то обобщенные импульсы будут линейными функциями обобщенных скоростей. Можно доказать, что соотношения (421) могут быть однозначно разрешены относительно обобщенных скоростей , которые можно будет выразить как функции обобщенных импульсов, обобщенных координат и времени. Обобщенные координаты и обобщенные импульсы называются каноническими
переменными. Введение канонических переменных приводит к переходу от описания движения системы при помощи s дифференциальных уравнений второго порядка к описанию движения при помощи 2s дифференциальных уравнений первого порядка. Из уравнений (421) определяем обобщенные скорости:
163
(422)
где
- представляют собой некоторые функции обобщенных координат, обобщенных импульсов и времени t.
Далее, вводя обобщенные импульсы (421) уравнения Лагранжа второго рода для консервативных систем, можно записать как уравнения первого порядка относительно 2s переменных и , которые будем искать как функции времени.
(423)
Следует заметить, что система уравнений (423) не симметрична.
Дальнейшие преобразования направлены на то, чтобы придать уравнениям движения, записанным в канонических переменных, - симметричный вид.
Фазовое пространство.
Канонические переменные широко применяются в квантовой и статистической механике. В указанных дисциплинах каноническим переменным дается в ряде случаев удобная для исследования движения геометрическая интерпретация. Именно, 2s канонических переменных системы можно рассматривать как точку {Xi} = (qi, pi) 2s-мерного пространства, которое получило название фазового пространства.
Движение системы можно рассматривать как траекторию в фазовом пространстве. Фазовое пространство канонических переменных аналогично подпространству конфигураций обобщенных координат. Однако известное преимущество фазового пространства перед подпространством конфигураций заключается в том, что через каждую точку фазового пространства проходит только одна траектория движения системы, в то время как в подпространстве конфигураций проходит бесчисленное множество траекторий движения системы (ибо последние зависят от начальных скоростей движения точек системы).
164
Преобразование Лежандра.
В главе 8 отмечалось, что функция Н (393), обобщенная механическая энергия потенциальной системы с голономными стационарными связями, является обобщением понятия механическая энергия.
Поэтому целесообразно было бы включить функцию Н в явном виде в уравнения движения. Данный переход от функции Лагранжа к обобщенной механической энергии выполняется, при помощи операции, известной в математике под названием преобразования Лежандра. Эта операция, позволяющая перейти от переменных к переменным
, заключается в следующем: рассмотрим функцию Лагранжа многих переменных,
. Дифференциал этой функции имеет вид:
(424)
Заметим, что
.
(425)
Введем функцию Н, зависящую от (qi, pi. t), которая определяется равенством:
(426)
Перейдем от переменных к переменным (qi, pi, t) при помощи формул (421) и запишем дифференциал от обобщенной энергии H (q, p, t):
(427)
С другой стороны из формулы (426) для дифференциала H (q, p, t), получаем:
(428)
165
Подставляя дифференциал dL (424) и производя соответствующие преобразования, имеем:
.
(429)
Приравнивая частные производные при дифференциалах независимых переменных (qi, pi, t) в формулах (427) и (429), получаем уравнения
Гамильтона:
,
(430)
где функция H (q, p. t) называется функцией Гамильтона или
Гамильтонианом механической системы.
Первые два равенства
(430) называются
каноническими
уравнениями Гамильтона. Они представляют собой систему 2s дифференциальных уравнений первого порядка, служащую для определения обобщенных координат и обобщенных импульсов как функций времени и 2s произвольных постоянных, которые определяются из начальных условий.
(431)
Канонические уравнения применимы для голономных систем, с идеальными связями, на которые действуют потенциальные силы. Для составления этих уравнений нужно выписать функцию Лагранжа и определить при ее помощи обобщенные импульсы (421). Далее, необходимо написать функцию Гамильтона (426), при помощи которой и составляются канонические уравнения движения (431). При этом все обобщенные скорости исключаются при помощи уравнения (422) и заменяются обобщенными импульсами.
166
Функция Гамильтона H (q, p, t) в канонических уравнениях играет роль, подобную функции Лагранжа в уравнениях Лагранжа второго рода.
Задание функции H (q, p, t) равносильно постановке физической задачи или заданию механической системы в определенных условиях движения. Таким образом, функция Гамильтона является характеристической функцией механической задачи.
Первые интегралы канонических уравнений.
Первым интегралом канонических уравнений движения называется такая функция
, зависящая от обобщенных координат
, обобщенных импульсов и времени t, которая остается постоянной в любой момент времени, при любых начальных условиях, если обобщенные координаты и обобщенные импульсы удовлетворяют каноническим уравнениям. Итак, первые интегралы могут быть записаны в виде:
.
(432)
Если известны 2s независимых первых интегралов уравнений движения, то, вообще говоря, из них можно определить обобщенные координаты и обобщенные импульсы как функции времени t и 2s произвольных постоянных
(433)
.
(434)
Полученные таким образом соотношения удовлетворяют каноническим уравнениям движения, и, следовательно, канонические уравнения проинтегрированы, так как найдены обобщенные координаты и обобщенные импульсы, удовлетворяющие уравнениям и зависящие от t и 2s произвольных постоянных. Таким образом, задача об интегрировании канонических уравнений сводится к отысканию 2s первых интегралов этих уравнений. В некоторых частных случаях можно указать непосредственно первые интегралы канонических уравнений.
167
Интеграл энергии и циклические координаты.
Как указывалось ранее, в случае, когда функция Гамильтона H (q, p, t) не зависит явно от времени, имеет место равенство:
(435)
которое представляет собой первый интеграл уравнений Лагранжа второго рода. Если в последнем равенстве перейти от обобщенных скоростей к обобщенным импульсам, то последнее равенство будет интегралом канонических уравнений движения. Если система консервативна, то функция H (q, p, t) равна полной механической энергии системы (H=T+U) и последний интеграл представляет собой интеграл энергии.
Циклическими называются обобщенные координаты, которые не входят в функцию Лагранжа. Допустим, что циклической является координата qj с номером j, тогда имеет место равенство:
.
(436)
Из преобразования Лежандра (426) следует, что тогда координата qj не входит и в функцию Гамильтона H (q, p, t), следовательно, из канонических уравнений (431) получаем:
(437)
Последнее выражение является первым интегралом движения, который называется циклическим. Из циклических интегралов следует, что для циклических координат соответствующий обобщенный импульс постоянен. Предположим, что все обобщенные координаты циклические, тогда существует s первых циклических интегралов вида:
(438)
168
Пусть одновременно связи, наложенные на систему стационарны, тогда имеет место интеграл энергии системы (435). Другая группа канонических уравнений (431) в этом случае принимает вид:
(439)
где правые части уравнений (439) также представляют собой некоторые постоянные Wi, поскольку зависят лишь от постоянных импульсов (438) и неизменной обобщенной энергии
. Уравнения
(439) интегрируются довольно просто и находим закон изменения обобщенных координат:
(440)
где произвольные постоянные интегрирования q0,i равны значениям обобщенных координат в начальный момент времени. Итак, если все обобщенные координаты будут циклическими и связи, наложенные на систему, стационарными, то канонические уравнения движения интегрируются. Обобщенные координаты в этом случае будут линейными функциями времени.
Полученные результаты указывают, что непосредственное интегрирование уравнений движения может быть получено путем перехода от старых обобщенных координат qi новыми координатам Qi, чтобы последние все были циклическими. Такая смена координат в фазовом пространстве, не меняющая общей формы канонических уравнений (431) называется каноническим преобразованием.
Подробное изложение теории канонических преобразований может быть найдено в специализированной литературе [17].
Скобки Пуассона.
Методу Пуассона позволяет по двум известным независимым интегралам уравнения движения построить третий интеграл. В некоторых случаях с помощью этого метода можно полностью проинтегрировать уравнения движения. Понятие независимых интегралов уравнений
движения связано с нижеследующими рассуждениями. Допустим, что
Ф (q, p,t) = C = const,
(441)
есть интеграл канонических уравнений движения. Тогда любая функция Ψ(Φ), будет также интегралом канонических уравнений.
169
Ψ (Ф (q, p, t)) = Ψ (C) = const,
(442)
Два интеграла будут зависимыми, если они удовлетворяют последнему равенству.
Независимые интегралы уравнений движения не могут быть выражены один через другой при помощи некоторой единой функциональной зависимости. Два интеграла уравнений движения
Ф1 (q, p,t) = C1 = const, Ф2 (q, p,t) = C2 = const,
(443)
называются независимыми, если между ними не существует функциональной связи вида:
Ф2 (q, p, t)) = Ψ (Ф1 (q, p, t)),
(444)
Найдем условие, которому должна удовлетворять функция канонических переменных Ф (q, p, t) для того, чтобы равенство (441) представляло интеграл канонических уравнений.
Пусть Ф (q, p, t) будет интегралом движения (441). Дифференцируя это равенство по времени, получаем:
(445)
Подставляя в это равенство и
, из канонических уравнений движения (431) находим:
(446)
Последнее соотношение есть необходимое условие того, что равенство
(441) представляет собой интеграл канонических уравнений движения. Это условие является также и достаточным. Действительно, пусть Ф (q, p,
t) удовлетворяет написанному тождеству (446), а qi и pi — каноническим уравнениям движения (431). Тогда равенство (446) можно записать в виде
(445), а из него будет следовать, постоянство функции Ф (q, p, t) при подстановке координат qi и pi, удовлетворяющим каноническим уравнениям движения. Таким образом (441) есть первый интеграл канонических уравнений.
170
Выражение вида
(447)
где функции Ф (q, p, t), H (q, p, t) зависят от обобщенных координат, импульсов и времени называется скобкой Пуассона и обозначается символом {H, Ф}.
Условие (446) через скобки Пуассона может быть записано в виде:
(448)
Свойства скобок Пуассона позволяют указать метод построения нового интеграла канонических уравнений по двум заданным интегралам.
Эти свойства вытекают из определения скобки Пуассона и могут быть легко доказаны.
1) При перестановке функций Ф (q, p, t) и H (q, p, t) скобка Пуассона меняет свой знак:
(449)
2) Константы можно выносить за скобку Пуассона:
(450)
3) Если одна из функций есть константа, то скобка Пуассона равна нулю:
(451)
4) Скобки Пуассона обладают распределительным свойством по отношению к сложению функций.
(452)
171 5) Скобки Пуассона обладают распределительным свойством по отношению к умножению функций.
(453)
6) Частная производная по времени от скобки Пуассона вычисляется как производная от произведения двух функций.
(454)
7) Для любых трех функций справедливо тождество Якоби, которое имеет вид:
(455)
С помощью последнего тождества нетрудно доказать теорему
Пуассона, в которой утверждается: если функции Ф1 (q, p, t) и Ф2 (q, p,
t) являются первыми интегралами канонических уравнений (431), то и скобка Пуассона от этих функций {Ф1, Ф2} также будет интегралом этих уравнений, т. е.
(456)
Из условий теоремы и в силу (448) имеем
.
(457)
Составляя далее тождество Якоби (453) для функций Ф1 (q, p, t), Ф2 (q,
p, t), H (q, p, t) и исключая из него с помощью (455) скобки {H, Ф1} и {H,
Ф2}, получим тождество
(458)
(459)
172 которое согласно (449) и (454) сводится к условию (448) для функции
{Ф1, Ф2}:
(460)
что и доказывает теорему.
Пусть, например, функция Гамильтона H (q, p) явно от времени не зависит, а функция Ф (q, p, t) является интегралом системы (431). Тогда на основании условия (448) и теоремы Пуассона, примененной к функциям
H (q, p) и Ф (q, p, t), можно утверждать, что частные производные от функции
Ф (q, p, t) по времени являются интегралами канонических уравнений, т. е.
(461)
Эти интегралы могут оказаться новыми интегралами движения, независимыми от исходного интеграла Ф (q, p, t), и смогут упростить решение задачи. Однако если функция Ф (q, p, t) явно от времени не зависит от времени, то вместо (461) придем к тривиальному тождеству
Это обстоятельство следует учитывать, применяя теорему Пуассона для поиска новых интегралов движения. Вычисляя скобки Пуассона от двух функций Ф1 (q, p, t), Ф2 (q, p, t), являющихся первыми интегралами канонических уравнений (431), можно получить функцию тождественно равную нулю, или функцию, выражающуюся через исходные интегралы
Ф1 (q, p, t) и Ф2 (q, p, t). В этих случаях метод Пуассона не приводит к новым независимым интегралам движения.
С помощью скобок Пуассона можно записать ряд соотношений, имеющих важные аналогии в квантовой механике. Например,
фундаментальные скобки Пуассона, т. е. скобки от самих канонических переменных:
.
(462)
являются классическими аналогами перестановочных соотношений
Гейзенберга.
173
Воспользуемся определением момента импульса одной материальной точки и вычислим скобки Пуассона между проекциями вектора момента импульса в декартовых координатах. Будем использовать декартовы координаты материальной точки в качестве канонических переменных в соответствующей функции Гамильтона:
.
(463)
Учитывая значения фундаментальных скобок Пуассона (462) получаем:
.
(464)
Эти соотношения являются аналогом формул для коммутаторов проекций вектора кинетического момента, которые также играют важную роль в квантовой механике. С точки зрения классической механики формулы
(464) означают, что две компоненты момента импульса не могут одновременно играть роль канонических переменных, так как канонические переменные должны удовлетворять фундаментальным соотношениям (462).
Вместе с тем квадрат вектора кинетического момента и любая компонента вектора момента импульса могут одновременно играть роль обобщенных импульсов. Используя тождества (464) можно показать, что для величины выполняются соотношения:
.
(465)
В заключении приведем еще пару свойств, которым удовлетворяют скобки Пуассона:
.
(466)
Канонические переменные.
Рассмотрим потенциальную механическую систему с голономными связями. Движение точек этой системы описывается уравнениями Лагранжа второго рода (417), которые, являются дифференциальными уравнениями второго порядка. Для нахождения однозначных решений этих уравнений требуются задать начальные условия, т.е. задать значения обобщенных координат и обобщенных скоростей в некоторый момент времени. В этом смысле обобщенные координаты qi и обобщенные скорости образуют полную систему 2s независимых переменных, необходимых для описания движения системы.
С математической точки зрения, имеет смысл перейти от s дифференциальных уравнения движения второго порядка к 2s уравнениям первого порядка, зависящим от 2s переменных, которые полностью определяют движение системы. Указанное преобразование, выполненное
Гамильтоном, привело к системе простых по форме и симметричных относительно основных переменных уравнений, которые благодаря этим свойствам получили название канонических (простейших). Переменными новых уравнений, введенными Гамильтоном, являются обобщенные координаты qi и обобщенные импульсы pi, которые, как указывалось ранее
(см. главу 8), определяются равенствами:
.
(421)
Так как функция Лагранжа L не содержит членов выше второго порядка относительно обобщенных скоростей, то обобщенные импульсы будут линейными функциями обобщенных скоростей. Можно доказать, что соотношения (421) могут быть однозначно разрешены относительно обобщенных скоростей , которые можно будет выразить как функции обобщенных импульсов, обобщенных координат и времени. Обобщенные координаты и обобщенные импульсы называются каноническими
переменными. Введение канонических переменных приводит к переходу от описания движения системы при помощи s дифференциальных уравнений второго порядка к описанию движения при помощи 2s дифференциальных уравнений первого порядка. Из уравнений (421) определяем обобщенные скорости:
163
(422)
где
- представляют собой некоторые функции обобщенных координат, обобщенных импульсов и времени t.
Далее, вводя обобщенные импульсы (421) уравнения Лагранжа второго рода для консервативных систем, можно записать как уравнения первого порядка относительно 2s переменных и , которые будем искать как функции времени.
(423)
Следует заметить, что система уравнений (423) не симметрична.
Дальнейшие преобразования направлены на то, чтобы придать уравнениям движения, записанным в канонических переменных, - симметричный вид.
Фазовое пространство.
Канонические переменные широко применяются в квантовой и статистической механике. В указанных дисциплинах каноническим переменным дается в ряде случаев удобная для исследования движения геометрическая интерпретация. Именно, 2s канонических переменных системы можно рассматривать как точку {Xi} = (qi, pi) 2s-мерного пространства, которое получило название фазового пространства.
Движение системы можно рассматривать как траекторию в фазовом пространстве. Фазовое пространство канонических переменных аналогично подпространству конфигураций обобщенных координат. Однако известное преимущество фазового пространства перед подпространством конфигураций заключается в том, что через каждую точку фазового пространства проходит только одна траектория движения системы, в то время как в подпространстве конфигураций проходит бесчисленное множество траекторий движения системы (ибо последние зависят от начальных скоростей движения точек системы).
164
Преобразование Лежандра.
В главе 8 отмечалось, что функция Н (393), обобщенная механическая энергия потенциальной системы с голономными стационарными связями, является обобщением понятия механическая энергия.
Поэтому целесообразно было бы включить функцию Н в явном виде в уравнения движения. Данный переход от функции Лагранжа к обобщенной механической энергии выполняется, при помощи операции, известной в математике под названием преобразования Лежандра. Эта операция, позволяющая перейти от переменных к переменным
, заключается в следующем: рассмотрим функцию Лагранжа многих переменных,
. Дифференциал этой функции имеет вид:
(424)
Заметим, что
.
(425)
Введем функцию Н, зависящую от (qi, pi. t), которая определяется равенством:
(426)
Перейдем от переменных к переменным (qi, pi, t) при помощи формул (421) и запишем дифференциал от обобщенной энергии H (q, p, t):
(427)
С другой стороны из формулы (426) для дифференциала H (q, p, t), получаем:
(428)
165
Подставляя дифференциал dL (424) и производя соответствующие преобразования, имеем:
.
(429)
Приравнивая частные производные при дифференциалах независимых переменных (qi, pi, t) в формулах (427) и (429), получаем уравнения
Гамильтона:
,
(430)
где функция H (q, p. t) называется функцией Гамильтона или
Гамильтонианом механической системы.
Первые два равенства
(430) называются
каноническими
уравнениями Гамильтона. Они представляют собой систему 2s дифференциальных уравнений первого порядка, служащую для определения обобщенных координат и обобщенных импульсов как функций времени и 2s произвольных постоянных, которые определяются из начальных условий.
(431)
Канонические уравнения применимы для голономных систем, с идеальными связями, на которые действуют потенциальные силы. Для составления этих уравнений нужно выписать функцию Лагранжа и определить при ее помощи обобщенные импульсы (421). Далее, необходимо написать функцию Гамильтона (426), при помощи которой и составляются канонические уравнения движения (431). При этом все обобщенные скорости исключаются при помощи уравнения (422) и заменяются обобщенными импульсами.
166
Функция Гамильтона H (q, p, t) в канонических уравнениях играет роль, подобную функции Лагранжа в уравнениях Лагранжа второго рода.
Задание функции H (q, p, t) равносильно постановке физической задачи или заданию механической системы в определенных условиях движения. Таким образом, функция Гамильтона является характеристической функцией механической задачи.
Первые интегралы канонических уравнений.
Первым интегралом канонических уравнений движения называется такая функция
, зависящая от обобщенных координат
, обобщенных импульсов и времени t, которая остается постоянной в любой момент времени, при любых начальных условиях, если обобщенные координаты и обобщенные импульсы удовлетворяют каноническим уравнениям. Итак, первые интегралы могут быть записаны в виде:
.
(432)
Если известны 2s независимых первых интегралов уравнений движения, то, вообще говоря, из них можно определить обобщенные координаты и обобщенные импульсы как функции времени t и 2s произвольных постоянных
(433)
.
(434)
Полученные таким образом соотношения удовлетворяют каноническим уравнениям движения, и, следовательно, канонические уравнения проинтегрированы, так как найдены обобщенные координаты и обобщенные импульсы, удовлетворяющие уравнениям и зависящие от t и 2s произвольных постоянных. Таким образом, задача об интегрировании канонических уравнений сводится к отысканию 2s первых интегралов этих уравнений. В некоторых частных случаях можно указать непосредственно первые интегралы канонических уравнений.
167
Интеграл энергии и циклические координаты.
Как указывалось ранее, в случае, когда функция Гамильтона H (q, p, t) не зависит явно от времени, имеет место равенство:
(435)
которое представляет собой первый интеграл уравнений Лагранжа второго рода. Если в последнем равенстве перейти от обобщенных скоростей к обобщенным импульсам, то последнее равенство будет интегралом канонических уравнений движения. Если система консервативна, то функция H (q, p, t) равна полной механической энергии системы (H=T+U) и последний интеграл представляет собой интеграл энергии.
Циклическими называются обобщенные координаты, которые не входят в функцию Лагранжа. Допустим, что циклической является координата qj с номером j, тогда имеет место равенство:
.
(436)
Из преобразования Лежандра (426) следует, что тогда координата qj не входит и в функцию Гамильтона H (q, p, t), следовательно, из канонических уравнений (431) получаем:
(437)
Последнее выражение является первым интегралом движения, который называется циклическим. Из циклических интегралов следует, что для циклических координат соответствующий обобщенный импульс постоянен. Предположим, что все обобщенные координаты циклические, тогда существует s первых циклических интегралов вида:
(438)
168
Пусть одновременно связи, наложенные на систему стационарны, тогда имеет место интеграл энергии системы (435). Другая группа канонических уравнений (431) в этом случае принимает вид:
(439)
где правые части уравнений (439) также представляют собой некоторые постоянные Wi, поскольку зависят лишь от постоянных импульсов (438) и неизменной обобщенной энергии
. Уравнения
(439) интегрируются довольно просто и находим закон изменения обобщенных координат:
(440)
где произвольные постоянные интегрирования q0,i равны значениям обобщенных координат в начальный момент времени. Итак, если все обобщенные координаты будут циклическими и связи, наложенные на систему, стационарными, то канонические уравнения движения интегрируются. Обобщенные координаты в этом случае будут линейными функциями времени.
Полученные результаты указывают, что непосредственное интегрирование уравнений движения может быть получено путем перехода от старых обобщенных координат qi новыми координатам Qi, чтобы последние все были циклическими. Такая смена координат в фазовом пространстве, не меняющая общей формы канонических уравнений (431) называется каноническим преобразованием.
Подробное изложение теории канонических преобразований может быть найдено в специализированной литературе [17].
Скобки Пуассона.
Методу Пуассона позволяет по двум известным независимым интегралам уравнения движения построить третий интеграл. В некоторых случаях с помощью этого метода можно полностью проинтегрировать уравнения движения. Понятие независимых интегралов уравнений
движения связано с нижеследующими рассуждениями. Допустим, что
Ф (q, p,t) = C = const,
(441)
есть интеграл канонических уравнений движения. Тогда любая функция Ψ(Φ), будет также интегралом канонических уравнений.
169
Ψ (Ф (q, p, t)) = Ψ (C) = const,
(442)
Два интеграла будут зависимыми, если они удовлетворяют последнему равенству.
Независимые интегралы уравнений движения не могут быть выражены один через другой при помощи некоторой единой функциональной зависимости. Два интеграла уравнений движения
Ф1 (q, p,t) = C1 = const, Ф2 (q, p,t) = C2 = const,
(443)
называются независимыми, если между ними не существует функциональной связи вида:
Ф2 (q, p, t)) = Ψ (Ф1 (q, p, t)),
(444)
Найдем условие, которому должна удовлетворять функция канонических переменных Ф (q, p, t) для того, чтобы равенство (441) представляло интеграл канонических уравнений.
Пусть Ф (q, p, t) будет интегралом движения (441). Дифференцируя это равенство по времени, получаем:
(445)
Подставляя в это равенство и
, из канонических уравнений движения (431) находим:
(446)
Последнее соотношение есть необходимое условие того, что равенство
(441) представляет собой интеграл канонических уравнений движения. Это условие является также и достаточным. Действительно, пусть Ф (q, p,
t) удовлетворяет написанному тождеству (446), а qi и pi — каноническим уравнениям движения (431). Тогда равенство (446) можно записать в виде
(445), а из него будет следовать, постоянство функции Ф (q, p, t) при подстановке координат qi и pi, удовлетворяющим каноническим уравнениям движения. Таким образом (441) есть первый интеграл канонических уравнений.
170
Выражение вида
(447)
где функции Ф (q, p, t), H (q, p, t) зависят от обобщенных координат, импульсов и времени называется скобкой Пуассона и обозначается символом {H, Ф}.
Условие (446) через скобки Пуассона может быть записано в виде:
(448)
Свойства скобок Пуассона позволяют указать метод построения нового интеграла канонических уравнений по двум заданным интегралам.
Эти свойства вытекают из определения скобки Пуассона и могут быть легко доказаны.
1) При перестановке функций Ф (q, p, t) и H (q, p, t) скобка Пуассона меняет свой знак:
(449)
2) Константы можно выносить за скобку Пуассона:
(450)
3) Если одна из функций есть константа, то скобка Пуассона равна нулю:
(451)
4) Скобки Пуассона обладают распределительным свойством по отношению к сложению функций.
(452)
171 5) Скобки Пуассона обладают распределительным свойством по отношению к умножению функций.
(453)
6) Частная производная по времени от скобки Пуассона вычисляется как производная от произведения двух функций.
(454)
7) Для любых трех функций справедливо тождество Якоби, которое имеет вид:
(455)
С помощью последнего тождества нетрудно доказать теорему
Пуассона, в которой утверждается: если функции Ф1 (q, p, t) и Ф2 (q, p,
t) являются первыми интегралами канонических уравнений (431), то и скобка Пуассона от этих функций {Ф1, Ф2} также будет интегралом этих уравнений, т. е.
(456)
Из условий теоремы и в силу (448) имеем
.
(457)
Составляя далее тождество Якоби (453) для функций Ф1 (q, p, t), Ф2 (q,
p, t), H (q, p, t) и исключая из него с помощью (455) скобки {H, Ф1} и {H,
Ф2}, получим тождество
(458)
(459)
172 которое согласно (449) и (454) сводится к условию (448) для функции
{Ф1, Ф2}:
(460)
что и доказывает теорему.
Пусть, например, функция Гамильтона H (q, p) явно от времени не зависит, а функция Ф (q, p, t) является интегралом системы (431). Тогда на основании условия (448) и теоремы Пуассона, примененной к функциям
H (q, p) и Ф (q, p, t), можно утверждать, что частные производные от функции
Ф (q, p, t) по времени являются интегралами канонических уравнений, т. е.
(461)
Эти интегралы могут оказаться новыми интегралами движения, независимыми от исходного интеграла Ф (q, p, t), и смогут упростить решение задачи. Однако если функция Ф (q, p, t) явно от времени не зависит от времени, то вместо (461) придем к тривиальному тождеству
Это обстоятельство следует учитывать, применяя теорему Пуассона для поиска новых интегралов движения. Вычисляя скобки Пуассона от двух функций Ф1 (q, p, t), Ф2 (q, p, t), являющихся первыми интегралами канонических уравнений (431), можно получить функцию тождественно равную нулю, или функцию, выражающуюся через исходные интегралы
Ф1 (q, p, t) и Ф2 (q, p, t). В этих случаях метод Пуассона не приводит к новым независимым интегралам движения.
С помощью скобок Пуассона можно записать ряд соотношений, имеющих важные аналогии в квантовой механике. Например,
фундаментальные скобки Пуассона, т. е. скобки от самих канонических переменных:
.
(462)
являются классическими аналогами перестановочных соотношений
Гейзенберга.
173
Воспользуемся определением момента импульса одной материальной точки и вычислим скобки Пуассона между проекциями вектора момента импульса в декартовых координатах. Будем использовать декартовы координаты материальной точки в качестве канонических переменных в соответствующей функции Гамильтона:
.
(463)
Учитывая значения фундаментальных скобок Пуассона (462) получаем:
.
(464)
Эти соотношения являются аналогом формул для коммутаторов проекций вектора кинетического момента, которые также играют важную роль в квантовой механике. С точки зрения классической механики формулы
(464) означают, что две компоненты момента импульса не могут одновременно играть роль канонических переменных, так как канонические переменные должны удовлетворять фундаментальным соотношениям (462).
Вместе с тем квадрат вектора кинетического момента и любая компонента вектора момента импульса могут одновременно играть роль обобщенных импульсов. Используя тождества (464) можно показать, что для величины выполняются соотношения:
.
(465)
В заключении приведем еще пару свойств, которым удовлетворяют скобки Пуассона:
.
(466)