Файл: Учебные материалы по дисциплине Теоретическая механика.pdf

44
Рис. 25. Движение некоторой точки M твердого тела при вращении вокруг
оси, проходящей через точку O перпендикулярно плоскости чертежа
Алгебраическая скорость точки M равна:
.
(92)
Вектор скорость
, направленный по касательной к окружности называют линейной
скоростью. Модуль вектора линейной скорости равен:
(93)
Величины скоростей точек тела, при его вращении вокруг неподвижной оси, пропорциональны кратчайшим расстояниям от этих точек до оси. Коэффициентом пропорциональности является угловая скорость .
Скорости точек направлены по касательным к траекториям и, перпендикулярны радиусам вращения.
Ускорение точки раскладываем на тангенциальную (касательную) и нормальную составляющие.
(94)
Компоненты вектора ускорения вычисляются по формулам:
(95)

45
Таким образом
Подставляем эти соотношения в (94) и находим модуль вектора полного ускорения точки M:
.
(96)
Касательные, нормальные и полные ускорения точек тела, при его вращении вокруг неподвижной оси, как и скорости, так же пропорциональны кратчайшим расстояниям от этих точек до оси.
Нормальное ускорение направлено по радиусу окружности к оси вращения.
Направление касательного ускорения зависит от знака углового ускорения.
Векторные скорости и ускорения точек тела.
Скорость произвольной точки M вращающегося твердого тела можно записать в виде векторного произведения вектора угловой скорости (87) и
- радиус-вектора точки М, проведенного из произвольной точки O, расположенной на оси вращения OZ (см. рис. 26).
(97)
Это выражение называется векторной формулой Эйлера.
Действительновектор перпендикулярен плоскости, в которой расположены векторы и следовательно, по направлению он совпадает с вектором скорости Модуль вектора векторного произведения (97) равен модулю вектора скорости:
Таким образом, векторное произведение (97) по модулю и направлению совпадает с вектором скорость точки, что и доказывает справедливость формулы (97).

46
Рис. 26. Векторная формула Эйлера для линейной скорости точки
M вращающегося твердого
Чтобы найти ускорение точки M продифференцируем формулу Эйлера по времени.
.
(98)
.
(99)
Первое слагаемое в формуле (99) является касательным
(тангенциальным) ускорением точки M - а второе
– нормальным;
.
(100)
где вектор направлен перпендикулярно к оси вращения по прямой
(см. рис. 26). Формула Эйлера (97) позволяет также вывести одно важное соотношение, определяющее производную по времени от радиус- вектора точки М. Согласно определению (24) скорость произвольной точки
M равна производной по времени от ее радиус вектора.
(101)

47
Сопоставление формулы (101) с формулой (97) приводит к результату:
.
(102)
Это правило определяет закон изменения во времени произвольного постоянного по модулю вектора, связанного с твердым телом, при вращении его системы отсчета с некоторой угловой скоростью .
Плоское движение твердого тела.
Плоским движением твердого тела называется такое его движение, при котором каждая его точка все время движется в одной и той же плоскости.
Плоскости, в которых движутся отдельные точки тела, параллельны между собой и параллельны одной и той же неподвижной плоскости. Плоское движение твердого тела еще называют плоскопараллельным. Траектории точек тела при плоском движении являются плоскими кривыми. Плоское движение твердого тела имеет большое значение в технике. Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси является частным случаем движения твердого тела. При изучении плоского движения, как и любого другого, необходимо рассмотреть способы задания этого движения, а также приемы вычисления скоростей и ускорений точек тела.
Если в теле провести некоторую прямую О1О2, перпендикулярную плоскостям, в которых происходит движение точек (см. рис. 27), то все точки этой прямой будут двигаться по одинаковым траекториям с одинаковыми скоростями и ускорениями; сама прямая будет, естественно, сохранять свою ориентацию в пространстве. Таким образом, при плоском, движении твердого тела достаточно рассмотреть движение одного из сечений тела.
Сечение твердого тела будем называть плоской фигурой. Положение фигуры на ее плоскости полностью определяется положением отрезка прямой линии, жестко скрепленной с этой плоской фигурой.

48
Рис. 27. Плоскопараллельное движение твердого тела
Уравнения плоского движения твердого тела.
Для задания положения плоской фигуры на плоскости относительно системы координат O1X1Y1, лежащей в плоскости фигуры, достаточно задать на этой плоскости положение отрезка АВ, скрепленного с фигурой.
Положение отрезка
АВ, относительно системы координат
O1X1Y1 определяется заданием координат какой-нибудь точки этого отрезка и его направления. Например, можно задать координату точки A(xA, yA) и направление, заданное углом .
Уравнения движения плоской фигуры относительно системы координат O1X1Y1 имеют вид:
(103)
Твердое тело при плоском движении имеет три степени свободы. Три функции (103) называются уравнениями плоского движения твердого
тела.
Рис. 28. Задание уравнений плоского движения твердого тела

49
Перейдем к изучению движения отдельной точки твердого тела.
Положение произвольной точки М плоской фигуры относительно подвижной системы отсчета OXY, жестко связанной с этой фигурой и лежащей в ее плоскости, полностью определяется заданием координат x и y точки М (см. рис.29).
Рис. 29. Задание уравнений плоского движения твердого тела
Между координатами точки М в различных системах отсчета существует связь:
(104)
где
r - длина отрезка ОМ;
- постоянный угол между ОМ и осью OX.
С учетом соотношений x = r · cos и y = r · sin получаем:
(105)

50
Формулы (105) являются уравнениями движения точки М плоской фигуры относительно системы координат OX1Y1. Эти формулы позволяют определить координаты произвольной точки плоской фигуры по заданным уравнениям движения этой фигуры и координатам этой точки относительно подвижной системы отсчета, скрепленной с движущейся фигурой.
Разложение плоского движения абсолютно твердого тела на
поступательное и вращательное движения.
Любое движение твердого тела, в том числе и движение плоской фигуры в ее плоскости, бесчисленным моножеством способов можно разложить на два движения, одно из которых переносное – поступательное движение, а другое – относительное вращательное движение по отношению к некоторой точке – полюсу. Например, движение плоской фигуры в ее плоскости относительно системы координат OX1Y1, расположенной в той же плоскости (см. рис. 29), можно разложить на переносное и относительное движения следующим образом. Примем за переносное движение фигуры ее движение вместе с поступательно движущейся системой координат OXY, начало которой скреплено с точкой О фигуры, принятой за полюс. Тогда относительное движение фигуры будет по отношению к неподвижной системе координат OX1Y1, вращением вокруг подвижной оси, перпендикулярной плоской фигуре и проходящей через выбранную точку – полюс вращения.
Чтобы убедиться в возможности такого описания достаточно показать, что плоскую фигуру в ее плоскости из одного положения в любое другое можно перевести двумя перемещениями – поступательным перемещением в плоскости фигуры вместе с каким – либо полюсом и поворотом в той же плоскости вокруг этого полюса.
Рис. 30. Разложение плоского движения твердого тела на поступательное
и вращательное

51
Рассмотрим два любых положения плоской фигуры 1 и 2 (см. рис. 30).
Выделим в рассматриваемой фигуре некоторый отрезок АB. Перевод фигуры из положения 1 в положение 2 можно рассматривать как суперпозицию двух движений: поступательного из 1 в 1' и вращательного из 1' в 2 вокруг точки
A', называемой полюсом вращения. Существенно, что в качестве полюса можно выбрать любую точку, принадлежащую фигуре или даже лежащую в плоскости вне фигуры. На рис. 30б, к примеру, в качестве полюса выбрана точка В. Обратите внимание: длина пути при поступательном перемещении изменилась (в данном случае увеличилась), но угол поворота остался прежним!
Угловая скорость и угловое ускорение тела при плоском
движении.
Для описания вращательной части плоского движения твердого тела вокруг подвижной оси, проходящей через выбранный полюс, вводится понятие угловой скорости и углового ускорения по аналогии с формулами (83), (86) и (88). где
- единичный вектор, направленный по оси вращения.
Угол поворота вокруг некоторой подвижной оси, проходящей через полюс, обозначим . Поскольку величина угла поворота не завистит от выбора полюса поворота, то угловая скорость и угловое ускорение являются универсальными характеристиками при плоском движении твердого тела, определяемыми через производные от угла поворота .
Векторы и можно изображать в любых точках подвижной оси вращения, т.е. они являются свободными векторами.

52
Скорости точек тела при плоском движении.
Скорость произвольной точки твердого тела при его плоском движении равна векторной сумме скорости полюса и относительной скорости этой точки, связанной с вращением вокруг этого полюса
(см. рис. 31).
Рис. 31. Разложение скорости произвольной точки B твердого тела на
сумму скоростей
Чтобы убедиться в справедливости данного высказывания, запишем радиус-вектор точки B по отношению к неподвижной системе координат
OX1Y1 в следующем виде:
.
(106)
Дифференцируем формулу (106) по времени и воспользуемся правилом Эйлера (102) для производной от постоянного по модулю вектора
(107)
.
(108)

53
Скорость относительного движения точки B по отношению к полюсу вращения A расположена в плоскости движущейся фигуры и направлена перпендикулярно отрезку АВ, соединяющему точку В с полюсом
А (см. рис. 31). Эта скорость связана с вращением плоской фигуры вокруг подвижной оси, проходящей через полюс А. Относительная скорость выражается в виде векторного произведения
(109)
где угловая скорость направлена по подвижной оси вращения, проходящей через полюс А перпендикулярно плоскости фигуры. Таким образом, установлено, что
(110)
скорость произвольной точки
B твердого тела при плоскопараллельном движении можно записать в виде векторной суммы скорости полюса и скорости данной точки при ее вращении вместе с телом вокруг полюса (109).
Мгновенный центр скоростей.
Мгновенным центром скоростейназывается точка плоской фигуры, скорость которой в данный момент времени равна нулю. Можно доказать, что в каждый момент времени при плоскопараллельном непоступательном движении фигуры имеется только один единственный центр скоростей.
Для доказательства достаточно указать способ нахождения мгновенного центра скоростей, если известны скорость какой-либо точки O
плоской фигуры и ее угловая скорость в рассматриваемый момент времени.
Рис. 32. Мгновенный центр скоростей твердого тела

54
Будем искать точку P – мгновенный центр скоростей, исходя из условия равенства нулю ее скорости
(111)
Следовательно
(112)
Мгновенный центр скоростей, точка P, находится на перпендикуляре к скорости , на расстоянии от точки O, вычисляемом по формуле (112).
Мгновенный центр скоростей это единственная точка плоской фигуры для данного момента времени. В другой момент времени мгновенным центром скоростей будет уже другая точка. Возьмем точку P за полюс, тогда
.
(113)
Аналогичный результат получается для любой другой точки плоской фигуры.
(114)
(115)
Скорости точек плоской фигуры определяются в данный момент так, как если бы движение фигуры было вращением вокруг мгновенного центра скоростей. Скорости точек плоской фигуры пропорциональны их расстояниям до мгновенного центра скоростей.

55
Методы нахождения положения мгновенного центра скоростей
(МЦС).
Случай-1.
Рис. 33.
Известен вектор скорости некоторой точки A плоской фигуры и ее угловая скорость
МЦС находится на перпендикуляре к вектору проведенном через точку A. При этом вектор имеет длину
Точка P –МЦС.
Случай-2.
Рис. 34.

56
Известны вектора скоростей и двух точек A и B плоской фигуры, которые не параллельные друг другу.
Для нахождения положения МЦС (точки P) достаточно знать лишь
направления скоростей двух точек. МЦС находится в точке пересечения перпендикуляров, проведенных через точки A и B к скоростям этих точек.
Угловая скорость плоской фигуры равна
Случай-3.
Рис. 35.
Известны вектора скоростей и двух точек плоской фигуры, которые параллельны друг и перпендикулярные отрезку AB, соединяющему эти точки. Вектора направлены в одну сторону и не равны по модулю друг другу
МЦС находится в точке пересечения продолжения отрезка AB и прямой, проведенной через концы векторов и
При заданной длине отрезка AB расстояния от точки P (МЦС) до точек A и B определяются из пропорции
Угловая скорость плоской фигуры равна

57
Случай-4.
Рис. 36.
Известны вектора скоростей и двух точек плоской фигуры, которые параллельны друг и перпендикулярные отрезку AB, соединяющему эти точки. Вектора направлены в разные стороны.
Точка P (МЦС) находится в месте пересечения отрезка AB и прямой, проведенной через концы векторов и
. Расстояния от P до точек A и B определяются также как и в случае 3.
Случай-5.
Рис. 37.
Известно, что плоская фигура катится без скольжения по неподвижной кривой.

58
МЦС находится в точке соприкосновения фигуры с кривой, так как скорости точек фигуры и неподвижной кривой, находящиеся в соприкосновении, равны между собой и, следовательно, равны нулю. Если известна скорость какой-либо точки A фигуры, то угловая скорость
Случай-6.
Рис. 38.
Известно, что скорости и двух точек A и B плоской фигуры параллельны друг другу и не перпендикулярны отрезку AB, соединяющему эти точки.МЦС в данный момент времени не существует или, другими словами, точка P находится в бесконечности. Угловая скорость плоской фигуры в данный момент равна нулю. Движение фигуры называется
мгновенно-поступательным. Скорости всех точек фигуры равны
Ускорения точек тела при плоском движении.
Уравнения движения плоской фигуры (103) позволяют найти ускорение точки A, выбранной за полюс, угловую скорость и угловое ускорение фигуры:
.
(116)