Файл: Электрический привод.pdf

11 2
2 2
2 2
12 3
3 13
м м
1м
/
,
/
/
J
J
j J
J
j
J
J
j
′
′
′
=
=
=
…
– приведённые моменты инерции от- дельных звеньев;
2 3
м
n
J
J
J
J
J
Σ
′
′
′
′
′
=
+
+
+
+
…
– суммарный приведённый момент инерции звеньев, вращающихся со скоростями, отличающимися от скорости вращения двигателя.
Очевидно, что для маховых моментов также справедливы соотношения
(1.16)
2 2
2 2
2 2
2
пр д
1 2
3
м
2 2
2 2
12 13 1
1м
1 1
1 1
n
n
GD
GD
GD
GD
GD
GD
GD
j
j
j
j
=
+
+
+
+
+
+
…
. (1.17)
Приведение масс, движущихся поступательно, также осуществляется на основании равенства кинетических энергий
2 2
2
д
2
д
2 2
J
mv
v
J
m
mr
′
⎛
⎞
ω
′
=
⇒
=
=
⎜
⎟
ω
⎝
⎠
(1.18)
Тогда, если механизм имеет поступательно движущиеся элементы, то сум- марный приведённый к валу двигателя момент инерции будет равен:
(
)
(
)
2 2
1 2
12 3
13 2
2 2
м
1м
1 1
д
2 2
д
2 2
1 1
2 1
/
/
/
/
/
/
p
q
k
k
i i
k
i
J
J
J
j
J
j
J
j
m v
m v
J
J
j
m r
=
=
=
+
+
+
+
+
ω
+
ω
+
=
=
+
+
∑
∑
…
…
(1.19) где
1 1 1 2
2 2
, , ,
, ,
m v r m v r …
– массы, линейные скорости и радиусы приведения эле- ментов, движущихся поступательно.

12 1
1 1
1 1
1
;
/
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
l
l
j
j
r
l r
′
ϕ
ϕ
′
′
=
=
⇔ ϕ = ϕ
=
=
⇔ ϕ =
′
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
(1.21)
Рассмотрим кинематическую цепь привода на рис. 1.4, а. Она состоит из двигателя Дв, соединённого с исполнительным механизмом ИМ двухступенча- тым редуктором. Все элементы кинематической цепи обозначены номерами.
Закрепим жёстко вал ИМ и приложим со стороны двигателя момент M. В ре- зультате деформации его вал повернётся на угол
/
M c
ϕ =
, где
/
c M
=
ϕ – жёсткость всей кинематической цепи в Нм/рад, равная вращаю- щему моменту, необходимому для закручивания вала на один радиан.
Угол
ϕ является суммой углов закручивания всех элементов кинематиче- ской цепи, т.е.
12 23 34 45 56
′
′
′
ϕ = ϕ + ϕ + ϕ + ϕ + ϕ
, (1.20) где
pq
′
ϕ – углы закручивания связей между элементами p и q, приведённые к валу двигателя.
На вал, соединяющий двигатель и первое зубчатое колесо, а также на зуб- чатую пару первого и второго колеса действует момент двигателя M. Дефор- мация обоих элементов происходит от- носительно одной и той же оси, поэтому
12 12
/
M c
ϕ =
и
23 23
/
M c
ϕ =
. Момент, дей- ствующий на вал между третьим и чет- вёртым колесом, равен
34 23 13
M
M j
M j
=
⋅
=
⋅
, поэтому истин- ный угол его закручивания равен
34 34 34
/
M
c
ϕ =
, а угол, приведённый к ва- лу двигателя –
2 34 34 13 34 13 34 13 34
/
/
j
M j
c
M j
c
′
ϕ = ϕ
=
=
⋅
Так как третье и четвёртое колесо соединены общим валом, то угол закру- чивания в паре четвёртого и пятого колёс приводится к валу двигателя анало- гичным передаточным числом, т.е.
2 45 13 45
/
M j
c
′
ϕ =
⋅
Угол закручивания вала ИМ с учётом момента
56 23 45 15
M
M j
j
M j
=
⋅
⋅
=
⋅
, действующего на эту связь, равен
56 56 56 15 56
/
/
M
c
M j
c
ϕ =
=
⋅
. Тогда приведён- ный угол –
2 56 56 15 15 56
/
j
M j
c
′
ϕ = ϕ
=
⋅
Подставляя полученные углы деформации в (1.20), получим
2 2
2 13 13 15 12 23 34 45 56 12 23 34 45 56 1
1 1
1 1
1 1
M
j
j
j
M
M
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
⎛
⎞
⎛
⎞
ϕ =
=
+
+
+
+
=
+
+
+
+
⎜
⎟
⎜
⎟
′
′
′
⎝
⎠
⎝
⎠
Отсюда жёсткость всей кинематической цепи на рис. 1.4, а
Рис. 1.4.

13 12 23 34 45 56 1
1 1
1 1
1
c
c
c
c
c
c
=
+
+
+
+
′
′
′
. (1.21)
Обобщая (1.21) на произвольное число n звеньев с учётом того, что
2 12 12 1
j
j
=
= и
2 2
12 12 12 12 23 23 12 23
/
;
/
c
c
j
c c
c
j
c
′
′
=
=
=
=
, получим
1 2
2
(
1)
(
1)
1 1
1
n
n
k
k
k
k
k
k
c
c
c
c
−
=
=
−
−
⎛
⎞
=
⇔ = ⎜
⎟
⎜
⎟
′
′
⎝
⎠
∑
∑
, (1.22) где
2
(
1)
(
1)
1(
1)
/
k
k
k
k
k
c
c
j
−
−
−
′
=
– приведённая жесткость связи, а
1(
1)
k
j
−
– передаточное число кинематической цепи между точкой расположения упругой связи и ва- лом приведения, в данном случае валом двигателя.
Предположим теперь, что связи в кинематической схеме привода абсолют- но жёсткие, а исполнительным механизмом является лебёдка с упругим тросом, жёсткость которого равна c. Эта схема приведена на рис. 1.4, б.
Закрепим жёстко конец троса и приложим к валу двигателя момент M.
Вращающий момент на валу барабана будет равен б
23 45 15
M
M j j
M j
=
⋅
=
⋅
и бу- дет уравновешиваться моментом, создаваемым силой натяжения троса б
/ 2
/ 2
M
F D
l cD
= ⋅
= Δ ⋅
, где l
Δ – удлинение троса под действием силы F. В ре- зультате вал барабана повернётся на угол б
2 /
l D
Δϕ = Δ
, а вал двигателя на угол д
б 15 15 2
/
/
j
l j
D M c′
Δϕ = Δϕ
= Δ ⋅
=
, где c′ – приведённая жесткость троса. При- равнивая вращающие моменты, действующие на барабан лебёдки, получим вы- ражение для удлинения троса
15 2M j
l
cD
⋅
Δ =
и для угла поворота вала двигателя
2 15
д
2 4M j
M
cD
c
⋅
Δϕ =
=
′
, а затем выражение для жёсткости троса, приведённой к валу двигателя
2 2
15 2
D
c
c
cr
j
⎛
⎞
′ =
=
⎜
⎟
⎝
⎠
, (1.23) где
15 2
D
r
j
=
– радиус приведения
Из выражения (1.23) следует, что при растяжении приведённая жесткость деформируемого звена вычисляется также как при кручении через квадрат пе- редаточного числа всех звеньев до вала двигателя. Но кроме этого для приведе- ния используется квадрат некоторой величины / 2
D
, имеющей размерность длины, которая в данном примере имеет вполне ясный физический смысл, т.к. представляет собой радиус барабана лебёдки.

14
1.1.4. Получение расчётной схемы кинематической цепи
Рассмотрим задачу получения рас- чётной кинематической схемы на примере привода лебёдки на рис. 1.5, а. Он состоит из двигателя Дв, соединённого клиноре- менной передачей с трёхступенчатым ре- дуктором Р, на выходном валу которого установлен барабан диаметром D. На кон- це троса лебёдки подвешен груз весом G перемещаемый со скоростью v.
Ременная передача и трос лебёдки обладают жесткостями
1
c и
2
c значитель- но меньшими, чем жёсткость валов и зуб- чатых пар редуктора.
Передаточное число ременной передачи равно отношению диаметров шкивов
2 1
12 1
2
D
j
D
ω
=
=
ω
, (1.24) а передаточные числа ступеней редуктора отношению соответствующих чисел зубьев:
3 3
5 2
4 4
23 34 45 2
3 3
4 4
5
;
;
z
z
z
j
j
j
z
z
z
ω
ω
ω
=
=
=
=
=
=
ω
ω
ω
, (1.25)
Моменты инерции на рис. 1.5, а соответствуют индексам пяти осей враще- ния, относительно которых они определены. Для приведения этих значений к оси двигателя 1 нужно воспользоваться выражениями (1.16). Тогда
2 3
4 5
1 1
д ш1 2
3 4
5 2
2 2
2 12 13 14 15
;
;
;
;
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
j
j
j
j
′
′
′
′
′
=
=
+
=
=
=
=
, (1.26) где: д
J и ш1
J – моменты инерции ротора двигателя и шкива ременной передачи на его ва- лу;
13 12 23 14 12 23 34 15 12 23 34 45
;
;
j
j j
j
j j j
j
j j j j
=
=
=
– передаточные числа к валу двигателя.
Момент инерции груза, приведённый к валу двигателя, в соответствии с
(1.18) равен:
2 1
G
G v
J
g
⎛
⎞
′ = ⎜ ⎟
ω
⎝
⎠
. (1.27)
Приведённый момент инерции жёстко связанных звеньев, расположенных между упругими связями, образуемыми ременной передачей и тросом лебёдки равен
25 2
3 4
5
J
J
J
J
J
′
′
′
′
′
=
+ +
+ . (1.26)
Рис. 1.5.

15
Угол деформации ремней передачи равен углу поворота шкива на валу двигателя, поэтому коэффициент приведения жёсткости этой связи равен еди- нице, т.е.
1 1
c
c
′ = . Жёсткость троса лебёдки приводится к валу двигателя в соот- ветствии с выражением (1.23)
2 2
2 15 2
D
c
c
j
⎛
⎞
′ = ⎜
⎟
⎝
⎠
. (1.27)
Определим теперь статический момент, приведённый к валу двигателя. На первый вал (вал двигателя) при вращении действует момент трения в опорах, о воздух и на шкиве ременной передачи
1
c
M .
На стальные валы действуют моменты трения в опорах и в связях, которые можно привести к валу двигателя в соответствии с (1.5):
2 3
4 5
2 3
4 5
12 12 13 13 14 14 15 15
;
;
;
c
c
c
c
c
c
c
c
M
M
M
M
M
M
M
M
j
j
j
j
′
′
′
′
=
=
=
=
η
η
η
η
, где
12
η – КПД ременной передачи;
23 34 45
,
,
η η η – КПД зубчатых передач. Отсю- да приведённый статический момент, создаваемый жёстко соединёнными звеньями
25 2
3 4
5
c
c
c
c
c
M
M
M
M
M
′
′
′
′
′
=
+
+
+
. (1.28)
Усилие, создаваемое грузом на тросе лебёдки, приводится к валу двигателя в соответствии с выражением (1.8)
1 1б
cG
v
M
G
′ =
ω η
, (1.29) где
1б
η – КПД барабана лебёдки, учитывающий потери при наматыва- нии/сматывании троса.
Таким образом, с помощью выражений (1.24
…1.29) можно определить па- раметры расчётной кинематической схемы на рис. 1.5, б.
1.1.5. Экспериментальное определение моментов инерции
Значения моментов инерции роторов электродвигателей обычно приводят в спра- вочных данных. При отсутствии этой инфор- мации момент инерции можно определить экспериментально методом крутильных коле- баний, маятниковых колебаний, методом па- дающего груза и др.
При использовании метода крутильных
колебаний
ротор двигателя подвешивают за конец вала на тонкой жёсткой проволоке (рис.
1.4). Затем его закручивают из положения рав- новесия на некоторый угол и после отпускания подсчитывают число n полных колебаний за
Рис. 1.4.

16
возможно больший промежуток времени t. При малом затухании период коле- баний равен:
2
t
J
T
n
k
= = π
, где k – полярный момент кручения проволоки, равный моменту, необходимому для её закручивания на один радиан. Если k известно, то момент инерции рото- ра
2 2
4
T
J
k
=
π
Значение k можно определить по размерам проволоки:
4 2
Er
k
l
π
=
, где E – модуль кручения для материала проволоки, а r и l – радиус и длина.
Можно определить значение k также экспериментально, если измерить мо- мент M при закручивании проволоки на угол
α. Тогда
/
k M
=
α .
Проще определить момент инерции по методу крутильных колебаний на основании двух опытов. Вначале измерить период колебаний
1
T
по описанной методике, а затем закрепить на роторе какое-либо тело с известным моментом инерции J
+
(например, диск, как показано на рис. 1.4, б) и снова измерить пе- риод
2
T
. Тогда искомый момент инерции J определится как:
2 1
2 2
2 1
T
J
J
T
T
+
=
−
В
методе маятниковых колебаний
ротор прикрепляют к отрезку угловой стали так, чтобы вершину уголка можно было использовать в качестве опоры- призмы, относительно которой совершаются колебания. Оба конца уголка ук- ладывают на плоские горизонтальные металлические опоры (рис. 1.5).
Ротор выводят из положения равновесия и измеряют период колебаний
T
. Если момент инерции уголка пренебрежимо мал, то момент инерции ротора относительно оси колебаний можно определить как
2 2
4
a
GaT
J
≈
π
, где
G
– вес ротора;
a
– расстояние от точки опоры до оси ротора (практически радиус ротора).
Для определения момента инерции ротора относительно его собственной оси нужно найти квадрат радиуса инерции
2 2
2 4
aT
g
ρ =
π
,
Рис. 1.5.

17
где g – ускорение свободного падения, а затем квадрат радиуса инерции отно- сительно собственной оси
2 2
2 0
a
ρ = ρ −
Тогда искомый момент инерции ротора будет равен
(
)
2 2
2 2
2 4
G
aT
a
J
a
G
g
g
⎛
⎞
=
ρ −
=
−
⎜
⎟
π
⎝
⎠
Недостатками описанных выше методов является необходимость разборки двигателя.
Метод падающе-
го груза
позволяет определить момент инерции ротора двигателя в сборе.
На конец вала или на шкив радиусом
r
наматы- вают нить с закреплённым на конце грузом весом
G
(рис. 1.6). Затем груз отпускают и измеряют время
t
и высоту падения
h
Момент инерции вычисляется по формуле
2 2
1 2
G
gt
J
r
g
h
⎛
⎞
=
−
⎜
⎟
⎝
⎠
1.1.6. Механизмы с переменными статическими моментами и
инерционными свойствами
В рассмотренных выше механизмах предполагалось, что статические моменты, массы, радиусы инерции и жё- сткости связей являются постоянными величинами. Одна- ко на практике очень часто встречаются машины, у кото- рых в процессе работы значения этих величин изменяют- ся, а также машины, у которых изменяются передаточные числа и радиусы приведения.
Пример такого механизма показан на рис. 1.7. Здесь листовой материал или кабель сматывается с барабана с постоянной линейной скоростью
v
. При этом масса движущегося поступательного материала увели- чивается пропорционально скорости движения и времени п
m
pvt
=
, где p – удельная масса, а масса вращающегося материала пропорционально уменьша- ется в
п
m
m m
= −
. При этом происходит уменьшение радиуса намотанного мате- риала ( )
0
R t
→
и увеличение угловой скорости барабана ( )
/ ( )
t
v R t
ω =
→ ∞
Следовательно, момент инерции барабана
[
]
2
в в
( ) ( ) / 2
J
m t R t
=
уменьшается, как за счёт уменьшения массы материала, так и за счёт уменьшения радиуса инер- ции. В то же время приведённый к валу барабана момент инерции движущегося поступательно материала увеличивается
[
]
[ ]
2 2
п п
п
( ) / ( )
( ) ( )
J
m t v
t
m t r t
=
ω
=
за счёт увеличения массы и радиуса приведения.
Рис. 1.6.
Рис. 1.7.

18
Другим часто встречающимся механизмом, приводимым в движение элек- тродвигателями, является кривошипно-шатунный механизм, кинематическая схема которого показана на рис. 1.8,
а
Определим координаты движения ползуна при постоянной угловой скоро- сти вращения кривошипа.
Полный ход ползуна равен 2
R
. Исходные уравнения для определения его перемещения
s
можно получить из рисунка: cos cos ;
;
sin sin
x
x
y
A
R
L
s R L A
B
R
L
=
ϕ +
β
= + −
=
ϕ =
β
(1.30) где
x
A
и
y
B
– координаты точек
A
и
B
по осям
x
и
y
соответственно.
Обозначив отношение длины кри- вошипа к длине шатуна как /
R L
= λ
, найдём из третьего равенства в (1.30)
2
cos
1 ( sin )
β =
− λ
ϕ
и подставим это выражение в первое уравнение. Тогда перемещение ползуна получим в виде:
2 2
1 1
1
cos
1
sin
s R
⎡
⎤
⎛
⎞
=
+ −
ϕ +
− λ
ϕ
⎜
⎟
⎢
⎥
λ
λ
⎝
⎠
⎣
⎦
(1.31)
Обычно отношение
λ находится в пределах 1/ 3 1/12
> λ >
. В этом случае, не превышая 5% погрешности, выраже- ние (1.31) можно упростить
( )
1
cos cos 2 4
4
s
R
λ
λ
⎡
⎤
ϕ =
+ −
ϕ −
ϕ
⎢
⎥
⎣
⎦
(1.32)
Из (1.32) следует, что четверть пе- риода поворота кривошипа не соответ- ствует половине пути перемещения пол- зуна, т.к. при / 2
ϕ = π
/ 2
(1
/ 2)
s R
R
ϕ = π → =
+ λ
> , т.е. за пер- вую четверть оборота вала кривошипа перемещение ползуна больше, чем за вторую четверть.
Скорость движения ползуна легко найти дифференцированием выражения (1.32) с учётом того, что
/
d
dt
ω = ϕ
–
( )
sin sin 2 2
ds
d
ds
v
R
dt
dt d
ϕ
λ
⎛
⎞
ϕ =
=
⋅
= ω
ϕ +
ϕ
⎜
⎟
ϕ
⎝
⎠
. (1.33)
Рис. 1.8.