Файл: Электрический привод.pdf

27
теля M и значениям
c
M и J
Σ
достоверно оценить ускорение и время переход- ных процессов привода, а также решить многие практические задачи даже в тех случаях, когда влияние упругих связей существенно.
Однако уравнение (1.42) справедливо только при условии постоянства ма- ховых масс const
J
Σ
=
. Рассмотрим, например, кривошипно-шатунный меха- низм из раздела 1.1.6. Пренебрегая массой шатуна, кинетическую энергию сис- темы можно представить как
2 2
2 2
2 2
1 1
к
( )
( )
2 2
2 2
2
J
mv
J
mr
W
J
Σ
ω
ω
ϕ ω
ω
=
+
=
+
=
ϕ
, (1.43) где:
1
J – момент инерции кривошипа и ротора двигателя; m – масса ползуна;
( )
r
ϕ – радиус приведения к валу кривошипа (см. выражение (1.34);
2 1
( )
( )
J
J
mr
Σ
ϕ =
+
ϕ – суммарный приведённый момент инерции.
Приведённый статический момент, создаваемый ползуном, также является функцией угла поворота кривошипа
ϕ –
[
]
2
( )
( ) ( )
c
c
M
F
F s r
′ ϕ =
+
ϕ где:
c
F и ( )
F s – сила трения и рабочее усилие, действующее на ползун (пор- шень). Отсюда момент статической нагрузки на валу кривошипа
1 2
( )
( )
c
c
c
M
M
M ′
ϕ =
+
ϕ
Выберем в качестве обобщённой координаты угол
ϕ и составим уравнение
Лагранжа к
к
( )
c
W
W
d
M
dt
∂
∂
⎛
⎞ −
=
ϕ
⎜
⎟
∂ω
∂ϕ
⎝
⎠
Левая часть этого уравнения с учётом (1.43) и того, что
/
d
dt
ϕ
= ω
, преоб- разуется к виду:
[
]
2 2
2 2
2
( )
( )
( )
( )
( )
2 2
( )
( )
( )
( )
( )
2 2
d
dJ
d
dJ
d d
dJ
J
J
dt
d
dt
dt
d dt
d
d
dJ
dJ
d
dJ
J
J
dt
d
d
dt
d
Σ
Σ
Σ
Σ
Σ
Σ
Σ
Σ
Σ
Σ
⎡
⎤
ϕ ω
ω
ϕ ϕ ϕ
ϕ ω
ϕ ω −
=
ϕ
+
−
=
⎢
⎥
ϕ
ϕ
ϕ
⎣
⎦
ω
ϕ
ϕ ω
ω
ϕ ω
=
ϕ
+
ω −
=
ϕ
+
ϕ
ϕ
ϕ
Отсюда уравнение движения привода кривошипно-шатунного механизма
2
( )
( )
( )
2
c
d
dJ
M M
J
dt
d
Σ
Σ
ω
ϕ ω
−
ϕ =
ϕ
+
ϕ
(1.44)
Сопоставляя уравнения (1.42) и (1.44), нетрудно заметить, что при наличии нелинейных связей уравнение движения электропривода существенно услож- няется. Оно становится нелинейным дифференциальным уравнением с пере- менными коэффициентами, решение которого возможно только численными методами. В правую часть уравнения входит периодическая функция
( )
J
Σ
ϕ
Она соответствует кажущемуся изменению маховой массы на валу кривошипа, вызванному изменением геометрии передаточного устройства.

28
При работе различных механизмов изменение момента инерции может быть вполне реальным. Оно может происходить за счёт изменения массы дви- жущихся тел, например, в приводе подъёмного крана, перемещающего различ- ные грузы. В этом случае приведённый момент инерции на валу двигателя бу- дет независимой от угла поворота вала двигателя функцией времени ( )
J t
Σ
и ле- вая часть уравнения Лагранжа примет вид
[
]
( )
( )
( )
d
d
dJ t
J t
J t
dt
dt
dt
Σ
Σ
Σ
ω
ω =
+ ω
, а уравнение движения электропривода –
( )
( )
( )
c
dJ t
d
M<

1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   20

29
можно ограничиться только рассмотрением механических процессов в приводе, достаточно исследовать лишь статическую устойчивость.
В приводе с жёсткими связями установившийся режим соответствует ус- ловиям
/
0
d
dt
ω
= и д
const
c
M
M
=
=
. При нарушении состояния равновесия движение привода описывается уравнением д
c
d
M
M
J
dt
Σ
ω
−
=
(1.46)
Рассмотрим простейший случай, когда статический момент является функцией скорости вращения. Пусть в результате возмущения моменты и ско- рость получили некоторые малые приращения д
c
,
M
M
Δ
Δ
и
Δω, т.е. д
0
д c
0
c
;
M
M
M M
M
M
=
+ Δ
=
+ Δ
и
0
ω = ω + Δω , где:
0 0
д c
д c
;
;
tg ;
tg .
M
a
M
b
dM
dM
a
b
d
d
ω=ω
ω=ω
Δ
= ⋅ Δω Δ
= ⋅ Δω
=
= α =
= β
ω
ω
Подставляя эти выражения в (1.46), получим уравнение движения в при- ращениях
d
a
b
J
dt
Σ
Δω
⋅ Δω − ⋅ Δω =
, (1.47)
Интегрируя (1.47), найдём:
0
a b
t
J
e
Σ
−
Δω = Δω
, (1.48) где
0
Δω
– начальное отклонение скорости при нарушении равновесия.
Привод будет работать устойчиво, если
0
t
→∞
Δω ⎯⎯⎯
→ . Для экспоненты
(1.48) это равносильно условию
0 0
д c
0
tg tg
dM
dM
a b
d
d
ω=ω
ω=ω
− < ⇔ α < β ⇔
<
ω
ω
(1.49)
Следовательно, для обеспечения статической устойчивости привода необходимо, чтобы в точ-
ке равновесия жёсткость механической харак-
теристики двигателя была меньше жёсткости
механической характеристики нагрузки.
Из условия (1.49) следует, что устойчивая работа привода на холостом ходу (
0
c
M
=
) или при статической нагрузке вида const
c
M
=
воз- можна только, если
0
д
0
dM
d
ω=ω
<
ω
, т.е. если двига- тель обладает падающей механической характеристикой, т.к. жёсткость меха- нической характеристики нагрузки в этих случаях равна нулю. Это подтвер-
Рис. 1.16.

30
ждается и на практике. Например, двигатели постоянного тока независимого возбуждения с сильной реакцией якоря имеют восходящую механическую ха- рактеристику и не могут устойчиво ра- ботать на холостом ходу и при малых нагрузках.
На рис. 1.17 показаны варианты ра- бочих точек привода при устойчивой и неустойчивой работе.
Вопрос статической устойчивости имеет существенное значение для асин- хронных короткозамкнутых двигателей
(АД), т.к. при скольжениях больше кри- тического их механическая характеристика имеет положительную жёсткость.
Поэтому устойчивая работа на этом участке возможна только с определённой нагрузкой, механическая характеристика которой соответствует условию (1.49).
На рис. 1.18, а показана механическая характеристика АД и несколько видов ха- рактеристик нагрузки. При статической на- грузке с постоянным моментом, превы- шающим величину пускового момента АД, в приводе существую две точки статическо- го равновесия – a и b. Точка a располагает- ся на участке с отрицательной жёсткостью, поэтому для неё условие устойчивости вы- полняется, а для точки b нет, т.к. жёсткость характеристики АД здесь положительна, а жесткость характеристики нагрузки равна нулю. Поэтому участок характеристики от точки холостого хода до точки опрокиды- вания называется участком устойчивой ра- боты или рабочим участком.
Однако определение рабочего участка по признаку устойчивости некорректно, т.к. в случае вентиляторной нагрузки с боль- шим коэффициентом k рабочая точка d рас- полагается ниже точки опрокидывания, но она является статически устойчивой, в чём легко убедиться по углам наклона каса- тельных
α и β. Статически устойчива и точка c, соответствующая вентиляторной нагрузке с малым значением k и на- ходящаяся на участке со скольжением кр
s s
<
Рис. 1.17.
Рис. 1.18.

31
Таким образом, привод вентилятора с асинхронным короткозамкнутым двигателем всегда статически устойчив. Но работа при скольжениях кр
s s
>
не- возможна безотносительно проблемы устойчивости, т.к. при этом чрезвычайно велика мощность скольжения и трудно или вообще невозможно обеспечить нормальный тепловой режим двигателя. Тем не менее, задача устойчивой рабо- ты при скольжениях кр
s s
>
возникает в лабораторных экспериментах. В этом случае в качестве нагрузки можно использовать машину постоянного тока не- зависимого возбуждения, работающую в генераторном режиме с питанием це- пи якоря от реверсивного источника постоянного тока. В этом случае характе- ристику генератора можно смещать параллельно, сохраняя её жёсткость и обеспечивая при этом большую разность углов
α и β, т.е. обеспечивая большой запас устойчивости (рис. 1.18, б).
Обычно механическая характеристика исполнительного механизма извест- на. Поэтому при проектировании электропривода необходимо подбирать двига- тель с механической характеристикой, обеспечивающей устойчивость в устано- вившемся режиме во всём диапазоне возможных нагрузок.
2. Статические характеристики электродвигателей и
приводов
Электропривод должен обеспечивать оптимальное протекание как стати- ческих (установившихся) процессов, так и переходных режимов пуска, тормо- жения, реверсирования, приема и сброса нагрузки. Протекание этих процессов в первую очередь определяется характером зависимости скорости вращения двигателя от развиваемого им момента, т.е. механической характеристикой
( )
f M
ω =
или ( )
n
f M
=
Механические характеристики определяют свойства двигателя и являются одним из основных критериев при выборе типа электродвигателя для исполни- тельного механизма.
Кроме механических характеристик большое значение имеют также элек- тромеханические или скоростные характеристики. Они представляют собой за- висимость скорости вращения от потребляемого тока ( )
f I
ω =
Различают естественные и искусственные характеристики двигателя. Ес-
тественной называется характеристика, полученная при номинальных пара- метрах питающей сети, нормальной схеме включения и отсутствии внешних элементов в электрических цепях двигателя.
В тех случаях, когда естественные характеристики двигателей не могут обеспечить требуемых режимов работы исполнительного механизма, прихо- дится создавать искусственные характеристики за счёт изменения параметров питающей сети и/или включения в электрические цепи дополнительных эле- ментов, т.е. искусственными являются все характеристики, полученные в усло- виях, отличающихся от номинальных.

32
Одним из важнейших свойств механических характеристик является их
жёсткость, т.е. степень изменения скорости вращения при изменении момента нагрузки. Она определяется как отношение разности электромагнитных момен- тов в двух статических режимах к соответствующей разности угловых скоро- стей двигателя
2 1
2 1
M
M
M
h
−
Δ
=
=
ω − ω
Δω
. (2.1)
Линейные механические характеристики обладают постоянной жёстко- стью. Для нелинейных характеристик жёсткость определяется в каждой точке как производная электромагнитного момента по угловой скорости
M
h
∂
=
∂ω
. (2.2)
Понятие жёсткости можно применить и к механическим характеристикам исполнительных механизмов
c
c
M
h
∂
=
∂ω
Механические характеристики можно разделить на четыре основные категории:
1. Абсолютно жёсткая характеристика ( h
= ∞ ) – скорость двигателя остаётся постоянной независимо от момента. Такую характеристику имеют, например, син- хронные двигатели (рис.2.1, 1).
2. Жёсткая характеристика – скорость двигателя слабо изменяется при изменении момента. Жёсткой ха- рактеристикой обладают двигатели постоянного тока независимого возбуждения и асинхронные двигатели на рабочем участке меха- нической характеристики (рис.2.1, 2).
3. Мягкая характеристика – скорость двигателя значительно изменяется при изменении момента. Такой характеристикой обладают двигатели постоян- ного тока последовательного возбуждения. При этом жёсткость их характери- стики различна в разных точках (рис.2.1, 3).
4. Абсолютно мягкая характеристика (
0
h
= ) – момент двигателя остаётся постоянным независимо от скорости вращения. Такую характеристику имеют, например, двигатели постоянного тока независимого возбуждения при питании якоря от источника тока (рис.2.1, 4).
Традиционно скорость двигателя указывается в об/мин и, соответственно, механические характеристики представляются как зависимости ( )
n
f M
=
. Од- нако при расчётах это требует использования внесистемных единиц и неудоб- ных коэффициентов, поэтому в дальнейшем мы будем использовать только ха- рактеристики, в которых угловая скорость
ω измеряется в рад/с.
Рис. 2.1.

33
2.1. Относительные единицы
При различных расчётах электроприводов часто возникает необходимость сравнения и оценки вариантов решения с различными двигателями, отличаю- щимися по своим номинальным данным. Непосредственное сравнение не по- зволяет, например, сделать заключение об условиях пуска привода с двигате- лями, рассчитанными на разное напряжение питания. Невозможно также оце- нить нагрузку на регулировочную аппаратуру. Для устранения неопределённо- сти в подобных ситуациях целесообразно проводить расчёты не в абсолютных, а в относительных безразмерных единицах.
Для выражения какой-либо величины в относительных единицах необхо- димо её абсолютное значение соотнести с аналогичной величиной, принятой за базовую.
Выбор базовых величин может быть произвольным, но обычно использу- ются следующие: б
U
– номинальное напряжение якоря для двигателей постоянного тока и номинальное напряжение на фазной обмотке для машин переменного тока; б
I – номинальный ток якоря для двигателей постоянного тока и номиналь- ный фазный ток для машин переменного тока; б
б б
/
r
U I
=
– базовое сопротивление; б
M – базовый момент, в качестве которого принимается номинальный или пусковой момент; б
ω
– базовая скорость вращения, в качестве которой для двигателей пере- менного тока принимается синхронная скорость
0
ω , для двигателей постоянного тока независимого возбуждения скорость идеального холостого хода
0
ω , а для двигателей постоянного тока последова- тельного возбуждения номинальная скорость вращения ном
ω
Таким образом, основные величины в относительных единицах будут рав- ны б
б б
б
;
;
;
U
I
M
U
I
M
ω
υ =
ι =
μ =
υ =
ω
. (2.3)
Скольжение асинхронного двигателя также можно выразить через относи- тельную скорость
0 0
1
s
ω − ω
=
= −υ
ω
. (2.4)
В машинах переменного тока базовое сопротивление является полным со- противлением б
б б
/
z
U I
=
, и к нему приводятся как активные, так и реактивные сопротивления б
б
;
r
x
z
z
ρ =
χ =
. (2.5)