Файл: Электрический привод.pdf

19
Отсюда радиус приведения к валу кривошипа
( )
( )
sin sin 2 2
v
r
R
ϕ
λ
⎛
⎞
ϕ =
=
ϕ +
ϕ
⎜
⎟
ω
⎝
⎠
. (1.34)
На рис. 1.8, б и в показаны в относительных единицах кривые изменения перемещения и скорости ползуна в зависимости от положения кривошипа.
Таким образом, статическое усилие, действующее на ползун (поршень), и его масса приводятся к валу кривошипа посредством сложной нелинейной функции от угла поворота. Ещё более сложными функциями описывается дви- жение шатуна. На рис. 1.8, а штрихпунктирной линией показана траектория движения его центра массы (точка c). Поэтому в упрощённых расчётах массой шатуна обычно пренебрегают.

20
1-й класс
включает рабочие машины, у которых статический момент оста-
ётся практически постоянным (
const
c
M
=
). По характеру взаимодействия с электроприводом силы и моменты этого класса делятся на активные или по-
тенциальные и реактивные.
Активными называются силы и моменты, создаваемые внешними по от- ношению к приводу источниками энергии и независящие от его движения. На рис. 1.9 показаны примеры таких нагрузок, создаваемые неуравновешенным
(рис. 1.9, а) и уравновешенным (рис. 1.9, б) подъёмным механизмом. Нагрузоч- ный момент здесь создаётся силой тяжести груза и не зависит от направления и скорости движения. Для первого механизма он равен const
c
M
GR mgR
=
=
=
, где: G – вес груза, m – его масса, а g – ускорение свободного падения. Механи- ческая характеристика представляет собой прямую линию, параллельную оси ординат.
В уравновешенном подъёмном механизме на вал действуют разнонаправ- ленные моменты двух грузов, а результирующий момент равен их алгебраиче- ской сумме. Принимая положительным момент нагрузки, действующий в на- правлении движения часовой стрелки, результирующий момент можно опреде- лить как
2 1
2 1
2 1
2 1
(
)
(
)
const
c
M
M
M
G R G R
G
G R
m
m gR
=
−
=
−
=
−
=
−
=
Если вес первого груза больше, чем вес второго, то на вал привода будет действовать положительный момент нагрузки
1 0
c
M
> . В противном случае момент нагрузки бу- дут отрицательным
2 0
c
M
<
, а при равном весе грузом статиче- ский момент нагрузки будет нулевым.
Реактивными на- зываются силы и мо- менты, возникающие как реакция на актив- ные воздействия. Эти нагрузки всегда действуют в направлении, противоположном движению элек- тропривода, т.е. изменяют своё направлении при изменении знака скорости.
Силы и моменты сухого трения не зависят от величины скорости и скач- ком изменяют знак при изменении её направления sign
c
c
M
M
=
ω .
На рис. 1.10, а показана механическая характеристика нагрузки типа сухо- го трения. В реальных устройствах обычно коэффициент трения покоя больше коэффициента трения движения. Поэтому в начале движения момент сопротив-
Рис. 1.10.

21
ления больше и механическая характеристика вблизи нулевой скорости имеет импульсное возмущение, показанное на рис. 1.10, а штриховой линией.
Реактивная нагрузка может быть несимметричной, т.е. момент нагрузки может быть разным при движении в различных направлениях. Например, мо- мент, создаваемый на валу шпинделя токарного станка при обработке детали резцом (рис. 1.10, б) –
(1 sign ) / 2
c
M
F R
=
+
ω
При изменении направления вращения резец не касается детали, и момент нагрузки привода спадает до нуля.
2-й класс
охватывает рабочие машины, статический момент которых зави- сит от скорости
( )
c
M
f
=
ω
. Эта зависимость может быть выражена различно. В некоторых механизмах увеличение статического момента при возрастании ско- рости проявляется очень слабо, в других, напротив, момент возрастает очень резко. Тем не менее, все эти механизмы относятся к одному классу, т.к. мето- дика анализа процессов для них одинакова.
Простейшей функцией от скорости вращения является линейная зависи- мость, называемая моментом вязкого трения (рис. 1.11, а):
c
M
k
= ω, где const
k
=
– коэффициент вязкости.
В электроприводе нагрузка типа вязкого трения встречается либо в виде линейной составляющей нагрузки типа сухого трения (рис. 1.11, в), либо как проявление сил внутреннего вязкого трения, связанных с деформацией упругих элементов, а также асинхронных моментов в машинах постоянного тока.
Распространёнными на практике являются нагрузки, нелинейно зависящие от ско- рости вращения
n
c
M
k
= ω , где
2
n
≥ .
При
2
n
= нагрузка назы- вается вентиляторной (рис.
1.11, б). Механическими ха- рактеристиками такого вида обладают машины, основан- ные на центробежном прин- ципе. Это центробежные вен- тиляторы, насосы, компрессо- ры. Более высокие показатели степени у механических ха- рактеристик гребных винтов и других механизмов, работаю- щих в условиях преодоления сопротивления газовой или жидкой среды.
Рис. 1.11.

22
Строго говоря, механических характеристик механизмов, проходящих че- рез начало координат не существует, т.к. во всех устройствах кроме моментов, зависящих от скорости вращения, действуют силы и моменты трения. Поэтому общим выражением для механической характеристики нагрузки 2-го класса яв- ляется функция
0
( )
n
c
M
M
f
=
+
ω , где
0
M – момент сухого трения, а ( )
n
f
ω – некоторая функциональная зависи- мость от скорости вращения
ω при
1
n
≥ . На рис. 1.11, г в качестве примера по- казана вентиляторная механическая характеристика с учётом трения в опорах.
3-й класс
охватывает рабочие машины, статический момент которых зави- сит от пути, т.е. от угла поворота ротора электродвигателя
( )
c
M
f
=
ϕ
. К этому типу относятся, прежде всего, рычажные, кулисные и кулачковые механизмы, как, например, различные поршневые машины, ножницы для резки металла, прессы, кантователи и др. Сюда относятся также подъёмники без уравновеши- вающего каната, в которых статический момент изменяется за счёт изменения длины и, соответственно, веса каната.
4-й класс
включает в себя машины, статический момент которых зависит одновременно от скорости и от пути ( , )
c
M
f
=
ω ϕ . Типичным примером таких машин является электротранспорт, нагрузка которого в статическом режиме кроме сухого трения в опорах и о рельсы, а также сопротивления воздуха, из- меняющегося с изменением скорости движения, зависит также от уклона и кри- визны пути. Такой же характер нагрузки у привода рулевого устройства.
5-й класс
охватывает механизмы, статический момент которых является функцией времени ( )
c
M
f t
=
. К этому классу, прежде всего, относятся меха- низмы, работающие под воздействием силы, изменяющейся во времени по пе- риодическому закону, а также механизмы, в которых нагрузка имеет случайный характер. К рабочим машинам со случайным характером нагрузки относятся механизмы дробления и измельчения различных материалов (глиномялки, кам- недробилки, шаровые мельницы и др.).
1.3. Уравнения движения электропривода
Динамические процессы в приводе при постоянных параметрах кинемати- ческой цепи можно описать с помощью второго закона Ньютона для каждого тела, входящего в эту цепь. В случае трёхмассовой системы тел (рис. 1.1, а) на каждое из них действуют статические моменты сопротивления, моменты вязко- го трения и упругих сил, вызванные деформацией гибких связей, а также дина- мические моменты. Кроме того на первое тело действует вращающий момент двигателя. В форме Коши эта система уравнений имеет вид:

23 1
12 1
2 12 1
2 1
1 2
12 1
2 12 1
2 23 2
3 23 2
3 2
2 3
23 2
3 23 2
3 3
3
(
)
(
)
;
(
)
(
)
(
)
(
)
;
(
)
(
)
;
c
c
c
d
M
b
c
M
J
dt
d
b
c
b
c
M
J
dt
d
b
c
M
J
dt
ω ⎫
−
ω − ω −
ϕ − ϕ −
=
⎪
⎪
ω ⎪
ω − ω +
ϕ − ϕ −
ω − ω −
ϕ − ϕ −
=
⎬
⎪
ω ⎪
ω − ω +
ϕ − ϕ −
=
⎪⎭
(1.35)
*
где
p
p
dt
ϕ = ω
∫
– угловое положение p-го тела;
p
ω – угловая скорость p-го тела;
M – вращающий момент двигателя; (
)
pq
p
q
v pq
b
M
ω − ω =
– момент вязкого тре- ния связи между телами p и q;
(
)
(
)
pq
p
q
pq
p
q
e pq
c
c
dt M
ϕ − ϕ =
ω − ω
=
∫
– момент упругих сил связи между телами p и q;
c p
M – момент сопротивления, дейст- вующий на тело p.
На рис. 1.12, а показана структурная схема, соответствующая системе уравнений (1.35) в операторной форме, а на рис. 1.12, б структурная схема для случая пренебрежимо малых моментов вязкого трения (
12 23 0
b
b
=
= ), соответст- вующая операторным уравнениям
12 1
12 2
1 1
1 12 1 12 2
23 2
23 3
2 2
2 23 2
23 3
3 3
3
/
/
;
/
/
/
/
;
/
/
c
c
c
M c
p c
p M
J p
c
p c
p c
p c
p M
J p
c
p c
p M
J p
− ω
+ ω
−
=
ω ⎫
⎪
ω
− ω
− ω
+ ω
−
=
ω ⎬
⎪
ω
− ω
−
=
ω ⎭
(1.36)
Уравнения (1.36) позволяют проанализировать динамические особенности механической части электропривода. Электромагнитный момент двигателя M является управляющим воздействием системы на рис. 1.12, б, а статические моменты
1 2
,
c
c
M
M и
3
c
M – возмущающими воздействиями. Из (1.36) можно
*
здесь и далее в разделе в математических выражениях опущены апострофы, означающие приведённые вели- чины, т.к. рассматривается только кинематическая цепь с приведёнными параметрами.
Рис. 1.12.

24
найти операторное уравнение динамической механической характеристики первой массы
(
)
(
)
(
)
(
)
{
}
1 4
2 3 23 2
3 12 3 12 23 4
2 1 2 3 1 23 2
3 3 12 1
2 12 23 1
2 3
( )
( ) ( )
( )
p
W p M p
J J p
c
J
J
c J
c c
M p
p J J J p
J c
J
J
J c
J
J
p
c c
J
J
J
ω
=
=
⎡
⎤
+
+
+
+
⎣
⎦
⎡
⎤
+
+
+
+
+
+
+
⎣
⎦
(1.37)
Характеристическое уравнение для функции (1.37) имеет вид
(
)
(
)
(
)
4 3 12 1
2 1 23 2
3 2
12 23 1
2 3
1 2 3 1 2 3 0
J c
J
J
J c
J
J
c c
J
J
J
p p
p
J J J
J J J
⎡
⎤
+
+
+
+
+
+
+
=
⎢
⎥
⎣
⎦
Корнями этого уравнения являются
1 2,3 4,5 2
2 4
4 0;
1 1
;
1 1
2 2
a
b
a
b
p
p
j
p
j
a
a
⎛
⎞
⎛
⎞
=
= ±
−
−
= ±
+
−
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
, (1.38) где
(
)
(
)
(
)
3 12 1
2 1 23 2
3 12 23 1
2 3
1 2 3 1 2 3
;
J c
J
J
J c
J
J
c c
J
J
J
a
b
J J J
J J J
+
+
+
+
+
=
=
При всех реальных сочетаниях параметров подкоренные выражения в
(1.38) представляют собой действительные положительные числа, поэтому кор- ни уравнения можно представить как
1 2,3 1
4,5 2
0;
;
p
p
j
p
j
=
= ± Ω
= ± Ω
. Отсюда следует, что при скачкообразном изменении электромагнитного момента M в системе возникают незатухающие колебания с частотами
1
Ω и
2
Ω . На самом деле колебания будут затухающими, т.к. рассмотренное характеристическое уравнение соответствует системе уравнений (1.36), в которой отсутствуют мо- менты вязкого трения, демпфирующие колебания.
Рис. 1.13.

25
Уравнения для двухмассовой упругой системы можно получить из (1.35), полагая
2 3
2 3
ϕ = ϕ ⇒ ω = ω и присоединив маховую массу третьего тела ко вто- рому. Тогда уравнения движения в форме Коши примут вид:
1 12 1
2 12 1
2 1
1 2
12 1
2 12 1
2 2
2
(
)
(
)
;
(
)
(
)
,
c
c
d
M
b
c
M
J
dt
d
b
c
M
J
dt
ω ⎫
−
ω − ω −
ϕ − ϕ −
=
⎪⎪
⎬
ω ⎪
ω − ω +
ϕ − ϕ −
=
⎪⎭
(1.39) а в операторной форме –
12 1
2 12 1
2 1
1 1
12 1
2 12 1
2 2
2 2
(
)
(
) /
;
(
)
(
) /
c
c
M
b
c
p M
J p
b
c
p M
J p
−
ω − ω −
ϕ − ϕ
−
=
ω ⎫
⎬
ω − ω +
ϕ − ϕ
−
=
ω ⎭
Структурные схемы, соответствующие этой системе уравнений с учётом и без учёта вязкого трения, показаны на рис. 1.13, а и б.
Для исследования основных свойств двухмассовой системы исключим возмущающие воздействия, полагая
1 2
0
c
c
M
M
=
= , и демпфирующий момент вязкого трения (
12 0
b
= ), а затем выполним эквивалентные преобразования структурной схемы, как это показано на рис. 1.13, в-ж. В результате мы полу- чим операторное уравнение динамической механической характеристики пер- вой и второй массы в виде
1 1
1 2 2
2 12 1
2 1 2 12 2
2 1 2 12 1
( )
( )
( )
( );
1 1
( )
( )
( )
( )
( )
1
J
p
c
p
W
p M p
M p
J J
J p
p
c J
p
W
p W
p M p
M p
J J
J p
p
c J
ω
Σ
Σ
ω
ω ω
Σ
Σ
+
ω
=
⋅
=
⎡
⎤
+
⎢
⎥
⎣
⎦
ω
=
⋅
⋅
=
⎡
⎤
+
⎢
⎥
⎣
⎦
. (1.40)
После этого из характеристического уравнения
2 1 2 12 1
0
J J
J p
p
c J
Σ
Σ
⎡
⎤
+ =
⎢
⎥
⎣
⎦
найдём корни
12 1
2,3 12 1 2 0;
c J
p
p
j
j
J J
Σ
=
= ±
= ± Ω , (1.41) где
1 2
J
J
J
Σ
=
+ .
Таким образом, в двухмассовой системе при скачках момента двигателя возбуждаются колебания с частотой
12
Ω . Если эта частота близка к одной из частот трёхмассовой системы, т.е.
12 1
12 2
Ω ≈ Ω ∨Ω ≈ Ω , то можно считать, что преобразование трёхмассовой системы к двухмассовой выполнено корректно и динамические свойства преобразованной системы хорошо отражают свойства исходной. Эти колебания вследствие исключения из исходных уравнений

26
демпфирующего момента также как в трёх- массовой системе будут теоретически неза- тухающими.
Для анализа свойств двухмассовой системы тел введём следующие параметры:
1
/
J J
Σ
γ =
– соотношение масс;
12 12 12 1 2 2
c J
c
J J
J
Σ
γ
Ω =
=
– резонансная частота системы;
02 12 2
12
/
/
c
J
Ω =
= Ω
γ
– резонансная час- тота второй массы при жёсткой заделке первой (
1
J
→ ∞ ).
Из уравнений (1.40) следует, что влия- ние упругости связи на движение привода уменьшается по мере увеличения ре- зонансной частоты, которая, в свою очередь, помимо жёсткости
12
c определяет- ся соотношением масс
γ. При
12
Ω → ∞ характеристики (1.40) теряют полюс. На рис. 1.14 показаны кривые изменения резонансной частоты, отнесённой к жёст- кости связи, в функции соотношения масс при различных величинах первой массы. Из этого рисунка хорошо видно, что при 1,5
γ <
резонансная частота резко возрастает и
1 12
γ→
ϖ ⎯⎯⎯
→∞ , а при
3
γ >
соотношение масс практически не влияет на резонансную частоту. Значит в приводах, где
1 2
J
J влиянием упру- гости можно пренебречь и рассматривать связь между звеньями как жёсткое соединение. Достаточным условием для исключения при анализе упругой связи является большая резонансная частота
12
Ω , значительно превосходящая полосу пропускания частот электропривода.
В реальных приводах соотношение
1 2
J
J встреча- ется достаточно часто, поэтому представление механиче- ской части привода звеном с жёсткими связями широко распространено.
Из уравнений (1.39), полагая
1 2
1 2
1 2
;
J
J
J
Σ
+
=
ϕ = ϕ ⇒ ω = ω = ω, получим уравнение движения жестко связанной системы тел, называемое также основным уравнением движения (рис. 1.15):
c
d
M M
J
dt
Σ
ω
−
=
(1.42) где
c
M – суммарный статический момент, действующий на все элементы сис- темы; J
Σ
– суммарный момент инерции движущихся масс.
Уравнение (1.42) имеет очень большое значение для анализа процессов в электроприводе. Оно правильно описывает движение механической части в среднем, поэтому позволяет по известному электромагнитному моменту двига-
Рис. 1.14.
Рис. 1.15.