Файл: Минимальный курс физики. Составлен доц. Юнусовым Н. Б.doc

r_n=n·λ_Б.

Если считать орбиту электрона круговой, то уравнение движения электрона по 2 закону Ньютона: .

Решая это уравнение совместно с условием квантования находим для радиуса

n–стационарной орбиты: . Радиус ближайшей к ядру орбиты (т.н. первой боровской орбиты с п = 1) равен r₁ =0,53·10 ^{- 10}м.

Полная энергия электрона в атоме водорода равна сумме его кинетической и потенциальной энергий: .

Решая это уравнение совместно с условиями квантования орбит и радиусов орбит находим для энергии стационарных состояний: Из последнего соотношения видно, что так же, как и радиусы орбит, энергия электрона кванту­ется, т.е. принимает ряд дискретных значений. Ближайшая к ядру орбита (n=1) имеет самую низкую энергию (основное состояние):

.

Энергия, равная 13,6 эВ, необходимая для удаления электрона из атома, называется энергией связи, или энергией ионизации E_i.

При переходе с m–ой орбиты на n–ую испускается фотон с частотой:

, что совпадает с формулой Бальмера.

Множитель равен 3,29·10¹⁵ с^-1, что совпадает с постоянной Ридберга.

Несмотря на успехи, модель атома водорода Бора была непоследовательна, т.к. в ней, с одной стороны, постулируется квантование орбит, а с другой стороны, движение электрона по орбите рассматривается классически.

---

Атом водорода. Квантовомеханическое рассмотрение. Атом водорода представляет собой один электрон, находящийся в сферически симметричном поле положительно заряженного ядра. Потен­циальная энергия взаимодействия электрона и ядра: , т.е. можно считать, что электрон движется в гиперболической потенциальной яме. Уравнение Шредингера принимает вид: и его удобнее решать в сферической системе координат r, θ и φ. При этом решение ищется в виде произведения трех функций, каж­дая из которых зависит от одной переменной:

ψ(r,θ,φ) = R(r)·Y (θ)·Ф(φ).

В результате подстановки ψ(r,θ,φ) и разделе­ния переменных уравнение разбивается на три независимых уравнения относительно r, θ и φ, соответственно. Учет физиче­ских условий приводит к возможным значениям R{r), Y (θ) и Ф(φ), а следовательно, и ψ -функции. При этом обнаруживается дискретность со­стояний.

Математически дискретность состояний за­ключается в том, что каждая из трех функций имеет дискретный набор значений, описывае­мых соответствующими квантовыми числами:

1. 
   главное квантовое число п = 1,2,3....
   Это число определяет уровни энергии E_nэлект­рона в атоме водорода : , что совпадает с выражением, полученным в модели атома Бора;
   
2. 
   орбитальное квантовое число ℓ = 0,1,2,. ..(n –1) – определяет геометрическую форму разрешенной для электрона области – орбиталь. Это число ℓ определяет значение орбитального момента импульса L_ℓ электрона относительно ядра: . При переходах из одного состоя­ния в другое ℓ изменяется в соответствии с пра­вилом отбора Δℓ = ±1. Правило отбо­ра по квантовому числу ℓ обусловлено законом сохранения момента импульса.
   

---

3. 
   магнитное квантовое число m_ℓ = 0, ±1,±2,... ±ℓ, всего 2ℓ + 1 значений. Это число опре­деляет проекции орбитального момента импуль­са электрона на некоторое выделенное направ­ление z: L_ℓz =m_ℓ ·ħ. По другому, оно определяет ориентацию в пространстве орбитали. Правило отбора: Δm_ℓ =0,±1;
   
4. 
   спиновое квантовое число m_S , которое получается не из уравнения Шредингера, а из совокупно­сти опытных данных. Это число может принимать только два значения (±½) и определяет воз­можные значения проекции L_SZ на ось z собственного спинового момента импульса L_S электрона: ; s = ½ ;
   

L_Sz= m_S ·ħ . Пра­вило отбора для спинового квантового числа: Δm_S = 0.

Механическим моментам (орбитальному L_ℓи спиновомуL_S) соответствуют магнитные момен­ты, т.к. электрон – заряженная частица. Пере­численные четыре квантовых числа п, ℓ, m_ℓ и m_S полностью описывают состояние электрона в атоме.
Спин. Расчет с помощью уравнения Шредингера энергетического спектра атома водорода показал незначительное расхождение теории с экспериментом. Высокоточные измерения обнаруживают т.н. тонкую структуру уровней энергии – их расщепление на ряд близких подуровней.

Полностью объяснить феномен тонкой структуры смогли лишь на основе такого фундаментального квантово-механического понятия, как спин элементарной частицы. К этому поня­тию привели результаты опытов О. Штерна и В. Герлаха, еще в 1922 г. наблюдавших расщепление (раздвоение) узкого пучка ато­

---

мов серебра под действием неоднородного магнитного поля. Подобное поведение атомов можно объяснить, лишь предполо­жив, что электрон, кроме орбитального, обладает собственным моментом импульса– спи­ном и связанным с ним собственным магнитным моментом. Такое предположение было сделано в 1925 г. Дж. Уленбеком и С. Гаудсмитом.

Для квантово-механического описания микрочастицы необ­ходимо задать проекцию спина на выбранную ось. Про­екция спина может дискретно меняться на величину, кратную ћ. Число проекций равно в общем случае 2s + 1, где s– спиновое число частицы. Так, например, для электрона, имеющего спиновое число s=½ и спин , проекция его спина на вы­бранную произвольную ось z может принимать два значения (m_S=±½): _.

Значениями спина отличаются два фундаментальных класса элементарных частиц: фермионы имеют полуцелый спин, а бозоны – целочисленный спин. Спин, равный ¹/₂ћ, имеют электрон, протон, ней­трон, нейтрино, мюон и др. Спин фотона и глюона равен 1ћ, гравитона 2ћ. Спин элементарных частиц лежит в основе кван­товой статистики и влияет на поведение систем, состоящих из тождественных частиц. Спин лежит в основе фундаментального принципа квантовой теории – принципа Паули, согласно кото­рому две тождественные частицы с полуцелым спином (фермионы) не могут одновременно находиться в одном и том же квантовом состоя­нии. Благодаря этому принципу смогли объяснить образование электронных оболочек в атомах и связанную с этим закономер­ность периодической таблицы Менделеева; формирование ядер­ных оболочек и их строение; понять химическую связь молекул и многое другое. Со спином связывают появление таких не­обычных свойств, как сверхтекучесть гелия и сверхпроводи­мость у некоторых веществ.

---

Элементы квантовой статистики. Метод, позволяющий перейти от исследова­ния движения отдельных частиц к поведению систем из огромного их числа, называется ста­тистическим. При применении квантовой ме­ханики к системам одинаковых частиц были обнаружены свойства, не имеющие классиче­ских аналогов. Впервые это стало очевидным при построении теории электронных оболочек многоэлектронных атомов и при рассмотрении равновесного излучения как газа фотонов.

Условия применимости классической статистики – это условия, при которых в дви­жении микрообъектов не проявляются квантовые эффекты. Классические частицы всегда можно различить по их состояниям: координатам и импульсам.

Три основных отличия квантовой статистики от классической:

1. 
   квантовая механика – статистическая тео­рия. Состояние квантовой системы определяет­ся вероятностными законами распределения;
   
2. 
   в квантовой механике многие физические величины могут принимать лишь дискретный ряд значений, в классической механике они непрерывны;
   
3. 
   наиболее важное отличие классической и квантовой статистик связано с принципом тождественности, имеющим место только в квантовой механике. Поскольку в силу принципа неопределенностей понятие траектории частицы утрачивает смысл, то и различить частицы одинаковой природы невозможно, т.е. частицы становятся тождественными. Кроме того, системы частиц с целым (бозоны) и полуцелым (фермионы) спином подчиняются разным законам.
   

Бозоны описываются симметричными волно­выми функциями ( перестановка двух бозонов не изменяет ни одной из характеристик системы бозонов). К бозонам относятся частицы-переносчики взаимодействия, например, фотоны, глюоны, фононы, гравитоны. В каждом квантовом состоя­нии может находиться неограниченное коли­чество бозонов. Их распределение по состояниям описывается т.н. статисти­кой Бозе–Эйнштейна.

Фермионы описываются антисимметричной волновой функцией (при перестановке двух фермионов волновая функция, описывающая систему фермионов, изменяет знак). К фермионам относятся частицы вещества, например, электроны, протоны, нейтроны, кварки и др. Они подчиняются

---