Файл: Минимальный курс физики. Составлен доц. Юнусовым Н. Б.doc

∆х) и, соответственно, большим импульсом р_f = h/λ. В результате такого соударения двух частиц измеряемая частица приобретает непредсказуемый импульс. Если же мы попытаемся точно измерить проекцию импуль­са, то большой окажется неопределенность в по­ложении объекта. Принцип неопределенностей в то же время не запрещает точно определить что-то одно: либо положение, либо импульс. Можно так­же с абсолютной точностью измерить координату и проекции импульса на другие оси. Согласно этому соотношению неопределенностей: а) объяснена устойчивость атома; при гипотетическом падении электрона на ядро неопределенность положения электрона уменьшилась бы на 5 порядков с 10 ^–10 м (размер атома) до 10 ^–15 м (размер ядра). На 5 порядков соответственно увеличилась бы неопределенность импульса электрона и он, получив бы такую энергию, не смог бы удержаться в ядре; б) невозможно определить траекторию движения микрочастицы (для этого необходимо знать в каждый момент времени абсолютно точно и координату и импульс частицы);

---

Второе соотношение устанавливает связь между неопределенностью энергии ΔE квазистационарного возбужденного состояния и средним временем жизни Δtвозбужденного состояния в атомных процессах. Например, достаточно точно можно измерить энергию системы в стационарном состоянии, время жизни в котором велико (Δt→ ∞), если же система находится в нестационарном состоянии, время жизни Δt в котором конечно, энергию можно измерить с погрешностью порядка ΔE

ħ /Δt .
Волновая функция, физический смысл и свойства. Состояние квантовой частицы нельзя определять, как в классической механике одновременным заданием в каждый момент времени координат и импульса . Это запрещено принципом неопределенностей. По аналогии с электромагнитной волной, для которой электромагнитное поле определяется заданием некоторой функции координат и времени E(x,y,z,t), для описания движения микрочастиц вводится некоторая функция координат и времени Ψ(x,y,z,t), характеризующая волну де Бройля, и получившая название волновой функ­ции (ВФ) .

Сама волновая функция Ψ в общем случае комплексна и поэтому не имеет наглядного физического представления, ее нельзя проде­монстрировать экспериментально. Согласно М.Борну, физический смысл имеет квадрат модуля ВФ , с помощью которого определяется вероятность dPтого, что частица в момент времени tбудет обнаружена в элементе объема dV, расположенном в окрест­ности точки х, у,z: .

Т.о, , где

---

Ψ^* означает комплексно сопря­женную к Ψ величину, является плотностью веро­ятности.

Волну де Бройля можно рассматривать как волну вероятности, амплитудой которой является волновая функция.

Де Бройль постулировал, что свободное дви­жение частицы с определенной энергией Eи импульсом описывается волновой функцией вида:

. – мнимая единица.

Функция Ψ должна удовлетворять т.н. стандартным условиям. Она должна быть однозначной, поскольку микрочастица в определенный момент времени может находиться только в одной точке пространства. Волновая функция и ее частные производные по координатам являют­ся непрерывными во всех точках простран­ства (при движении частица не может исчезать в одном месте и появляться в другом). И наконец, волновая функция должна быть конечна,т.е. нигде не обращаться в бесконечность. Поскольку значение , вычисленное в некоторой точке, пропорционально вероятности Р обнаружения частицы, описываемой функцией Ψ, в этой точ­ке, то интеграл от по всему пространству должен быть конечным, так как в любом случае частица где-то должна быть. Обычно этот интеграл приравнивают единице: .

Волновую функцию, для которой выполняет­ся это соотношение, называют нормирован­ной, а само равенство – условием норми­ровки волновой функции.

Нахож­дение вида волновой функции частицы, движущейся под действием внешних сил, является основной задачей квантовой механики, так как задание волновой функции есть

---

полное и исчерпывающее описание этой частицы. Это связано с тем, что вероятностное пове­дение микрочастиц лежит в самой их природе.

Уравнение Шредингера. Волны де Бройля описывают состояние только свободной частицы. В 1926 г. Э.Шредингер обобщил гипотезу де Бройля на случай движения микрочастицы во внешнем силовом поле и получил уравнение, описывающее поведение (распространение) волн вероятности во внешних силовых полях. Это уравнение, в результате решения которого получается конкретный вид ВФ, получи­ло название волнового уравнения, или уравнения Шредингера

,

где m – масса частицы, U(x,y,z,t) – потенциальная функция частицы в силовом поле.

Как и все основные уравнения физики (напри­мер, законы Ньютона, уравнения Максвелла), уравнение Шредингера не имеет вывода. Пра­вильность уравнения Шредингера и толкование смысла фигурирующей в нем волновой функции подтверждаются огромным опытным материа­лом современной физики.

То, что уравнение Шредингера содержит лишь первую производную от Ψ по времени, связано с выражением принципа причинности: если известна волновая функ­ция Ψ(x,y,z,0) частицы в начальный момент времени, то можно однозначно определить ее волновую функцию Ψ(x,y,z,t) в любые последующие моменты времени t > 0. Однако, точное знание ВФ для какой-либо точки пространства позволяет определить лишь вероятность обнаружения микрочастицы в этой точке.

Часто потенциальная функция Uчастицы яв­ным образом не зависит от времени и в этом случае она имеет смысл потенциальной энергии. Силы, дей­ствующие на частицу, а следовательно, и U(х,у,z) за­висят только от координат. В этих случаях уравнение Шредингера можно упрос­

---

тить, исключив всякую зависимость от t. Это получается, если ВФ представить в виде произведения координатной и временной частей:

.

Подставив в зависящее от времени уравне­ние Шредингера это выражение и сократив все уравнение затем на общий экспоненциаль­ный множитель, получим:

, где - т.н. оператор Лапласа.

Это уравнение называется уравнением Шре­дингера для стационарных состояний.

Волновое уравнение Шредингера играет в квантовой механике ту же роль, что 2 закон Ньютона в классической механике. Задать закон движения частицы в квантовой механике – зна­чит определить Ψ-функцию в каждый момент времени в каждой точке пространства.

Так как уравнение Шредингера является урав­нением второго порядка в частных производ­ных, то для его решения необходимо задавать на­чальные и граничные условия.

Квантовая частица в потенциальной яме. Рассмотрим одномерное (вдоль оси х) движение частицы в потенциальном поле, называющемся беско­нечно глубокой прямоугольной потенциальной ямой шириной ℓ:

.

Так как энергия частицы Е не может быть бес­конечной, частица не может находиться вне ямы, поэтому вероятность ее обнаружения вне ямы, а значит, и волновая функция, равна нулю: w(x<0)=w(x>ℓ) и ψ(x<0)=ψ(x>ℓ)=0.

Из условия непрерывности ВФ вытекает равенство нулю ВФ и на границе ямы: ψ(x=0)=ψ(x=ℓ)=0. Это

---