Файл: Минимальный курс физики. Составлен доц. Юнусовым Н. Б.doc

граничные услови­я для решения уравнения Шредингера для частицы внутри потенциальной ямы: ,

где Е — полная энергия частицы.

Решение такого дифференциального уравне­ния имеет вид:

ψ=A·sin(k·x), где - волновое число.

Используя граничное условие ψ(ℓ)=0, получим: κ_n ·ℓ=n·π ,

где n=1,2,3,... – любое целое число, большее нуля (квантовое число). Если учесть, что импульс частицы p_n= ħ·k_n , то можно найти возможные значения энергии частицы:

.

Уравнение Шредингера имеет решения, удов­летворяющие граничным условиям только при дискретных значениях квантового числа п. Энер­гия частицы в бесконечно глубокой потенциаль­ной яме оказывается квантованной. Состояние частицы с наименьшей возможной энергией (n=1) называется основным, все остальные состоя­ния – возбужденными. Волновая функция, отвечающая n-му уров­ню энергии: . Постоянную А_nопределим из условия нормировки ; и .

На границах ямы при х = 0 и х = ℓ всегда |ψ_n| ² = 0, однако, вeроятность нахождения частицы в определенной точке внутри ящика может сильно меняться при разных значениях квантового числа

---

п .

Выводы: энергия микрочастицы, движущей­ся в потенциальной яме, пробегает дискретный ряд значений; даже в основном состоянии час­тица не находится в состоянии полного покоя; дискретный характер энергетических уровней проявляется при малой массе частиц и малых размерах области, в которой происходит движе­ние; при больших значениях квантовых чисел и пространственно неограниченном движении квантовомеханические соотношения переходят в формулы классической физики.

Квантовым гармоническим осциллятором называется микрочастица массы т, находящаяся в параболической потенциальной яме вида U(x)=κ·x²/2 и совершающая гармоническое движение с частотой ω;κ-постоянная.

Модель квантового ос­циллятора особенно полезна при исследова­нии малых колебаний систем около положения равновесия, например, колебаний атомов в уз­лах кристаллической решетки или колебаний атомов около их положений равновесия в мо­лекуле.

По аналогии с классической теорией (пружинный маятник) положим . Тогда для потенциальной энергии по­лучим:

. Стационарное уравнение Шредингера в дан­ном случае будет иметь вид:

.

Полученное уравнение имеет конечные, од­нозначные и непрерывные решения, т.е. собственные функции, не для всех значений энергии Е, а только при собственных значениях, удовлетворяющих условию:

Число n_υ называется колебательным кванто­вым числом. Из последнего равенства следу­

---

ет, что энергия квантового осциллятора кванту­ется. Энергетический спектр представляет собой эквидистантные, т.е. отстоящие друг от друга на одинаковую величину ΔE=ħω, уровни. Минималь­ная энергия, которой может обладать квантовый осциллятор, равна Е₀ = ħω / 2 и называется энер­гией нулевых колебаний, или нулевой энергией и соответствует абсолютному нулю температур.

То, что минимальная энергия осциллятора не может быть равна нулю даже при 0К, находится в соответ­ствии с признанием относительности покоя и вечности движения. Если бы энергия частицы равнялась нулю, то это озна­чало бы, что частица покоится и ее импульс и координата одновременно имеют точные значения, что противоречит принци­пу неопределенностей. Существование нулевых колебаний доказы­вают опыты по наблюдению рассеяния света прозрачными кристаллами при сверхнизких (вплоть до 10 ^{– 6}К) температурах.

Расчет показывает, что для квантового осцил­лятора возможны переходы только между сосед­ними уровнями, т.е. с изменением квантового числа n_υ на единицу:

Δn_υ = ±1.

Это условие называется правилом отбора, оно показывает, какие из всех мыслимых переходов реализуются в действительности.

При каждом из переходов излучается или по­глощается фотон (или другая частица – фонон) с энергией ħω , где ω – его цик­лическая частота.

---

3.6. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ АТОМА.
Оптические атомные спектры. Известно, что в излучении нагретых тел представлены все длины волн (сплошной спектр).

Если нагреть до достаточно высокой темпе­ратуры атомарный газ, то в спектре его излуче­ния (спектре испускания) появляются яркие светящиеся линии с определенными дискретными длинами волн. Такие спектры называются линейчатыми. Каждый химический элемент обладает собственным линейчатым спектром.

Простейшим является атом водоро­да: он состоит из протона и электрона. У водорода самый простой спектр. Дж. Бальмер при изучении видимой части спектра водорода обнаружил четыре спектраль­ные линии с частотами 4,552; 6,173; 6,912 и 7,317 (в 10¹⁴ с^-1) и показал, что частоты этих линий могут быть рассчитаны по формуле: , где для первых четырех линий n принимает зна­чения 3, 4, 5 и 6. R=3,29·10¹⁵ c^-1 - постоянная Ридберга, была определена экспериментально. Впоследствии были обнаружены линии, соответствующие другим значениям п>6.

Установлено, что по мере увеличения частоты линии располагают­ся все ближе и ближе друг к другу и становятся все менее интенсивными. Вблизи линии с частотой 0,8242·10¹⁵ с^-1 линии сгущаются настолько, что их трудно различить. Эта частота, соот­ветствующая п=∞, называется границей серии, после нее уже не наблюдается отдельных линий, а имеется слабо выраженный сплошной спектр.

Совокупность спектральных линий, обнаружи­вающих в своей последовательности и в рас­пределении интенсивности описанную выше закономерность, называется спектральной серией.

Наряду с серией Бальмера в спектре атома водорода был обнаружен ряд других серий, представляемых совершенно аналогичными формулами:

,

---

m=1,2,3,… n=m+1,m+2,… Это т.н. обобщенная формула Бальмера.

В ультрафиолетовой области Лайман открыл серию линий, частоты которых соответству­ют значению m = 1.

В инфракрасной области были обнаружены другие спектральные серии (серии Пашена m= 3, Брэкета m =4, Пфунда m = 5 и т.д.).

Вид этих формул, дискретность частот, определяемую целыми числами n и m, не смогла объяснить классическая физика.
Боровская модель атома водорода. Спектральные серии и устойчивость атома водорода Н.Бор объяснил на основе двух постулатов:

Первый постулат: в атоме существуют та­кие орбиты, двигаясь по которым электроны энергии не излучают. Эти орбиты называются стационарными.

Второй постулат: при переходе электрона с одной стационарной орбиты на другую испускается или поглощается один фотон, энер­гия которого (в силу закона сохранения энергии) определяется соотношением : h·ν_mn=E_m – E_n , где E_m и E_n— энергии электрона в m-ом и n-ом стационарных состояниях.

Стационарными орбитами считаются такие, на ко­торых момент импульса электрона равен цело­му кратному ħ(условие кванто­вания Бора).

Момент импульса частицы массы т, дви­жущейся по окружности радиусом rсо скоростью υ, равен L= m·υ·r. Поэтому условие квантования Бора имеет вид: m·υ·r_n= n·ħ, где n = 1,2,3,... Целое положитель­ное число n называется квантовым числом ор­биты, r_n– радиус n -ой стационарной орбиты. Условие квантования можно получить, если считать, что на стационарной орбите укладывается целое число волн де Бройля, соответствующих электрону на этой орбите,: 2π·

---