ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.01.2024
Просмотров: 439
Скачиваний: 2
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
130
Часть 1.
Решение задач
Поскольку случай a = 0 тоже подходит, имеем a ∈
−
1 2
p
6
;
1 2
p
6
Ответ: a
∈
¦
p
6 3
;
p
6 2
©
∪
−
1 2
p
6
;
1 2
p
6
Тренировочные задачи к § 13
13.1. Для каждого допустимого значения a определите количество решений системы
¨
log
????
p
y
= (x
2
− 7x)
2
,
x
2
+ y = 7x.
13.2. Для каждого допустимого значения a определите количество решений системы
¨
log
????
4
p
2 y = (x
2
− 10x)
2
,
x
2
+ y = 10x.
13.3. Найдите все значения a, при которых система
¨ |a − 1|
????
−????+1
= log
π
x
− 7,
x
− log
π
x
= y − 8
имеет ровно два различных решения.
13.4. Найдите все значения a из интервала (−π; π), при которых система
(
(1 − 4x
2
− 4 y
2
)(4x
2
+ 15 − 12y) = 0,
y cos a + x sin a =
1 2
имеет ровно три различных решения.
13.5. Найдите все значения a, при которых система
¨
( y
2
+ |x| + |2 − x| − 2)(xy − x + y − 2) = 0,
x
− 2a − 1 + ( y − 1)(a + 1)
2
= 0
имеет ровно два различных решения.
13.6. Найдите все значения a, при которых система
(
|a|
????
2
=
7
p
−4x
2
+ 24x − 32,
y
= 4x
2
− 24x + 32
имеет не менее двух решений.
Тренировочные задачи к § 13 131
13.7. Найдите все значения a, при которых система уравнений
¨
(x − y
2
+ 1)(y −
p
6|x|) = 0,
2ay − x = 1 + a
2
имеет ровно два различных решения.
13.8. Найдите все значения a, при которых система
¨ |a|
2 ????−7????+12
= e
2
(2x − 6 y + 11),
4 y − x = 6
имеет ровно два различных решения.
13.9. Определите, при каких значениях a уравнение
|x
2
− 6x + 8| + 2 = log
????
x
имеет единственное решение.
13.10. Решите уравнение x
2
= arcsin(sin x) + 10x.
13.11. Даны функции
f (x, y) = | y| + 2|x| − 2 и g(x, y, a) = x
2
+ (y − a)(y + a).
а) При каком наименьшем положительном значении a система уравнений
¨ f (x, y) = 0,
g(x, y, a) = 0
имеет ровно четыре различных решения?
б) При этом значении a найдите площадь фигуры, координаты
(x; y) всех точек которой удовлетворяют неравенству
f (x, y)
g(x, y, a)
¶ 0.
13.12. Решите неравенство 2 arcsin(sin x) + arccos(cos x) ¾ −x − 3.
13.13. Найдите все положительные a, при которых уравнение
4πa + arcsin(sin x) + 3 arccos(cos x) − ax
2 + tg
2
x
= 0
имеет ровно три различных решения.
13.14. При каких значениях a неравенство log
????????
2
+2????
2
????
+1
Æ
16 arcsin
−4
(x + 3a) ¾
log
????????
2
+2????
2
????
+1
Æ
16 arcsin
−4
(x + 3a)
не имеет решений на отрезке [−5; 6]?
132
Часть 1.
Решение задач
13.15. Найдите все значения a, при каждом из которых корни урав- нения
Æ
x
+ 3 − 4
p
x
− 1 +
Æ
x
+ 8 − 6
p
x
− 1 = a
существуют и принадлежат отрезку [2; 17].
13.16. Найдите все значения a и n, при которых разница между наи- большим и наименьшим положительными корнями уравнения
|| . . . |||
| {z }
???? знаков
x
− 1| − 1| − 1| − . . . − 1| − 1| = a
равна 18,3.
13.17. Найдите все значения a, при которых уравнение
a
+
p
6x − x
2
− 8 = 3 +
p
1 + 2ax − a
2
− x
2
имеет ровно одно решение.
13.18. Найдите все значения a и b, при которых система уравнений
¨ x
2
+ y
2
+ 5 = b
2
+ 2x − 4y,
x
2
+ (12 − 2a)x + y
2
= 2ay + 12a − 2a
2
− 27
имеет два решения (x
1
; y
1
) и (x
2
; y
2
), удовлетворяющие условию
x
1
− x
2
y
2
− y
1
=
y
1
+ y
2
x
1
+ x
2
13.19. Найдите все значения a, при которых система
¨
(xy − y − 9)( y + x
2
− 1) = 0,
y
= a(x − 3)
имеет ровно три различных решения.
13.20. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение sin(arccos(5x)) = a + arcsin(sin(7x − 3))
имеет единственное решение.
13.21. Найдите все значения a, при каждом из которых графики функций
y
=
3x + 1
x
и
y
=
4x + 3a − 7
ax
− 1
разбивают координатную плоскость ровно на пять частей.
§ 14.
Метод областей
133
Ответы
13.1
. При a ∈ (0; 1) ∪ (1; (49/4)
8/2401
) два решения; при a = (49/4)
8/2401
три решения; при a ∈ ((49/4)
8/2401
; e
1/(4????)
) четыре решения; при a = e
1/(4????)
два решения; при a > e
1/(4????)
решений нет.
13.2
. При a ∈ (0; 1) ∪ (1; 50 1/2500
) два решения; при a = 50 1/2500
три решения;
при a ∈ (50 1/2500
; e
1/(2????)
) четыре решения; при a > e
1/(2????)
решений нет.
13.3
. a
∈ (1 − e
1/????
; 0) ∪ (2; 1 + e
1/????
).
13.4
. a
∈
−
2π
3
; −
π
2
∪
−
π
2
; − arccos
3 4
∪
arccos
3 4
;
π
2
∪
π
2
;
2π
3
(ответ получен из условий −1/2 < cos a < 3/4, cos a 6= 0).
13.5
. a
∈ [−4; −2 −
p
2] ∪ [−2 +
p
2; 0].
13.6
. a
∈ (−e
1/(14????)
; 0) ∪ (0; e
1/(14????)
).
13.7
. a
∈ {
p
6/3;
p
6/2} ∪
−
1 2
p
6
;
1 2
p
6
13.8
. a
∈ (−e
2
; −1) ∪ (1; e
2
).
13.9
. a
∈ (0; 1) ∪ {2}.
13.10
. 0; (9 +
p
81 + 12π)/2.
13.11
. а) a = 2/
p
5; б) 4 − 4π/5.
13.12
. [−3/4 − 3π/2; −π + 3/2] ∪ [−3/2; +∞).
13.13
. a
∈ {1; 2/3; 4/5}.
13.14
. a
∈ (−∞; −1] ∪ {0} ∪ (2; +∞).
13.15
. a
∈ [1; 3].
13.16
. n
= 19, a = 0,15.
13.17
. a
∈ [2; 3) ∪ (3; 4].
13.18
. a
= 4,
p
45 − 3 < |b| <
p
45 + 3.
13.19
. a
= −6 − 4
p
2; a = 3/5.
13.20
. a
∈ [π − 22/5; π − 8/5) ∪ {π − 3 +
p
74/5}.
13.21
. a
∈ [0; 1].
1 ... 7 8 9 10 11 12 13 14 ... 21
§ 14. Метод областей
Метод областей является обобщением метода интервалов. При решении неравенства f (x)/g(x) ¾ 0 мы находили корни уравнений
f (x) = 0, g(x) = 0, тем самым разбивая числовую прямую на части,
в которых знак функции f (x)/g(x) сохранялся. Затем мы выбирали те части, которые составляли решение исходной задачи. При решении неравенства f (x, y)/g(x, y) ¾ 0 методом областей мы находим все кривые, на которых f (x, y) = 0 или g(x, y) = 0. Они разбивают плос- кость на части, в которых функция f (x, y)/g(x, y) сохраняет знак. За- тем мы выбираем те части, которые дадут решение исходной задачи.
Разберём этот метод на простом примере.
Пример 14.1. Найдите площадь фигуры на плоскости (x; y), за- данной неравенствами
¨ x
2
+ y
2
−2x −4 y ¶ −1,
3x − 2 y + 1 ¾ 0.
Решение. Выделив полные квадраты, перепишем систему в более удобном виде:
¨
(x − 1)
2
+ (y − 2)
2
− 4 ¶ 0,
3x − 2 y + 1 ¾ 0
⇔
¨ f (x, y) ¶ 0,
g(x, y) ¾ 0,
134
Часть 1.
Решение задач где
f (x, y) = (x − 1)
2
+ (y − 2)
2
− 4,
g(x) = 3x − 2 y + 1.
Уравнение (x − 1)
2
+ (y − 2)
2
− 4 = 0 задаёт окружность с центром в точке (1; 2) и радиусом 2. Следовательно, плоскость разбивается этой окружностью на две части: внешнюю и внутреннюю (см. рис.
14.1
,
14.2
). Проверим, какое множество удовлетворяет условию
f (x, y) = (x − 1)
2
+ (y − 2)
2
− 4 ¶ 0.
Для этого выберем произвольную точку (1; 2) внутри окружности и точку (−2; 2) вне окружности. Для них выполняются неравенства
f (1; 2) = −4 < 0,
f (−2; 2) = 5 > 0,
и, таким образом, нам подходит множество, лежащее внутри круга
(см. рис.
14.1
).
Решим второе неравенство g(x, y) = 3x − 2 y + 1 ¾ 0. Рассмотрим уравнение прямой 3x − 2 y + 1 = 0. Эта прямая делит плоскость на две части (см. рис.
14.3
,
14.4
). Выберем по точке из каждой части и опре-
x
y
2 1
0
−
−
−
−
−
−
−
Рис. 14.1
x
y
2 1
0
+
+
+
+
+
+
Рис. 14.2
x
y
2 1
0
+
+
+
+
3x
−2 y+1=0
Рис. 14.3
x
y
2 1
0
−
−
−
−
−
3x
−2 y+1=0
Рис. 14.4
§ 14.
Метод областей
135 0
1 2
x
y
3x
−2 y+1=0
Рис. 14.5
делим ту, которая нам подходит:
g(−2; 0) = −5 < 0,
g(2; 0) = 7 > 0.
Следовательно, нам подходит множество, изображённое на рис.
14.3
Итак, нам требуется найти площадь множества, изображённого на рис.
14.5
. Но поскольку прямая проходит через центр окружности,
данное множество является половиной круга радиуса 2. Следователь- но, площадь равна πR
2
/2 = 2π.
Ответ: 2π.
Пример 14.2. При каждом значении a решите неравенство p
x
+ 2a > x +
p
2a.
Решение. Для удобства введём обозначения
y
=
p
x
+ 2a, b =
p
2a.
Сразу заметим, что для y, b выполнены неравенства y, b ¾ 0. Так как
x
= y
2
− b
2
, неравенство принимает вид ( y
2
− b
2
) − ( y − b) < 0, или
¨
( y − b)( y − (1 − b)) < 0,
y ¾ 0, b ¾ 0.
(14.1)
Решим систему (
14.1
) двумя способами.
I. Графический способ. Так как уравнения y = b, y = 1 − b задают прямые на плоскости (b; y), удобно изобразить на рисунке области знакопостоянства функции ( y − b)( y − (1 − b)) (см. рис.
14.6
). Учи- тывая неотрицательность переменных y, b, мы можем изобразить множество, являющееся решением системы (см. рис.
14.7
).
Остаётся выписать ответ. Если b ∈ [0; 1/2), то y ∈ (b; 1 − b); при
b
= 1/2 решений нет; если b ∈ (1/2; 1], то y ∈ (1 − b; b); если b > 1, то
y
∈ [0; b).
136
Часть 1.
Решение задач
b
y
y
= b
y
= 1 − b
1 0
−
−
+
+
Рис. 14.6
b
y
y
= b
y
= 1 − b
1 0
1
/2 1
Рис. 14.7
II. Решим систему (
14.1
) аналитически.
Для этого нам потребуется сравнить корни y
1
= b, y
2
= 1−b между собой и с нулём. Из уравнений b = 0, b = 1 − b, 1 − b = 0 находим реше- ния b = 0, b = 1/2, b = 1. Исследуя систему (
14.1
) на каждом из участ- ков b ∈ [0; 1/2), b ∈ (1/2; 1], b > 1 по отдельности, приходим к ответу в переменных ( y; b). Если b ∈ [0; 1/2), то y ∈ (b; 1 − b); при b = 1/2
решений нет; если b ∈ (1/2; 1], то y ∈ (1 − b; b); если b > 1, то y ∈ [0; b).
Вернёмся к переменным (a, x):
b
∈ [0; 1/2), y ∈ (b; 1 − b),
b
= 1/2 — решений нет,
b
∈ (1/2; 1], y ∈ (1 − b; b),
b
> 1, y ∈ [0; b)
⇔
⇔
p
2a ∈ [0; 1/2),
p
x
+ 2a ∈ (
p
2a; 1 −
p
2a),
p
2a = 1/2 — решений нет,
p
2a ∈ (1/2; 1],
p
x
+ 2a ∈ (1 −
p
2a;
p
2a),
p
2a > 1,
p
x
+ 2a ∈ [0;
p
2a)
⇔
⇔
a
∈ [0; 1/8), x + 2a ∈ (2a; 1 − 2
p
2a + 2a),
a
= 1/8 — решений нет,
a
∈ (1/8; 1/2], x + 2a ∈ (1 − 2
p
2a + 2a; 2a),
a
> 1/2, x + 2a ∈ [0; 2a)
⇔
§ 14.
Метод областей
137
⇔
a
∈ [0; 1/8), x ∈ (0; 1 − 2
p
2a),
a
= 1/8 — решений нет,
a
∈ (1/8; 1/2], x ∈ (1 − 2
p
2a; 0),
a
> 1/2, x ∈ [−2a; 0).
Ответ: при a<0 решений нет; если a∈[0; 1/8), то x ∈(0; 1−2
p
2a);
при a = 1/8 решений нет; если a ∈ (1/8; 1/2], то x ∈ (1 − 2
p
2a; 0);
если a > 1/2, то x ∈ [−2a; 0).
Пример 14.3. Найдите все значения p, при каждом из которых множество решений неравенства (p − x
2
)(p + x − 2) < 0. не содержит ни одного решения неравенства x
2
¶ 1.
Решение. Этот пример уже был решён (см. пример
3.2
). Пока- жем, как его можно решить с использованием метода областей. На рис.
14.8
изображены кривые p = x
2
и p + x = 2. При помощи ме- тода областей расставляем знаки функции, стоящей в левой части неравенства, в областях, образованных этими кривыми. Заметим
(см. рис.
14.9
), что при p ∈ (0; 3) существуют решения x исходного неравенства из отрезка [−1; 1], а для оставшихся p ∈ (−∞; 0] ∪ [3; +∞)
решений x из отрезка [−1; 1] не существует.
p
0 1
2 3
4
−2 −1 1
2
p
+ x − 2 = 0
p
= x
2
x
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ +
+
+
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
Рис. 14.8
p
0 1
2 3
4
−2 −1 1
2
p
+ x − 2 = 0
p
= x
2
x
Рис. 14.9
Ответ: p
∈ (−∞; 0] ∪ [3; +∞).
Пример 14.4. Докажите, что множество, заданное на коорди- натной плоскости условием |3x + 6| + |2 y + 3x − 2| < 6, является параллелограммом с центром в точке пересечения прямых 3x + 6 = 0,
2 y + 3x − 2 = 0, которые являются диагоналями данного параллело- грамма. Найдите площадь параллелограмма.
138
Часть 1.
Решение задач
Решение. Заметим, что
|a| + |b| < c ⇔
¨ |a + b| < c,
|a − b| < c.
Действительно, это неравенство легко проверить, рассматривая все возможные комбинации знаков чисел a и b. Используя это замечание,
находим, что исходное неравенство равносильно системе
|2 y +3x −2|+|3x +6| < 6 ⇔
¨ |(2y + 3x − 2) + (3x + 6)| < 6,
|(2 y + 3x − 2) − (3x + 6)| < 6
⇔
⇔
¨ |2y + 6x + 4| < 6,
|2 y − 8| < 6
⇔
¨ |y + 3x + 2| < 3,
| y − 4| < 3.
Решением неравенства | y + 3x + 2| < 3 является множество −5 <
< y + 3x < 1; см. рис.
14.10 7
4 1
y
= 1 − 3x
y
= −3x − 5
x
y
−4
−2 0
A
B
C
D
E
Рис. 14.10. Множество −5 < y + 3x < 1
Решением неравенства | y − 4| < 3 является множество 1 < y < 7;
см. рис.
14.11
Пересечением данных множеств (−5 < y + 3x < 1 и 1 < y < 7;
см. рис.
14.12
) действительно является параллелограмм со сторонами
AB: y + 3x + 5 = 0, BC: y = 7,
CD: y + 3x − 1 = 0, DA: y = 1.
Следовательно, диагоналями данного параллелограмма действи- тельно являются прямые AC: 3x + 6 = 0, BD: 2 y + 3x − 2 = 0, которые
Тренировочные задачи к § 14 139
y
= 1
y
= 7
x
y
−4
−2 0
A
B
C
D
E
Рис. 14.11. Множество 1 < y < 7 7
4 1
y
= 1 − 3x
y
= −3x − 5 2 y
+ 3x − 2 = 0 3x
+ 6 = 0
(
−2, 4)
x
y
−4
−2 0
A
B
C
D
E
Рис. 14.12
пересекаются в точке (−2; 4). Найдём площадь параллелограмма:
S
????????????????
= AC · AD = 2 · 6 = 12.
Ответ: 12.
Тренировочные задачи к § 14
14.1. При каких значениях a на плоскости существует круг, содержа- щий все точки, удовлетворяющие системе неравенств
2 y − x ¶ 1,
y
+ 2x ¶ 2,
y
+ ax ¾ −1?
140
Часть 1.
Решение задач
14.2. Найдите все значения a, при каждом из которых система
¨ x
2
+ a ¶ −2x,
a
+ 2 + x ¾ 0
имеет единственное решение.
14.3. Шесть чисел образуют возрастающую арифметическую про- грессию. Первый, второй и четвёртый члены этой прогрессии явля- ются решениями неравенства log
0,5????−1
log
4
x
− 11
x
− 8
¾ 0,
а остальные не являются решениями этого неравенства. Найдите мно- жество всех возможных значений первого члена таких прогрессий.
14.4. Найдите площадь фигуры, координаты точек которой удовле- творяют соотношениям
x
2
+ y
2
¶ 9,
y
+ 1 ¾ 0,
3 y + 6 ¾ 2|x|.
14.5. Определите площадь фигуры, расположенной на координатной плоскости и состоящей из точек (x; y), удовлетворяющих неравен- ству log
0,5(????
2
+????
2
)
(x − y) > 1.
14.6. Найдите периметр фигуры, точки которой на координатной плоскости (x; y) удовлетворяют системе
¨ y
>
|x − 2| − 1
,
x
2
+ y
2
< 4x + 2y − 3.
14.7. Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоско- сти условиями
(
y ¶
p
4 − x
2
,
y ¾ |x − 1| − 3.
14.8. Определите площадь фигуры, расположенной на координатной плоскости и состоящей из точек (x; y), удовлетворяющих неравен- ству x
2
+ y
2
¶ 6|x| − 6| y|.
14.9. Найдите все значения, которые может принимать сумма x + a
при условии |2x + 4 − 2a| + |x − 2 + a| ¶ 3.