ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.01.2024
Просмотров: 440
Скачиваний: 2
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
§ 13.
Решение задач при помощи графика, часть II
121
y
z
0 1
1 49
/4
A
B
C
D
E
z
= −y
3
z
= log
????
y, 0 < b < 1
Рис. 13.9
II. Рассмотрим случай b ∈ (0; 1). Разберём все возможные вариан- ты пересечения графика логарифмической функции log
????
y, b ∈ (0; 1),
с графиком функции − y
3
. На рис.
13.9
изображены эти возможности.
A. График логарифмической функции не пересекает график функ- ции − y
3
, поэтому решений у исходной системы нет.
B. График логарифмической функции пересекает график функции
− y
3
только в одной точке y
∗
(это точка касания). Так как 0 < y
∗
<
< 49/4 (мы докажем это ниже), решений у исходной системы будет два (данному y
∗
соответствуют два значения x).
C. График логарифмической функции (см. рис.
13.9
) пересекает гра- фик функции − y
3
в двух точках y
1,2
. Так как 0 < y
1
< y
∗
< y
2
<49/4,
решений у исходной системы будет четыре: каждому y
????
соответ- ствуют два значения x
±
( y
????
).
D. График логарифмической функции пересекает график функции
− y
3
в двух точках y
1,2
. Поскольку 0 < y
1
< y
∗
< y
2
= 49/4, решений у исходной системы будет три: y
1
соответствуют два значения
x
±
( y
1
), а y
2
соответствует одно решение x( y
2
).
E. График логарифмической функции пересекает график функции
− y
3
в двух точках y
1,2
. Поскольку 0 < y
1
< y
∗
< 49/4 < y
2
, решений у исходной системы будет два: y
1
соответствуют два значения
x
±
( y
1
), а для y
2
не существует корней x( y
2
) в силу отрицательно- сти дискриминанта.
Найдём b
∗
∈(0; 1), при котором график функции log
????
∗
y, b
∗
∈(0; 1),
касается графика функции − y
3
(т. е. графики имеют общую касатель- ную):
122
Часть 1.
Решение задач
log
????
∗
y
= −y
3
,
1
y ln b
∗
= −3y
2
⇔
ln y
ln b
∗
= −y
3
,
1
ln b
∗
= −3y
3
⇔
⇔
ln y =
1 3
,
ln b
∗
= −
1 3 y
3
⇔
¨
y
= e
1/3
,
b
∗
= e
−1/(3????)
Видим, что действительно b
∗
= e
−1/(3????)
∈ (0; 1).
При увеличении b, т. е. в случае b ∈ (b
∗
; 1), график имеет вид A
(см. рис.
13.9
), т. е. пересечений нет.
Найдём теперь значение b
∗∗
, которое соответствует графику D,
т. е. графику функции log
????
∗∗
y, проходящему через точку ( y
∗∗
; −( y
∗∗
)
3
),
где y
∗∗
= 49/4. Из равенства log
????
∗
y
∗∗
= −(y
∗∗
)
3
находим, что
b
∗∗
= (y
∗∗
)
−
1
( ????∗∗ )3
=
4 49
(
4 49
)
3
Как отмечено выше, в этом случае исходная система имеет ровно три решения.
Если b ∈ (b
∗∗
; b
∗
) (что соответствует графику C), то исходная систе- ма будет иметь четыре решения. Если b ∈ (0; b
∗∗
) (что соответствует графику E), то у исходной системы будет два решения.
Итого, ровно два решения система будет иметь при b ∈ (0; b
∗∗
) ∪
∪ {b
∗
}. Не забываем также про случай b > 1, когда система тоже имела два решения. Остаётся вспомнить, что a связано с b формулой
b
= 3 − log
3
(a + 4), т. е a = 3 3−????
− 4:
b
∈ (0; b
∗∗
),
b
= b
∗
,
b
> 1
⇔
a
∈ (3 3−????
∗∗
− 4; 23),
a
= 3 3−????
∗
− 4,
a
∈ (−4; 5).
Ответ: a
∈ (−4; 5) ∪ {3 3−????
−1/(3????)
− 4} ∪ 3 3−
(
4 49
)
(
4 49
)
3
− 4; 23
Пример 13.4. Найдите все значения c, при которых система
(
3
Æ
|x + 4| +
Æ
| y − 3| = 1,
81(x + 4)
2
+ y
2
+ c = 6y
имеет ровно четыре различных решения.
§ 13.
Решение задач при помощи графика, часть II
123
Решение. Введём обозначения a = 3
p|x + 4|, b = p|y − 3|. Тогда система запишется в виде
a ¾ 0, b ¾ 0,
a
+ b = 1,
a
4
+ b
4
= 9 − c.
(13.1)
Данную систему можно решить и используя соображения симметрии,
но в этом параграфе мы разберём графическую интерпретацию дан- ного примера (см. рис.
13.10
).
a
b
0 1
1
a
+ b = 1
− y
3
a
4
+ b
4
= 9 − c
Рис. 13.10
Рассмотрим следующие возможные случаи.
A. Пусть (a
0
; 0), a
0
> 0, — решение системы (
13.1
). В этом случае у исходной системы два решения: (x; y) = (−4 ± (a
0
/3)
2
; 3).
B. Пусть (0; b
0
), b
0
> 0, — решение системы (
13.1
). В этом случае у исходной системы два решения: (x; y) = (−4; 3 ± (b
0
)
2
).
C. Пусть (a
0
; b
0
), a
0
>0, b
0
>0, — решение системы (
13.1
). В этом слу- чае исходная система имеет четыре решения: (x; y)=(−4±(a
0
/3)
2
;
3 ± b
2 0
).
D. Если (a
0
; b
0
), a
0
¶ 0, b
0
¶ 0, то (a
0
; b
0
) не удовлетворяет системе
(
13.1
). Решений нет.
Из сказанного выше следует, что четыре решения может быть только в следующих двух случаях (см. рис.
13.10
).
1. Прямая a + b = 1 пересекает график функции a
4
+ b
4
= 9 − c в точ- ках, лежащих на осях координат.
124
Часть 1.
Решение задач
2. Прямая a + b = 1 касается графика функции a
4
+ b
4
= 9 − c в точке
(a
0
; b
0
), где a
0
> 0, b
0
> 0.
Первый случай возможен, когда прямая a + b = 1 пересекает гра- фик функции a
4
+ b
4
= 9 − c в точках (1; 0) и (0; 1), а значит, 1 = 9 − c,
т. е. c = 8.
Разберём второй случай, т. е. случай касания. Выразим b из систе- мы с учётом того, что величина b неотрицательна:
( b = 1 − a,
b
=
4
p
9 − c − a
4
Случай касания возможен, когда прямая b = 1 − a — касательная к гра- фику функции b =
4
p
9 − c − a
4
, т. е. выполнены следующие условия:
(
1 − a =
4
p
9 − c − a
4
,
(1 − a)
0
=
4
p
9 − c − a
4
0
⇔
(
1 − a = (9 − c − a
4
)
1/4
,
−1 =
1 4
(9 − c − a
4
)
−3/4
(−4a
3
)
⇔
⇔
¨
1 − a = (9 − c − a
4
)
1/4
,
1 = (1 − a)
−3
· a
3
,
откуда получаем, что
a
1 − a
= 1, или a =
1 2
, и c =
71 8
1 ... 6 7 8 9 10 11 12 13 ... 21
Ответ: c
=
71 8
; c = 8.
Пример 13.5. Решите неравенство arcsin(sin x) + 3 arccos(cos x) ¾ 3x − 18.
Решение. Заметим, что функции arcsin(sin x), arccos(cos x) пери- одические с периодом 2π (см. рис.
13.11
–
13.12
).
В частности, имеем arcsin(sin x) =
x
− 2πk,
x
∈
−
π
2
+ 2πk;
π
2
+ 2πk
, k ∈ Z,
π − x + 2πk, x ∈
π
2
+ 2πk; 3
π
2
+ 2πk
, k ∈ Z,
и arccos(cos x) =
¨
x
− 2πk, x ∈ [2πk; π + 2πk], k ∈ Z,
−x + 2πk, x ∈ [−π + 2πk; 2πk], k ∈ Z.
Построим график функции f (x) = arcsin(sin x) + 3 arccos(cos x) на пе- риоде, т. е. на отрезке [0; 2π]. Для этого нанесём точки (x; f (x)) с абс- циссами x = 0, π/2, π, 3π/2, 2π на координатную плоскость и со- единим их прямолинейными отрезками. Продолжим график на всю
§ 13.
Решение задач при помощи графика, часть II
125
x
y
π
−π
0
−π/2
π/2
y
= arcsin(sin x)
y
= −x + π
y
= x − 2π
y
= −x − π
y
= x + 2π
y
= x
Рис. 13.11
x
y
π
−π
0
π
y
= arccos(cos x)
y
= −x + 2π
y
= −x
y
= −x − 2π
y
= x + 2π
y
= x
Рис. 13.12
x
y
−π
π
2
π
3
π
4
π
π
2
π
3
π
0
y
= 3x − 18
y
= f (x)
Рис. 13.13
прямую, используя то, что исходная функция является периодиче- ской с периодом 2π. Затем построим график прямой y = 3x − 18
(см. рис.
13.13
).
126
Часть 1.
Решение задач
Решим уравнение arcsin(sin x) + 3 arccos(cos x) = 3x − 18,
а затем методом интервалов решим исходное неравенство. Так как функция f (x) удовлетворяет условиям 0 ¶ f (x) ¶ 3π, на множестве
(−∞; 3π/2) ∪ (3π; +∞) решений у уравнения нет (значения функции
g(x) = 3x − 18 на этих участках не попадают в отрезок [0; 3π]). Для функции f (x) имеем
f (x) = arcsin(sin x) + 3 arccos(cos x) =
−2x + 4π, x ∈ [3π/2; 2π],
4x − 8π,
x
∈ [2π; 5π/2],
2x − 3π,
x
∈ [5π/2; 3π].
Следовательно,
−2x + 4π = 3x − 18 ⇔ x
1
=
4π + 18 5
∈ [3π/2; 2π],
4x − 8π = 3x − 18 ⇔ x
2
= 8π − 18 ∈ [2π; 5π/2],
2x − 3π = 3x − 18 ⇔ x
3
= 18 − 3π ∈ [5π/2; 3π].
Остаётся применить метод интервалов к неравенству f (x) − g(x) ¾ 0:
f (0) − g(0) = 18 ⇒ f (x) − g(x) ¾ 0, x ∈ (−∞; x
1
],
f (2π) − g(2π) = 18 − 6π < 0 ⇒ f (x) − g(x) < 0, x ∈ (x
1
; x
2
),
f
5π
2
− g
5π
2
= 2π −
15π
2
+ 18 = 18 −
11π
2
> 0 ⇒
⇒ f (x) − g(x) ¾ 0, x ∈ [x
2
; x
3
],
f (4π) − g(4π) = 18 − 12π < 0 ⇒ f (x) − g(x) < 0, x ∈ (x
3
; +∞).
+
−
+
−
x
1
x
2
x
3
Рис. 13.14. f (x) − g(x) ¾ 0
Таким образом, приходим к ответу.
Ответ: (−∞; (4π + 18)/5] ∪ [8π − 18; 18 − 3π].
Пример 13.6. Найдите все положительные a, при которых урав- нение
2πa + arcsin(sin x) + 2 arccos(cos x) − ax
tg
2
x
+ 1
= 0
§ 13.
Решение задач при помощи графика, часть II
127
имеет ровно три различных решения, принадлежащих множеству
(−∞; 7π].
Решение. Область допустимых значений — R \ {π/2 + πn, n ∈ Z}.
На области определения решаем уравнение arcsin(sin x) + 2 arccos(cos x) = ax − 2πa.
Функция
f (x) = arcsin(sin x) + 2 arccos(cos x)
периодическая с периодом 2π, причём она является линейной на каж- дом из множеств [0; π/2], [π/2; π], [π; 3π/2], [3π/2; 2π]. Поскольку
f (0) = f (2π) = 0,
f
π
2
=
3π
2
,
f (π) = 2π,
f
3π
2
=
π
2
,
можно теперь построить график функции на всей числовой прямой
(см. рис.
13.15
).
x
y
0
π/2
π
3
π/2 2
π
π
2
π
3
π
4
π
5
π
6
π
7
π
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a = 1
/3
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
3/
5
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
a =
2/
3
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
y
= f (x)
Рис. 13.15
Графики функций y = a(x − 2π) образуют семейство прямых, про- ходящих через точку (2π; 0).
Далее выбираем те прямые, которые дают три решения из указан- ного множества. Им соответствуют значения a = 1/3; a = 2/3; a = 3/5.
Ответ: a
= 1/3; a = 2/3; a = 3/5.
Пример 13.7. Найдите все значения a, при которых система урав- нений
¨
(x + y
2
− 1)( y −
p
6|x|) = 0,
2ay + x = 1 + a
2
имеет ровно два различных решения.
128
Часть 1.
Решение задач
x
y
0 1
Рис. 13.16
x
y
0
Рис. 13.17
Решение. Первое уравнение системы равносильно совокупности уравнений y
2
= 1− x и y =
p
6|x| (см. рис.
13.16
). Выясним, при каких значениях a прямая 2ay + x = 1 + a
2
касается параболы y
2
= 1 − x.
Запишем условия касания этих графиков (для удобства будем рас- сматривать их как графики функций от переменной y):
¨
1 + a
2
− 2ay = 1 − y
2
,
−2a = −2 y.
Из второго уравнения находим y = a и, подставив найденное значе- ние в первое уравнение, приходим к тождеству 1 + a
2
− 2a
2
= 1 − a
2
Таким образом, показано, что прямая 2ay + x = 1 + a
2
при любом a
является касательной к параболе y
2
= 1 − x (см. рис.
13.17
).
Поскольку прямая 2ay + x = 1 + a
2
при любом a имеет ровно одну точку пересечения с параболой, необходимо найти такие значения a,
при которых:
A) либо прямая 2ay + x = 1 + a
2
пересекает график функции y =
p
6|x|
в двух точках, но при этом одна из точек пересечения совпадает с точкой касания к параболе (см. рис.
13.18
);
B) либо прямая 2ay + x = 1 + a
2
пересекает график функции y =
p
6|x|
в одной точке, но отличной от точки касания (см. рис.
13.19
).
В этих случаях будет ровно два решения исходной системы.
Разберём случай A. Для этого найдём точки пересечения параболы
y
2
= 1 − x и графика функции y =
p
6|x|:
¨ y
2
= 1 − x,
y
=
p
6|x|
⇔
¨
1 − x = 6x
2
,
y
=
p
6|x|
⇔
(x; y) =
−
1 2
;
p
6 2
,
(x; y) =
1 3
;
p
6 3
§ 13.
Решение задач при помощи графика, часть II
129
x
y
0 1
Рис. 13.18
x
y
0 1
Рис. 13.19
Уравнение 2ay + x = 1 + a
2
равносильно уравнению (a − y)
2
= x + y
2
−1,
и при условии, что точка (x; y) принадлежит параболе, последнее ра- венство означает, что a = y. Поэтому двум касательным (см. рис.
13.18
)
соответствуют значения a =
p
6/2 и a =
p
6/3.
Разберём случай B (см. рис.
13.19
). В случае a = 0 касательная к параболе 2ay + x = 1 + a
2
превращается в прямую x = 1, которая тоже имеет ровно одну точку пересечения с графиком функции y =
p
6|x|.
Пусть a 6= 0. Если касательная 2ay + x = 1+a
2
(т. е. y = −
1 2a
x
+
a
2
+ 1 2a
)
будет параллельна прямой y =−
p
6x, то исходная система будет иметь ровно два решения, так как касательная пересечёт луч y =
p
6x, x > 0,
но при этом не имеет общих точек с лучом y = −
p
6x, x < 0. Для каса- тельной 2ay + x = 1 + a
2
угловой коэффициент k равен −1/(2a). При уменьшении углового коэффициента k касательная пересечёт луч
y
=
p
6x, x > 0, но при этом не будет пересекаться с лучом y = −
p
6x,
x
< 0.
Если касательная станет параллельной прямой y =
p
6x, то у ис- ходной системы будет только одно решение (это нам не подходит).
При увеличении углового коэффициента k касательная пересечёт луч
y
=
p
6x, x > 0, но при этом не будет пересекаться с лучом y = −
p
6x,
x
< 0.
Таким образом, нужно найти те касательные, которые имеют уг- ловой коэффициент k = −1/(2a), больший чем p
6 либо не больший чем −
p
6, откуда с учётом рассмотренного выше получаем
−
1 2a
>
p
6,
−
1 2a
¶ −
p
6
⇔
1 + 2
p
6a
2a
< 0,
1 − 2
p
6a
2a
¾ 0.