Файл: С. В. Кондаков 2019 г.pdf

Изм. Лист
№ докум.
Подпись Дата
Лист
108
24.05.06.2019.356.00
ПЗ ВКР
маломощных двигателей. Некоторое относительное увеличение расхода топлива несущественно, так как абсолютные расходы для малых коррекций весьма невелики.
В дальнейшем для применения методов прогнозирующих моделей предлагается использование комбинированного управления с расположением двигателей, согласно рисунку 90 [27, 28].
Рисунок 90 – Схема размещения двигателей и номинальные направления выдачи тяги
3.1 Общие сведения о методе прогнозирующих моделей для задачи ССН
Одним из современных формализованных подходов к анализу и синтезу систем управления, базирующихся на математических методах оптимизации, является теория управления динамическими объектами с использованием прогнозирующих моделей – Model Predictive Control (MPC) [26].
Этот подход начал развиваться в начале 60-х годов для управления процессами и оборудованием на производстве, где применение традиционных методов синтеза было крайне затруднено в связи с исключительной сложностью их математических моделей.
В настоящее время сфера практического приложения MPC-методов существенно расширилась, охватывая разнообразные технологические процессы в химической и строительной индустрии, легкой и пищевой промышленности, в аэрокосмических исследованиях, в современных системах энергетики и т. д.
Основным достоинством MPC-подхода, определяющим его успешное использование в практике построения и эксплуатации систем управления, служит относительная простота базовой схемы формирования обратной связи, сочетающаяся с высокими адаптивными свойствами. Последнее обстоятельство позволяет управлять многомерными и многосвязными объектами со сложной

Изм. Лист
№ докум.
Подпись Дата
Лист
109
24.05.06.2019.356.00
ПЗ ВКР
структурой, включающей нелинейности, оптимизировать процессы в режиме реального времени в рамках ограничений на управляющие и управляемые переменные, учитывать неопределенности в задании объектов и возмущений.
Кроме того, возможен учет транспортного запаздывания, учет изменений критериев качества в ходе процесса и отказов датчиков системы измерения.
Существо
MPC-подхода составляет следующая схема управления динамическими объектами по принципу обратной связи:
Рассматривается некоторая (относительно простая) математическая модель объекта, начальными условиями для которой служит его текущее состояние. При заданном программном управлении выполняется интегрирование уравнений этой модели, что дает прогноз движения объекта на некотором конечном отрезке времени (горизонте прогноза).
Выполняется оптимизация программного управления, целью которого служит приближение регулируемых переменных прогнозирующей модели к соответствующим задающим сигналам на горизонте прогноза. Оптимизация осуществляется с учётом всего комплекса ограничений, наложенных на управляющие и регулируемые переменные.
На шаге вычислений, составляющем фиксированную малую часть горизонта прогноза, реализуется найденное оптимальное управление и осуществляется измерение (или восстановление по измеренным переменным) фактического состояния объекта на конец шага.
Горизонт прогноза сдвигается на шаг вперед, и повторяются пункты 1 - 3 данной последовательности действий.
Приведенная схема может быть объединена с предварительным проведением идентификации уравнений модели, используемой для выполнения прогноза.
Идея оптимизации прогнозируемого программного движения, составляющая основу MPC-методов, возникла в рамках двух независимых, однако близких по существу подходов. Первый из них, именуемый Dynamics Matrix Control (DMC), развивался усилиями специалистов компании Shell Oil в середине 60-х годов [2], а второй - Model Algorithmic Control (MAC) – был разработан французскими инженерами химической промышленности в конце 60-х [1]. На базе последнего подхода впервые был создан коммерческий пакет программ IDCOM (Identification and Command), который в известной мере послужил прообразом современной программной поддержки методов управления с предсказанием.
В настоящее время MPC-подход находится в стадии интенсивного развития, о чём свидетельствует обширная библиография опубликованных за последние годы научных работ, посвященных данной проблематике. Развитие идей управления с

Изм. Лист
№ докум.
Подпись Дата
Лист
110
24.05.06.2019.356.00
ПЗ ВКР
прогнозированием происходит в направлении использования нелинейных моделей, обеспечения устойчивости по Ляпунову контролируемых движений, придания робастных свойств замкнутой системе управления, применения современных оптимизационных методов в реальном масштабе времени и др.
Пакет прикладных программ Model Predictive Control Toolbox (MPC Tools) представляет собой набор инструментальных средств исследования и проектирования алгоритмов управления в дискретных и непрерывных системах на основе предсказаний динамики их поведения. Сюда включены более 50 специализированных функций для проектирования, анализа и моделирования динамических систем, использующих управление с предсказанием. При этом авторы пакета, учитывая его назначение для начального освоения идеологии MPC- подхода, включили в состав рабочих инструментов только те средства, которые достаточно просты в освоении и в практическом применении. Естественно, пакет совершенно не претендует на полный охват всего современного арсенала MPC- методов. Однако все включенные в него средства вполне соответствуют запросам практики и обладают достаточно высокой вычислительной эффективностью.
Однако возможности пакета вполне позволяют привлекать его и для решения реальных практических задач по управлению технологическими процессами и техническими объектами, в том числе и космическими ЛА.
3.2 О применении метода MPC для решения задачи ССН КЛА
3.2.1 Постановка задачи
Рассмотрим задачу наведения как задачу погони между двумя материальными точками, способными развивать ограниченные ускорения в любом направлении.
Для простоты положим, что материальные точки совершают движение в плоскости
OXY.
Рисунок 91 – Иллюстрация к задаче наведения
Y
X
O
C
M

Изм. Лист
№ докум.
Подпись Дата
Лист
111
24.05.06.2019.356.00
ПЗ ВКР
Пусть пара точек – M (преследователь) и C (цель) совершают движение в плоскости OXY и пусть динамика этого движения описывается следующим образом:
,
,
,
,
M
M
M
C
C
C
M
M
C
C
d
d
dt
dt
d
d
dt
dt








R
R
V
R
R
V
V
V
u
V
V
w
(3.1) где
T
[
]
M
M
M
x
y

R
и
T
[
]
C
C
C
x y

R
– радиус-векторы преследователя и цели соответственно;
T
[
]
M
M
M
x
y
V
V

V
и
T
[
]
C
C
C
x
y
V V

V
– векторы скоростей преследователя и цели соответственно;
T
[
]
x
y
u u

u
– вектор ускорения, развиваемого преследователем;
T
[
]
x
y
w w

w
– вектор ускорения, развиваемого целью.
Далее примем ряд предположений относительно динамических возможностей преследователя и цели.
Предположение 1. Векторы
u
и
w ограничены по модулю, т.е.:
2 2
| |
,
| |
,
u
w


u
w
здесь и далее через
2
| |
x обозначена евклидова норма вектора
n

x
,
2 2
2 2
1 2
| |
n
x
x
x



x
Предположение 2. Динамические возможности преследователя превосходят возможности цели, т.е.
w u

Предположение 2 необходимо нам для получения содержательных решений задачи, так как при условии
w u

преследователь может никогда не догнать цель, для этого достаточно предположить, что
w u

w
u .
Перейдем от индивидуального описания преследователя и цели (3.1) к относительному движению, для этого вычтем из уравнений движения точки C
уравнения движения точки M.
,
CM
CM
C
M
CM
C
M
CM
x
C
x
x
x
C
M
CM
C
M
C
M
CM
y
x
x
M
y
V
x
x
x
y
y
y
V
V
V
V
V
V
V




 





 


 



 
 




 






 

 



 


 

r R
R
V V
V
w u
(3.2)

Изм. Лист
№ докум.
Подпись Дата
Лист
112
24.05.06.2019.356.00
ПЗ ВКР
Перепишем уравнения (3.2) в векторно-матричной форме:
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0
1 0 1
,
CM
CM
CM
CM
CM
CM
CM
CM
x
x
x
y
x
y
y
y
c
c
c
x
x
y
y
u
w
x
V
V
u
w
V
V
A x B u G w




















 
















 













 






























(3.3) где
x – вектор состояния,
4
x

;
u
– вектор управления,
2
u

;
w
– вектор возму- щений,
2
w

;
c
A – матрица состояния,
4 4
c
A


;
c
B – матрица управления,
4 2
c
B


;
c
G – матрица возмущений,
4 2
c
G


Отметим, что в силу Предположений 1 и 2 множества управления и возмущений имеют вид




2 2
2 2
:| |
,
:| |
,
U
u
u
W
w
u
w
w u
w







(3.4)
Теперь сформулируем задачу наведения как задачу управления динамической системой (3.3) с ограничениями (3.4).

Изм. Лист
№ докум.
Подпись Дата
Лист
113
24.05.06.2019.356.00
ПЗ ВКР
начать двигаться в сторону цели так, чтобы при приближении к цели выполнялось условие (3.5). Добиться этого можно, используя, например, следующую логику: полпути осуществлять разгон с максимальным ускорением (в силу (3.4)) и полпути совершая торможение с таким же по модулю ускорением. В таком случае время сближения
T
составит не более чем
2 2| (0)|
x
T
u

В таком случае Задача 1 решается программным управлением довольно простого вида.
2. Теперь предположим, что цель маневрирует посредством изменения вектора
w
. В таком случае программное управление вряд ли решает нашу задачу. Поэтому необходимо организовать некоторую процедуру позиционного управления, т.е. управления с обратной связью.
В дальнейшем будем рассматривать случай b, причем для двух вариантов: в предположении, что действия цели –
w
случайны или независимы от действий преследователя –
u
; и в условиях погони, т.е. в предположении, что
w
формируется так, чтобы условие Ошибка! Источник ссылки не найден. либо выполнилось как можно позже, либо не выполнилось вообще.
3.2.2 Переформулировка задачи в терминах MPC
Для решения поставленной Задачи 1 рассмотрим современный подход к организации позиционного управления на основе прогноза относительного движения – Model Predictive Control (MPC).
Для реализации указанного подхода необходимо получить вспомогательную дискретную модель системы (3.3). Для этого выполним дискретизацию модели относительного движения (3.3). Поскольку модель (3.3) довольно проста, то без особых затруднений получается соответствующая рекуррентная модель:
2 2
2 2
1 0 0
0.5 0
0.5 0
0 1 0 0
0.5 0
0.5
(
1)
( )
( )
( )
0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0
( )
( )
( ),
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
T
T
T
T
T
T
x k
x k
u k
w k
T
T
T
T
Ax k
Bu k
Gw k




















 






























(3.6) где
k
–k-ый шаг дискретного времени,
s
t kT

;
s
T – шаг дискретизации по времени,
0
s
T

;
, ,
A B G – дискретные аналоги матриц непрерывной системы , ,
c
c
c
A B G .
Важно отметить, что для модели (3.6) ограничения (3.4) сохраняют свою силу.

Изм. Лист
№ докум.
Подпись Дата
Лист
114
24.05.06.2019.356.00
ПЗ ВКР
Заметим, что если мы строим кусочно-постоянное управление в силу дискретной системы (3.6), т.е.


( , ): ( ) const
,(
1)
s
s
k
u k
u k
t
k
T
T





, которое поступает в модель преследователя (3.1), то возмущение, вообще говоря, может быть любой функцией, удовлетворяющей ограничениям (3.4). Поэтому дискретная модель (3.6) уже содержит некоторую методическую погрешность, величина которой определяется выбором шага
s
T .
Перейдем к организации пошаговой процедуры управления. Для этого построим прогноз вектора состояния на
N
шагов вперед в силу дискретной модели (3.6).
(
1)
( )
( )
( ),
(
2)
(
1)
(
1)
(
1),
(
3)
(
2)
(
2)
(
2),
(
)
(
)
(
)
(
).
x k
Ax k
Bu k
Gw k
x k
Ax k
Bu k
Gw k
x k
Ax k
Bu k
Gw k
x k N
Ax k N
Bu k N
Gw k N
 


 
 
 

 
 
 








Величина
N
называется горизонтом прогнозирования. Обратим внимание на то, что прогноз определяется только текущим состоянием
( )
x k , последовательностью управлений:


( |
1)
, (
( ), (
1),
1)
u k k N
u k u
u k
k
N







, которые совершит преследователь в будущем и последовательностью возмущений:


( |
1)
, (
( ), (
1),
1)
w k k N
w k w
w k
k
N







, которые совершит цель.
Действительно, подставив
(
1)
x k

из первого уравнения во второе, затем результат для
(
2)
x k

в третье и так далее, получим
2 1
3 2
0 2
1 0
(
1)
( )
( )
( ),
(
2)
( )
( )
(
1)
( )
(
1),
(
3)
( )
( )
(
1)
(
2)
( )
(
1)
(
2),
(
)
( )
(
)
(
).
N
N
i
i
N
i
i
x k
Ax k
Bu k
Gw k
x k
A x k
ABu k
Bu k
AGw k
Gw k
x k
A x k
A Bu k
ABu k
Bu k
A Gw k
AGw k
Gw k
x k N
A x k
A Bu k i
A Gw k i




 


 


 


 


 
 


 




 



(3.7)
Введя в рассмотрение вектор прогноза (
1|
)
x k
k N


:

Изм. Лист
№ докум.
Подпись Дата
Лист
115
24.05.06.2019.356.00
ПЗ ВКР
(
1)
(
2)
(
1|
)
(
)
x k
x k
x k
k N
x k N


















,
(3.8) можно переписать уравнения (3.7) в векторно-матричном виде свободное управляемая часть вклад от возмущений движение движения
(
1|
)
( )
( |
1)
( |
1)
u
w
x k
k N
Fx k
H u k k N
H w k k N




  
 
,
(3.9) где
4 4
2 4
2
,
,
N n
N N
N N
u
w
F
H
H






–матрицы со следующей структурой:
2 1
2 1
2 0
0 0
0 0
0
,
,
u
N
N
N
N
N
w
A
B
G
A
AB
B
AG
G
F
H
H
A
A B A B
B
A G A G
G











































Таким образом, мы подошли к тому, чтобы переформулировать Задачу 1 в терминах MPC.
Задача 2. Пусть имеется некоторый критерий, характеризующий качество решения Задачи 1на последующие
N
шагов и определяемый функционалом

 

(
1|
)
( ), ( |
1), ( |
1)
J J x k
k N
g x k u k k N
w k k N




 
 
(3.10)
Тогда требуется построить последовательность управлений
( |
1)
u k k N
 
таким образом, чтобы функционал (3.10) принимал наименьшее возможное значение.
Сразу скажем, что функционал (3.10) ни в коем случае не отражает качество решения Задачи 1 в целом, в этом и состоит основная идея MPC. Об оптимальности всего процесса сближения мы речи не ведем. Мы лишь строим процедуру управления, стараясь выполнить последующие
N
шагов как можно лучше с точки зрения критерия (3.10).
3.2.3 О выборе шага дискретизации, горизонта прогнозирования и критерия качества
Подойдем к выбору шага дискретизации в рассматриваемой задаче из следующих соображений. Если процесс сближения начинается на большом расстоянии, то выбирать довольно мелкий
s
T на первом этапе не имеет никакого смысла. Это повлечет за собой лишь увеличение времени моделирования движения, и вряд ли существенно убыстрит решение Задачи 1, поскольку, по