Файл: Цифровое моделирование оптических отражательных характеристик целей.pdf

128 алгоритма (3.13) по критерию СКО e[i], i = 1, 2, … проиллюстриро- ван на рис. 3.15.
3.3.2. Структурные составляющие импульсной ЭПР
Результаты коррекции умеренно сглаженного временного про- филя
, 2
( )
S
t
A
t ЭПР наглядно показывают принципиальную возмож- ность идентификации параметров структурных компонент переход- ной характеристики 3D-объекта. В частности, запаздывание
( ,1)
S
n
T
хронологической последовательности зондирующих импульсов


( ,1)
,1
S
S
n
i
t T

(n = 1, …, N) для модели (3.10) «разрывной» состав- ляющей
,1
,disc
( )
S
t
A
t удается оценить с помощью анализа положения точек перегиба реконструированной импульсной ЭПР [54]. Необхо- димую для этого вторую производную сигнала
,1
(
)
S
t
a
m t

(m = 0, …, M) рационально рассчитывать с помощью локально взвешенной квадратичной регрессии, например, на основе цифро- вой модели наименьших квадратов, взвешенных расстоянием [55].
Рис. 3.15. Сходимость рекуррентного алгоритма обращения свертки

129
В рамках такого подхода сигнал
,1
(
)
S
t
a
m t
 (m = 0, …, M) предвари- тельно сглаживают достаточно коротким гауссовским импульсом
i
S
,3
(t) длительностью t
S
,3
:


,3
,1
,3
,3 0
(
)
(
)
(
)
,
S
S
K
t
S
t
S
k
a
m t
i
k t a
m k t
K
i
t

 

 



Значения
,3
(
)
S
t
a
k t
 , полученные для дискретных отсчетов времени
m J
k
m J
  
 , аппроксимируют полиномом второй степени:
,3 2
0 1
2
(
| )
( )
( )
( ) ,
S
t
a
k t m
p m
p m j
p m j
j
k m




 

(3.14)
Текущие оптимальные коэффициенты полинома


т
0 1
2
( )
( ),
( ),
( )
P m
p m p m p m


выбирают из условия минимума взвешенной СКО аппроксимации
 




,3
,3 2
2
( )
min
( )
(
| )
(
)
,
exp
( )
,
1
exp
S
S
J
t
t
j
J
E P m
w j a
k t m
a
k t
w j
j


















 

 
 



где
0
  и
0
  — эмпирические коэффициенты; (1 2 )
J t

 и
 — временной интервал и параметр сглаживания сигнала. Вес
( )
w j СКО обратно пропорционален относительному времени j t
 .
Поэтому значимый вклад в оценку коэффициентов локальной квад- ратичной регрессии
,3
(
| )
S
t
a
k t m


вносят лишь те наблюдения
,3
(
)
S
t
a
k t
 , k m
J

 , для которых отсчеты времени k t
 близки к текущему моменту m t
 по критерию веса ( )
w j
Минимизация указанной выше целевой функции приводится к системе нормальных линейных уравнений ( ) ( )
( )
C m P m
D m



, где

130
( )
C m
и ( )
D m

— взвешенные расстоянием корреляционная матрица регрессора
0 1
2 1
2 3
2 3
4
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ,
( )
( ),
0,
, 4,
( )
( )
( )
J
n
n
j
J
c m
c m
c m
C m
c m
c m
c m
c m
j w j
n
c m
c m
c m







 







и корреляционный вектор данных


т
,3 0
1 2
( )
( )
( )
( ) ;
( )
( )
(
),
0, 1, 2.
S
J
n
n
t
j
J
D m
d m
d m
d m
d m
j w j a
k t
n







Оценка второй производной сигнала
,1
(
)
S
t
a
m t
 (m = 0, …, M), основанная на его регрессионной модели (3.14), очевидно, имеет вид


,1 0
1 0
1 2
1 2
2 3
2 2
2
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 ( )
det
( )
S
t
t m t
c m
c m
d m
c m
c m
d m
c m
c m
d m
d
a
t
p m
dt
C m
 






(3.15)
На рис. 3.16 представлены реконструированный временной профиль
,1
( )
S
t
a
t (линия 1 в масштабе левой шкалы) и результаты расчета по формуле (3.15) второй производной (линия 2 в масштабе правой шкалы) импульсной ЭПР самолета МиГ-23. Вычисления выполнялись для следующих параметров предварительного сгла- живания K = 8 и локально взвешенной квадратичной регрессии:
0,1706;
 
9,5314;
  
0,5;
 
J = 4.
Положение точек перегиба импульсной ЭПР
,1
( )
S
t
A
t опреде- ляют по фактам p
2
(m − 1)p
2
(m) < 0, m = 1, …, M пересечения вто- рой производной нулевого уровня. Дополнительное условие
,1
,1
( )
max
( )
S
S
t
t
t
a
t
a
t
R





позволяет не учитывать точки перегиба на уровне шумов сигнала. Рис. 3.17 иллюстрирует результаты

131
Рис. 3.16. Импульсная ЭПР:
1 — реконструированная; 2 — вторая производная временного профиля
Рис. 3.17. Временнóе положение точек перегиба импульсной ЭПР

132 идентификации интервалов
( )
( )
2 1
2
,
S
S
n
n
t
t




 , определяющих временнóе положение импульсов
( )
(
)
S
S
n
i t T

, n = 1, …, 11 разрывной компо- ненты (3.10) ЭПР самолета МиГ-23. Оценки получены для уровня ослабления R = 50.
Прореживание значений сигнала
,1
( )
S
t
a
t и его последующая ли- нейная интерполяция на интервалах
( )
( )
2 1
2
,
,
S
S
n
n
t
t




 n = 1, …, N, позво- ляют выделить непрерывную структурную составляющую
,1
,cont
( )
S
t
a
t реконструированного временного профиля ЭПР. Очевид- но, что «разрывную» компоненту рассчитывают по формуле
,1
,1
,1
,disc
,cont
( )
( )
( )
S
S
S
t
t
t
a
t
a
t
a
t


. Результаты такой процедуры оценки структурных составляющих импульсной ЭПР самолета МиГ-23, восстановленной для длительности гауссовского зондирующего импульса 1 нс и ракурса

=

= 45º, представлены на рис. 3.18.
Кривая 1 на рисунке изображает непрерывную компоненту ЭПР, кривая 2 — разрывную. Ложный фрагмент непрерывной составля- ющей на интервале 2…7 нс обусловлен погрешностями коррекции импульсной ЭПР (см. рис. 3.14).
Рис. 3.18. Структурные составляющие импульсной ЭПР самолета МиГ-23:
1 — непрерывная; 2 — разрывная

133
3.3.3. Полигауссовская модель разрывной составляющей
переходной характеристики цели
Параметрическое описание разрывной компоненты импульсной
ЭПР позволяет решать практически важные задачи синтеза и анали- за лазерных систем:
• цифровое моделирование локационных сигналов в режиме ре- ального времени;
• формирование информативных признаков для распознавания и классификации целей.
Физически интерпретируемой является, например, полигаус- совская модель [54] разрывной части временного профиля ЭПР
2
,disc
1 1 2
( )
(
),
( )
exp ln 10 ,
S
N
t
n S
n
S
S
n
t
A
t
A i t T
i t
t



















где N — число областей интенсивного отражения; A
n
и
2
n
cT
—
ЭПР n-й области и ее удаление от локатора. Однако в рамках сфор- мулированных выше задач рационально аппроксимировать разрыв- ную составляющую временного профиля ЭПР, нормированную по площади:
,disc
0
,disc
0 0
( )
( )
,
( ) .
S
S
S
T t
t
t
a
t
f t
A
a
t dt
A




Эффективной, на наш взгляд, является модель конечной смеси
1 1
( | )
( | ,
),
1,
N
N
n n
n
n
n
n
n
f t p
W f t T
W










(3.16) например, гауссовских парциальных импульсных ЭПР
2
( )
1
( | ,
)
exp
,
( )
2 2
n
n
n
n
n
n
n
n
D t
t T
f t T
D t



 










Здесь


1 1
1
,
,
, ,
,
,
,
,
,
N
N
N
p
W
W T
T



   

— вектор парамет- ров модели. Веса W
n
, а также характеристики положения T
n
и мас-

134 штаба

n
(n = 1, …, N) парциальных импульсов удобно оценивать с помощью модифицированного EM-алгоритма [56]. В рамках такого подхода стандартной целью обучения модели (3.16) является мак- симизация функционала правдоподобия Фишера




opt
0
Arg max
( ) ,
( )
ln
( | )
( ) .
S
T t
p
p
L p
L p
f t p f t dt










(3.17)
На наш взгляд, рациональной целью обучения является также минимизация функционала расстояния Бхатачария


opt
0
Arg min
( ) ,
( )
ln
( | ) ( )
S
T t
p
p
D p
D p
f t p f t dt




 











(3.18)
Решение этих задач условной оптимизации дает систему нели- нейных уравнений [56] относительно параметров p

импульсных
ЭПР блестящих областей:


0 0
2 2
2 0
1
| ,
( | ) ;
( )
1
( | , ) ( | ) ;
(
1,
, )
( )
1
( | , ) ( | )
( )
S
S
S
T t
n
T t
n
n
T t
n
n
n
W
W n t p r t p dt
R p
T
tW n t p r t p dt
n
N
W R p
t W n t p r t p dt T
W R p










 



 















(3.19)
Здесь ( | )
r t p

— весовая функция, определяемая функционалом ка- чества оценок параметров смеси,
0
( ) для правдоподобия;
( | )
( )
( | ) ;
( | ) ( ) для расстояния;
S
T t
f t
r t p
R p
r t p dt
f t p f t












( | , )
( | ,
)
( | )
n n
n
n
W n t p
W f t T
f t p






— апостериорный вес (надеж- ность) ассоциации текущего отсчета f (t) нормированной разрывной

135 составляющей импульсной ЭПР с n-й областью интенсивного отра- жения на поверхности 3D-объекта. Отметим, что апостериорные ве- са реализуют механизм автоматической мягкой классификации от- счетов ЭПР по соответствующим отражающим областям на по- верхности цели. Оценивая надежность всех возможных гипотез, модель (3.16) можно назвать адаптивной. Иными словами, модель способна подстраивать свои параметры к изменению ракурса наблюдения объекта локации.
Каноническая форма системы уравнений (3.19) позволят полу- чать ее решение с помощью простейшего численного метода после- довательных приближений. Соответствующий пошаговый алгоритм представлен в приложении 2. В качестве начальных приближений параметров модели (3.16) рационально выбирать следующие [54]:
( )
( )
( )
( )
2 1
2 2
2 1
[0] 3
[0]
[0] 3
[0]
1
[0]
;
[0]
;
2 2
[0]
[0]
( ) ;
[0]
(
1,
, ).
[0]
n
n
n
n
S
S
S
S
n
n
n
n
n
n
T
n
n
n
N
T
k
k
T
w
w
f t dt W
n
N
w


 
 


 
  





 


Оценки максимального правдоподобия параметров полигаус- совской модели (3.16) для реконструированной разрывной состав- ляющей
,1
, disc
( )
S
t
a
t импульсной ЭПР самолета МиГ-23 представлены в табл. 3.2.
Соответствующие модельные приближения
0
( | )
A f t p


показаны на рис. 3.19. Кривые 1 в масштабе левой шкалы отвечают начальному приближению параметров (рис. 3.19,
а) и десятой итерации —
(рис. 3.19, б). Кривые 2 в масштабе правой шкалы иллюстрируют заметное снижение погрешностей аппроксимации
,1
, disc
( )
( )
S
t
e t
a
t


0
( | )
A f t p



. Процесс сходимости модифицированного EM-алгоритма, основанного на критерии правдоподобия (3.17), демонстрирует рис. 3.20. Сходимость алгоритма достигается практически за три итерации обучения модели.
В табл. 3.2 также представлены оценки параметров полигаус- совской модели, полученные с помощью критерия минимума рас-

136 стояния (3.18). В этом случае EM-алгоритм сходится за четыре ите- рации (рис. 3.21). Важно отметить, что плавная сходимость алго- ритма, основанного на критерии расстояния, подтверждает эффек- тивность применения комбинированной цели обучения модели [56].
В частности, первую итерацию обучения рационально выполнять на основе критерия правдоподобия, что обеспечивает кардинальный шаг в область субоптимальных параметров. Последующие итера- ции, основанные на критерии расстояния, обеспечивают точную настройку параметров модели.
Таблица 3.2
Оптимальные оценки параметров полигауссовской модели
импульсной ЭПР
n
Начальное приближение
Правдоподобие
Расстояние
( [0])
2,536 725
L p
 

( [0])
0,020 404
D p


( [10])
–2,491 977
L p


( [10])
0,006 346
D p


( [10])
–2,495 230
L p


( [10])
0,006 431
D p


W
n
[0]
T
n
[0]

n
[0]
W
n
[0]
T
n
[0]

n
[0]
W
n
[0]
T
n
[0]

n
[0]
1 0,041 037 0,65 0,38 0,041 126 0,71 0,29 0,040 816 0,72 0,27 2 0,032 732 2,90 0,33 0,032 802 2,81 0,34 0,032 772 2,81 0,33 3 0,046 987 5,85 0,46 0,047 153 5,79 0,52 0,047 245 5,79 0,50 4 0,013 909 8,80 0,33 0,013 921 8,74 0,38 0,013 926 8,74 0,37 5 0,007 037 10,90 0,33 0,004 936 10,96 0,34 0,004 797 10,96 0,31 6 0,006 049 12,10 0,33 0,004 200 12,01 0,27 0,004 098 12,01 0,25 7 0,015 677 14,50 0,33 0,015 512 14,49 0,28 0,015 446 14,49 0,27 8 0,071 579 16,70 0,33 0,071 870 16,67 0,34 0,072 093 16,67 0,32 9 0,160 965 18,90 0,33 0,161 619 18,90 0,36 0,162 425 18,91 0,35 10 0,110 003 28,60 0,33 0,110 450 28,60 0,34 0,110 594 28,60 0,33 11 0,172 804 33,30 0,33 0,171 981 33,31 0,36 0,171 755 33,31 0,35 12 0,083 061 35,25 0,29 0,084 923 35,13 0,35 0,084 391 35,13 0,33 13 0,238 159 50,65 0,37 0,239 125 50,52 0,30 0,239 128 50,51 0,29

137
а
б
Рис. 3.19. Полигауссовская аппроксимация разрывной составляющей импульсной ЭПР самолета МиГ-23:
а — начальная; б — после 10-й итерации

138