Файл: Цифровое моделирование оптических отражательных характеристик целей.pdf

139
В соответствии с результатами работы [53] реконструированная
«разрывная» компонента переходной характеристики 3D-объекта имеет вид




,
disk
0 1
( | , )
( , )
( , )
( , ) ,
N
n
n
n
h
t
A
W
u t T
 

  
 
 

 

(3.20) где u(t) — функция включения Хевисайда; N(

,

) — число обла- стей интенсивного отражения на поверхности цели, наблюдаемой под ракурсом (

,

); A
0
(

,

); W
n
(

,

) и cT
n
(

,

)

2 — ЭПР и уда- ление от локатора n-й «блестящей» области.
3.4. АНАЛИЗ НЕПРЕРЫВНОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ
ПЕРЕХОДНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЦЕЛИ
МОДИФИЦИРОВАННЫМ МЕТОДОМ ГЛАВНЫХ
КОМПОНЕНТ
Представленная в работах [1, 3] методика цифрового моделиро- вания ПХ построена по принципу цифровой имитации физических процессов отражения оптического излучения объектом локации. Ма- тематическое описание сложной пространственной конфигурации цели и фотометрических характеристик отражения зондирующего излучения ее покрытием воспроизводит в вычислительном экспери- менте условия натурных измерений. В этом смысле данная цифровая модель является эталонной, т. е. не является, по определению, моде- лью реального времени, так как предполагает значительные вычис- лительные затраты. Вместе с тем возможность получения на ее осно- ве оценок статистических характеристик ПХ позволяет решить такие важные в практических приложениях задачи, как сжатие данных и моделирование в режиме реального времени временного профиля отраженных импульсов, а также построение информативного при- знакового пространства малой размерности для классификации це- лей. Широко распространенный подход к решению сформулирован- ных задач связан с применением метода главных компонент (дис- кретного преобразования Карунена — Лоева).

140
3.4.1. Статистики непрерывной составляющей переходной
характеристики
Обычно ориентация цели относительно направления ее облуче- ния является случайной. Поскольку непрерывная составляющая нормированной ПХ h
cont
(

|

,

) [1] зависит от случайных углов

и

, определяющих ракурс объекта, она также будет случайной функ- цией времени. Аналогично непрерывные составляющие отража- тельных характеристик в виде ЭПР A
cont
(

,

) и размера T
cont
(

,

) цели будут являться СВ. Статистические свойства перечисленных характеристик важны при решении широкого круга задач модели- рования, заметности и классификации целей. Их исследование удобно проводить методами теории функций случайных аргумен- тов. С учетом правила статистического усреднения функции
h
cont
(

|

,

) непрерывная составляющая нормированной ПХ, усред- ненная по всем ракурсам объекта, и ее автокорреляционная функ- ция определяются соотношениями




2 2
2 0
2 2
2 1
2 2
0 2
( )
| ,
( , )
;
( )
( | , ) (
| , )
( , )
,
h
h
W
d d
R
h
h
W
d d
 
 
 
 
 
  
   
 
  
  
   
 
 
(3.21) где W
2
(

,

) — совместная ПВ СВ

и

. Статистическое усредне- ние функций A
cont
(

,

) и T
cont
(

,

) по ракурсам объекта дает начальные моменты распределений непрерывных составляющих отражательных характеристик в виде ЭПР и размера цели соответ- ственно:
2 2
,
,cont
2 0
2 2
2
,
,cont
2 0
2
( , ) ( , )
;
( , ) ( , )
A K
K
T K
K
m
A
W
d d
m
T
W
d d
 
 
 
 

 
   

 
   
 
 

141
На практике довольно сложно определить закон распределения углов

и

для конкретных типов объектов. Поэтому, как правило, полагают, что все направления облучения цели равновероятны.
В этом случае совместная ПВ СВ

и

будет равна W
2
(

,

) =
= sin(

+

/2)

(4

). Наибольший практический интерес представ- ляют первые четыре момента распределения, по которым рассчиты- вают МО m
A
, СКО

A
, коэффициенты асимметрии

A, 3
и эксцесса

A, 4
[20]. Аналогичные оценки нетрудно получить для статистиче- ских моментов пространственной диаграммы размера объекта
T
cont
(

,

).
Для расчета статистических свойств ПХ численным интегриро- ванием соответствующего выражения удобно использовать адап- тивный кубатурный алгоритм, принципы организации которого бы- ли описаны в работе [3]. Поскольку h
cont
(

|

,

) вычисляется путем двукратного интегрирования по координатам (y, z) картинной плос- кости, статистические оценки фактически рассчитываются четы- рехкратным интегрированием в гиперкубе по координатам
(y, z,

,

). Эффективными методами вычисления многократных ин- тегралов являются оценки статистических испытаний. Однако для их применения требуется расчет параметров геометрической моде- ли в каждой точке гиперкуба (y, z,

,

). Это приводит к потере эф- фективности, тогда как при последовательном применении куба- турных формул параметры геометрической модели необходимо пе- ресчитывать только при интегрировании по углам

,

. Кроме того, последовательное применение кубатурных формул позволяет полу- чить фиксированные сечения пространственных диаграмм ЭПР и размеров объекта одновременно с вычислением их статистических характеристик. Поэтому расчет начальных моментов ЭПР и разме- ров объекта рационально выполнять с помощью последовательного применения двух адаптивных кубатурных подпрограмм.
При интегрировании по углам ракурса

,

сетку целесообразно формировать для подынтегральной функции, соответствующей чет- вертой степени ЭПР, как наиболее подробную (т. е. мелкую) по от- ношению к остальным начальным моментам.

142
Важное преимущество предложенного подхода к оценке стати- стических характеристик ЭПР и размеров объекта состоит также в следующем. Последовательное применение кубатурных формул позволяет получить состоятельные выборки значений простран- ственных диаграмм A
cont
(

,

) и T
cont
(

,

), по которым, в свою оче- редь, можно оценить гистограммы соответствующих СВ. Разбивая диапазон значений ЭПР на интервалы, можно приближенно рассчи- тать значения плотности вероятности ЭПР в каждом интервале как отношение


i
i
P a
A
a
a
a


 
 , где


— размер разрядного интервала гистограммной оценки ПВ. Вероятность попадания зна- чений ЭПР в i-й сферический слой ее диаграммы определяется ин- тегралом


2
(
)
( , )
i
i
i
i
D
P a
A a
a
P
W
d d


  

   

(3.22) по множеству D
i
направлений (

,

) на источник, для которых ЭПР удовлетворяет условию
i
i
a
A
a
a


  . Чем меньше размер ин- тервала


, тем точнее оцениваются значения ПВ ЭПР и тем более подробную сетку необходимо формировать при интегрировании в выражении (3.22) по многосвязной области D
i
Расчет значений A
cont
(

,

) требует значительных вычислитель- ных затрат. Поэтому оценку ПВ ЭПР по формуле (3.22) целесооб- разно формировать по ее значениям A
cont
(

,

), полученным при вы- числении начальных моментов m
A, K
. При этом определение обла- стей D
i
и интегрирование по ним рационально выполнять с мелким шагом вычислений функции

2 2
cont
00 10 01 20 11 02 2
2 2 2 21 12 22
( , )
A
g
g
g
g
g
g
g
g
g
  

 
 
 
 
 

  
 
 
Эта функция представляет собой результат интерполяции зна- чений ЭПР в узлах адаптивной сетки, сформированной ранее куба- турным алгоритмом. Коэффициенты интерполяционного прибли-

143 жения рассчитывают с помощью кубатурной формулы Симпсона
(3.2) на текущей элементарной ячейке интегрирования размером


   :
(1,0)
( 1,0)
(0,1)
(0, 1)
(0,0)
00 10 01
;
;
;
A
A
A
A
g
A
g
g













( 1,0)
(1,0)
(0,0)
20 2
2 2
;
A
A
A
g






( 1, 1)
( 1,1)
(1, 1)
(1,1)
11
;
A
A
A
A
g
 


 




 


(0, 1)
(0,1)
(0,0)
02 2
2 2
;
A
A
A
g








( 1,1)
(0, 1)
(0,1)
(1, 1)
( 1, 1)
(1,1)
21 2
2 2
2
;
A
A
A
A
A
A
g



 
 






 


( 1, 1)
( 1,0)
( 1,1)
(1, 1)
(1,0)
(1,1)
12 2
2 2
2
;
A
A
A
A
A
A
g
 



 







 
1 1
( , )
1 1
22 2
2 1
2 1
4
;
2 4
2 .
1 2
1
j k
jk
j
k
jk
c A
g
c


 


 

 

 
Здесь A
( j, k)
— значение пространственной диаграммы ЭПР
A
cont
(

,

) в узле сетки с угловыми координатами
(2 )
(0)
2
j
j


   
и
(2 )
(0)
2
k
k


   
относительно централь- ной точки
(0)
(0)
(
,
)


текущей элементарной ячейки интегрирования
(см. рис. 3.1).

144
3.4.2. Метод главных компонент
Пусть ( , )
H
 

— N-мерный вектор-столбец отсчетов непре- рывной части нормированной ПХ объекта локации, отражающего сигнал с фиксированного ракурса (

,

): т
1
cont
( , ) ( ,
,
) ;
(
| , ) (
1,
, ).
N
n
H
h
h
h
h
n
n
N
  


  
 

Ее усреднение по ракурсам в соответствии с (3.21) дает автокорре- ляционную матрицу

,
(
,
) ( ,
1,
, )
ij
ij
R
r
r
R i
j
i j
N


 
 
размером N × N, где


— шаг дискретизации по времени. Наилуч- шая аппроксимация нормированной ПХ в смысле критерия мини- мума СКО представляет собой разложение в ряд по собственным векторам автокорреляционной матрицы [33]:




1
т
1
( , )
( , );
(
,
,
);
( , )
( , ),
,
( , ) .
M
M
H
X
X
x
x
     
  

  
 
 







(3.23)
Здесь 
 — ортонормированная матрица размером N × M, состав- ленная из первых M собственных векторов-столбцов
j


( j = 1, …, M) автокорреляционной матрицы R, а M — ранг ее эф- фективной аппроксимации [24] вида

т
1 2
1
;
0,
M
j
j
j
M
j
R


  
   
 

 


соответствующей первым M значимым собственным значениям

j
матрицы R; ( , )
X
 

— подлежащий определению M-мерный век- тор-столбец пространственных гармоник объекта. Известно [33],

145 что выбор пространственных гармоник вида т
opt
( , )
( , )
X
H
   
 

 
обеспечивает минимальное значение СКО аппроксимации

 

2 2
2 2
min
2 1
0 2
т
2
opt opt
( )
(
| , )
( , )
;
(
| , )
( , )
( , )
( , )
( , ) .
M
N
M
e M
W
d d
e M
H
X
H
X
 




 
     

 
  
   
 
   
 
 


 

 
Как правило, вариационный ряд собственных значений авто- корреляционной матрицы
1 2
N
   
 

убывает весьма быстро, так, что относительная погрешность (

M + 1
+…+

N
)

(

1
+…+

N
) становится приемлемо малой, начиная с небольших значений M.
Другими словами, небольшое число пространственных гармоник
x
1
(

,

), …, x
M
(

,

) объекта обеспечивает, как правило, приемле- мую для практики точность аппроксимации ансамбля непрерывной части нормированной ПХ, рассчитанных для различных ракурсов с помощью методики, представленной в разд. 3.2. Указанное обстоя- тельство является основой для решения задач сжатия данных и со- здания модели реального времени.
Важно отметить, что дискретное разложение Карунена — Ло- ева хорошо согласуется с физическим смыслом решаемой задачи.
В выражении (3.23) собственные векторы — это результат дискре- тизации по времени собственных функций цели т
1
(
,
,
) ,
(
) (
1,
, ) (
1,
,
),
j
j
Nj
nj
j
n
n
N
j
M
    
  

 
 

инвариантных к ее ракурсу. Таким образом,


— это ортонорми- рованный базис признакового подпространства, характеризующий форму гладкой части объекта локации. Пространственные диаграм- мы гармоник x
1
(

,

), …, x
M
(

,

) представляют собой проекцию непрерывной части нормированной ПХ с фиксированного ракурса на инвариантные к ракурсу признаки формы гладкой части цели.
Классический метод главных компонент не учитывает ряда ограничений, присущих нормированной ПХ. Именно аппроксима-

146 ция (3.23) должна давать неубывающую функцию времени в интер- вале ее изменения [0, 1]. Поэтому задачу квадратичной оптими- зации

2
opt opt
( , )
Arg min
( , )
( , )
X
H
X
  
   
 



с дополнительными ограничениями
1 0
1
N
h
h


 рационально сформулировать в терминах релаксационных методов решения си- стем линейных неравенств [57]. Применительно к данному случаю система линейных неравенств состоит из трех блоков:
1) непрерывная часть нормированной ПХ — неубывающая функция времени




1 1
(
) ( , ) 0 1, ...,
1 ;
M
nj
j
n
j
j
x
n
N


  
  



2) ограничение снизу на аппроксимацию непрерывной части нормированной ПХ:
1 1
( , )
0
M
j
j
j
x



  

— левая граница области изменения;
1 2
1
( , )
( , )
( )
0 (
, ,
,
);
M
kj j
k
K
j
x
h
M
k
n n
n



  
   




1
( , ) 0, 95 0
M
N j j
j
x



  


— правая граница области изменения
;
3) ограничение сверху на аппроксимацию непрерывной части нормированной ПХ:
1 1
( , ) 0, 05 0
M
j j
j
x


  


— левая граница области изменения;
1 2
1
( , )
( , )
( )
0 (
, ,
,
);
M
kj j
k
K
j
x
h
M
k
n n
n


  
   




1
( , ) 1 0
M
N j j
j
x


   

— правая граница области изменения.

147
Здесь


1 ( )
K
M


— число ограничений снизу или сверху на ап- проксимацию непрерывной части нормированной ПХ внутри ин- тервала (0, 1);

(M) — заданная абсолютная погрешность аппрокси- мации. Квадратные скобки в последнем равенстве означают целую часть числа.
Векторная нотация системы линейных неравенств имеет вид
( , ) ( , )
( , ) 0,
X
  
      


(3.24) где A(

,

) — матрица коэффициентов размером L × M, L = N +
+ 3 + 2K; ( , )
  

— L-мерный вектор-столбец ограничений систе- мы линейных неравенств для фиксированного ракурса цели (

,

).