Файл: Цифровое моделирование оптических отражательных характеристик целей.pdf

148 мере одно равенство. Другими словами, если какое либо ограни- чение выполняется с запасом:
1
( , ) ( , )
( , )
0,
M
lj
j
l
j
x

  
        

то его степень жесткости должна быть нулевой y
l
(

,

) = 0. В про- тивном случае степень жесткости соответствующего ограничения положительна, а квадратичная форма т
( , )
( , )
Y
BY
 
 


пропорцио- нальна потерям, возникающим при нарушении этого ограничения.
По этой причине матрицу B называют матрицей потерь. Ясно, что релаксационные переменные целесообразно выбирать из условия минимума возможных потерь:




т opt
( , ) Arg min
( , )
( , ) ( , )
( , ) ,
Y
Y
X
  
    
     




что дает систему нормальных линейных уравнений т
( , ) ( , ) 0
Y
  
  

(3.26) относительно релаксационных переменных.
Всякое решение ( , )
X
 

системы линейных неравенств (3.24), удовлетворяющее уравнениям (3.25) и (3.26), называют компро- миссным. Очевидное преимущество такого решения состоит в ми- нимизации возможных потерь вследствие нарушения некоторых неравенств системы. Метод последовательных приближений поиска компромиссного решения состоит из следующих шагов.
Шаг 0.
Инициализация. В качестве начального приближения компромиссного решения выбрать дискретное разложение Каруне- на — Лоева (здесь и далее зависимость от ракурса опускается, а ин- декс в квадратных скобках означает номер итерации).

т
[0]
X
H
 


Положить номер итерации i = 0.
Шаг 1.
Вычислить степени жесткости неравенств [ ]
Y i


1
(
[ ]
)
B
X i




 


и их евклидову норму
2
[ ] ,
Y i

где вектор
(
[ ]
)
X i


 


имеет нулевые компоненты, если соответствующие

149 компоненты вектора (
[ ]
)
X i

 


отрицательны, т. е. если соответ- ствующие неравенства системы выполняются с запасом на текущей итерации.
Шаг 2.
Вычислить вектор направления коррекции компромисс- ного решения т
[ ]
[ ]
X i
Y i

 


и его евклидову норму
2
[ ]
X i


Если
[ ]
( ),
X i
M

 

то компромиссное решение получено за ко- нечное число шагов. Это первый критерий окончания поиска.
Шаг 3.
Вычислить величину шага в направлении компромисс- ного решения
2 2
[ ]
[ ]
[ ]
Y i
S i
X i




Шаг 4.
Обновить компромиссное решение
[
1]
[ ]
X i
X i
 



[ ]
[ ]
S i
X i



Шаг 5.
Перейти к следующей итерации i = i + 1. Если max
i
I

, то продолжить поиск, начиная с шага 1. В противном случае закон- чить поиск в соответствии со вторым критерием завершения.
3.4.4. Численный эксперимент
В соответствии с представленной методикой проводился анализ главных компонент ПХ широкого класса космических и аэродина- мических объектов в однопозиционных оптических локационных системах. Адаптивная сетка интегрирования в гиперкубе (y, z,

,

) формировалась по следующим значениям критериев [1, 3]:
• абсолютная и относительная погрешности интегрирования двумерной функции яркости в картинной плоскости (y, z) соответ- ственно 0 и 0,01;
• глубина деления области интегрирования по координатам y и z соответственно 5 и 8;
• абсолютная и относительная погрешности интегрирования по вероятным ракурсам цели (

,

) соответственно 0 и 0,05;
• глубина деления области интегрирования по ракурсам

и

для четвертого начального момента m
A
, 4
соответственно 4 и 6.

150
Разложение Карунена — Лоева ПХ выполнялось для следую- щих параметров:
• относительная точность (

M
+ 1
+ … +

N
)

(

1
+ … +

N
) эф- фективной аппроксимации автокорреляционной матрицы ПХ 0,001, а ее размерность N = 255;
• наибольший ранг автокорреляционной матрицы ПХ M = 10;
• погрешность компромиссного решения

(M) = 0,2.
В качестве примера на рис. 3.22 представлены первые восемь собственных функций

j
(

) ( j = 1, …, 8) аэрокосмического корабля
Space Shuttle. Коэффициенты разложения по этим функциям нор- мированной ПХ для некоторых ракурсов облучения корабля приве- дены в табл. 3.3.
На рис. 3.23, а, в, д, ж продемонстрирована точность аппрок- симации ПХ цели для условий ее локации, указанных в соответ- ствующих столбцах табл. 3.3. Для наглядности полученных ком- промиссных решений на рис. 3.23, б, г, е, з представлены синтези- рованные цифровые изображения объекта с соответствующих ракурсов.
Таблица 3.3
Параметры разложения Карунена — Лоева ПХ корабля Space Shuttle
Параметр
Ракурс (

,

)
14, 31 90, −11 9,
−21 145,
−30
A(
, ), м
2 54,63 80,94 42,16 71,6
T(
, ), нс
244,6 87,41 219,4 246,4
x
1
(
, )
10,2256 4,9544 11,4276 13,0112
x
2
(
, )
1,5494 3,1313 1,116 −1,0732
x
3
(
, )
0,2393 1,6139 −0,1548
−0,2169
x
4
(
, )
−0,1739 0,7399 −1,2274 0,1732
x
5
(
, )
−0,4541 0,2037 −0,2609
−0,1605
x
6
(
, )
−0,0129 0,0008 0,1931 0,1237
x
7
(
, )
−0,0601
−0,0311 0,0145 −0,1425
x
8
(
, )
−0,0636
−0,1158 0,0432 0,0176

151
Рис. 3.22. Собственные функции корабля Space Shuttle:
а — первая; б — вторая; в — третья; г — четвертая;
д — пятая; е — шестая; ж — седьмая; з — восьмая

152
а
б
Рис. 3.23 (начало). Нормированные ПХ Space Shuttle (а) и соответствую- щие им синтезированные изображения объекта (б):

= 14º,

= 31º

153
в
г
Рис. 3.23 (продолжение). Нормированные ПХ Space Shuttle (в) и соответ- ствующие им синтезированные изображения объекта (г):

= 90º,

= 11º

154
д
е
Рис. 3.23 (продолжение). Нормированные ПХ Space Shuttle (д) и соответствующие им синтезированные изображения объекта (е):

= 9º,

= –21º

155
ж
з
Рис. 3.23 (окончание). Нормированные ПХ Space Shuttle (ж) и соответствующие им синтезированные изображения объекта (з):

= 145º,

= –30º

156
Рис. 3.24. Кластеры объектов Space Shuttle и Lasp в трехмерном признаковом пространстве
Рис. 3.25. Синтезированное изображение космического объекта Lasp:

= 14º,

= –31º

157
На всех графиках (см. рис. 3.23, а, в, д, ж,) цифрами 1 отмечены расчетные ПХ, полученные с помощью имитационного цифрового моделирования, представленного в работе [3]. Цифрами 2 и 3 отме- чены компромиссные решения и ПХ 1, усредненная по вероятным ракурсам цели. Наглядно видно, что при определенных ракурсах, с которых на объекте можно наблюдать локальные участки интенсив- ного отражения, результаты имитационного моделирования обнару- живают резкие перепады ПХ. Ясно, что этот нелинейный эффект не может быть удовлетворительно описан линейной моделью МГК.
В итоге получено оригинальное решение трех задач анализа и синтеза однопозиционных систем: сжатия информации и компактного хранения в базе данных результатов цифрового моделирования ПХ, расчета их временных профилей в режиме реального времени и, нако- нец, формирования признакового пространства, содержащего инфор- мацию об энергетических свойствах объекта, его размерах и форме.
В качестве примера на рис. 3.24 представлены не перекрывающиеся кластеры космических объектов Space Shuttle и Lasp в простейшем трехмерном пространстве признаков: ЭПР A(

,
), размера цели
T(

,
) и первой гармоники дискретного разложения x
1
(

,
). Послед- ний признак характеризует проекцию ПХ на ее усредненное значение, т. е. степень отличия формы объекта от сферы. Рис. 3.25 иллюстрирует синтезированное изображение космического объекта Lasp.
3.5. ВЕЙВЛЕТ-АНАЛИЗ РАЗРЫВНОЙ
СОСТАВЛЯЮЩЕЙ ПЕРЕХОДНОЙ
ХАРАКТЕРИСТИКИ ЦЕЛИ
Модель реального времени (3.20) основана на полигауссовской аппроксимации временного профиля импульсной ЭПР цели. Аль- тернативным представлением для решения задач синтеза и анализа лазерных систем является структурная модель ПХ в виде ее дис- кретного вейвлет-преобразования. В частности, кратно-масштабный анализ (КМА) [58] разрывной составляющей нормированной ПХ в базисе вейвлета Хаара естественным образом согласуется с ее фи- зическим смыслом. Такая аппроксимация имеет вид disc
1
( | , )
( | , )
( | , )
( | , ),
M
m
M
M
m
h
d
a
e

   
   
   
  

(3.27) где
0 1
   — относительное время; M — число масштабов раз-

158 ложения, согласованное с объемом выборки N = 2
M
дискретной мо- дели ПХ:


disc disc
( | , )
(
1/2)
| ,
,
1/
(
0,
,
1).
h
n
h
n
N
n
N
  

  
 
 

(3.28)
Детализирующая составляющая d
m
(

|

,
) на m-м текущем масштабе КМА представляет собой дискретную свертку
1
,
0 0
( | , )
( , )
(
)
m
N
m
m
m n
m
n
d
N
D
N
n


   
  
 

отсчетов D
m
, n
(

,

) (n = 0, …, N
m
− 1) импульсной характеристики цифрового фильтра высоких частот с вейвлетом Хаара
1, 0 1 2;
( )
1, 1/2 1;
0 0, иначе,

  


   
  



сжатого по времени с коэффициентом N
m
= 2
M
− m
. Аппроксимиру- ющая составляющая КМА a
M
(

|

,
) = A
M
, 0
(

,
)

0
(

) пропорцио- нальна масштабирующей функции Хаара
1, 0 1;
( )
0 0, иначе.

  

   

Отсчеты импульсных характеристик D
m
, n
(

,

) и A
m
, n
(

,

)
(n = 0, …, N
m
– 1) цифровых фильтров высоких и низких частот со- ответственно для текущих масштабов m КМА вычисляют с помо- щью эффективного в вычислительном отношении алгоритма пира- миды Маллата [58]. В основании пирамиды (m = 0) лежит дискрет- ная модель ПХ (3.28). Эта модель инициализирует
0,
disc
( , )
( | , ) (
0,
,
1)
n
A
h
n
n
N
  
 
 


159 рекурсивную по возрастающим масштабам m = m + 1 процедуру вычислений импульсных характеристик цифровых фильтров




,
(
1),2
(
1),(2 1)
,
(
1),2
(
1),(2 1)
1
( , )
( , )
( , )
2
(
0,
,
1);
1
( , )
( , )
( , ) .
2
m n
m
n
m
n
m
m n
m
n
m
n
D
A
A
n
N
A
A
A






  
  
 
 

  
  
 
(3.29)
Первый уровень пирамиды (m = 1) ассоциирован со структур- ной составляющей d
1
(

|

,
) ПХ, аппроксимирующей наиболее мелкие в масштабе времени детали отражательной характеристики объекта локации (рис. 3.26). По мере увеличения m структурные составляющие d
m
(

|

,
) аппроксимируют более крупные детали сигнала. При переходе на более высокий уровень число коэффи- циентов N
m
уменьшается в 2 раза. Вычисления заканчивают на вершине пирамиды при m = M и n = N
M
− 1 = 0. Финальным ре- зультатом является величина A
M
, 0
(

,
), представляющая собой значение разрывной составляющей нормированной ПХ, усреднен- ной на временном интервале 0 1
   . Погрешность аппроксима- ции e
M
(

|

,
) определяется количеством масштабов M разложе- ния (3.27).
Отметим, что в базе данных необходимо хранить лишь про- странственные диаграммы D
1, n
(

,

) (n = 0, …, N

2 – 1), соответ- ствующие первому уровню (m = 1) разложения (3.27), поскольку ал- горитм пирамиды позволяет рассчитывать в режиме реального вре- мени пространственные диаграммы D
m
, n
(

,

) (n = 0, …, N
m
– 1) последующих уровней (m = 2, …, M). Более того, для фиксирован- ного ракурса (

,

), как правило, небольшое количество диаграмм первого уровня удовлетворяют критерию
1,
( , )
(
0,
, /2 1),
n
D
n
N
   
 

(3.30) где


0 — заданный пользователем уровень значимости.

160
Рис. 3.26. Кратно-масштабное разложение разрывной составляющей
ПХ самолета МиГ-23
В качестве примера рассмотрим разрывную составляющую нормированной ПХ самолета МиГ-23 со штатным лакокрасочным покрытием для ракурса наблюдения-облучения

=

= 45º и интер- вала временной дискретизации
t = 0,1 нс. Результаты дискретного вейвлет
-разложения этой отражательной характеристики в базисе вейвлета Хаара для объема выборки N = 2 9
= 512 представлены на рис. 3.26. С указанного выше ракурса всего семь из 256 диаграмм
D
1, n
(

,

) (n = 0, …, 255) имеют отсчеты, значимые по уровню

= 0,01 (рис. 3.27). Эти отсчеты и временные сдвиги t
n
= (2n − 1)
t

161 для масштабированных вейвлетов


0 256 256
n

 
приведены в табл. 3.4.
Таблица 3.4
Значимые коэффициенты первого уровня КМА
разрывной составляющей ПХ самолета МиГ-23
n
1 26 41 92 164 173 249
t
n
, нс
0,1 5,1 8,1 18,3 32,7 34,5 49,7
−D
1, n
0,2093 0,18477 0,045255 0,71276 0,8061 0,4278 0,2185
В итоге обнуление незначимых коэффициентов D
1, n
(

,

)
(n = 0, …, 255) первого уровня КМА по критерию (3.30) и после- дующее применение алгоритма пирамиды (3.29) позволяет в базисе вейвлета Хаара реконструировать в режиме реального времени разрывную составляющую нормированной ПХ (рис. 3.28, кривая 1)
Рис. 3.27. Коэффициенты первого уровня кратно-масштабного разложения разрывной составляющей ПХ самолета МиГ-23

162 самолета МиГ-23 для ракурса

=

= 45º с абсолютной ошибкой аппроксимации (кривая 2) |
e
9
(

|

,
)
|

8,0 · 10
−15