Файл: Вдовин Суркова Валентинов Теория систем и системный анализ.pdf
Добавлен: 12.02.2019
Просмотров: 22698
Скачиваний: 342
75
большом диапазоне изменения входной координаты их можно
считать линейными, а координаты линеаризовать.
В общем случае передаточную функцию линейного объекта
можно представить в виде дроби с полиномами в числителе и
знаменателе:
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
)
(
a
р
a
р
a
р
a
b
р
b
р
b
р
b
р
W
n
n
n
n
m
m
m
m
+
+
+
+
+
+
+
+
=
−
−
−
−
·
·
·
·
·
·
·
·
где условием физической реализуемости данного объекта (эле-
мента, системы) является
n
m
≤
.
Такую дробь можно представить в виде произведения не-
скольких дробей или суммы. Следовательно, любой линейный
объект (систему) можно представить в виде последовательного
(произведение) или параллельного (сумма), или другого соеди-
нения нескольких типовых объектов.
Получение передаточных функций элементов систем —
очень сложный процесс, требующий знания специальных ме-
тодов и технологий, которые изучаются в специальных дисци-
плинах. Для типовых элементов созданы специальные базы этих
функций. Например, для систем регулирования и управления
типовыми элементами могут быть:
1. Усилительное звено:
— передаточная функция:
K
р
W
=
)
(
;
— дифференциальное уравнение:
)
(
)
(
t
x
K
t
y
=
·
,
где K — коэффициент усиления объекта.
2. Апериодическое звено:
I порядка:
— передаточная функция:
1
)
(
+
=
р
T
K
р
W
·
;
— дифференциальное уравнение:
)
(
)
(
)
(
t
x
K
t
y
t
y
T
=
+
′
·
·
.
II порядка:
— передаточная функция:
·
)
1
(
)
1
(
)
(
2
1
+
+
=
р
T
р
T
K
р
W
;
·
·
·
— дифференциальное уравнение:
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
2
1
t
x
K
t
y
t
y
T
t
y
T
t
y
T
T
=
+
′
+
′
+
′′
·
·
·
·
·
,
где Т, Т
1
, Т
2
— постоянные времени объекта.
76
При последовательном соединении нескольких апериоди-
ческих звеньев получаем апериодическое звено более высокого
порядка.
3. Интегрирующее звено:
— передаточная функция:
р
K
р
W
=
)
(
;
— дифференциальное уравнение:
∫
=
t
d
x
K
t
y
0
)
(
)
(
t
t
m
·
.
Примером данного звена является емкость, в которую на-
ливается жидкость. Уровень жидкости в ней повышается с те-
чением времени. Происходит интегрирование, т. е. накопление
вещества в сосуде.
4. Колебательное звено:
— передаточная функция:
1
)
(
2
2
1
+
+
=
р
T
р
T
K
р
W
·
·
.
Корнями такого уравнения, стоящего в знаменателе, явля-
ются комплексные корни;
— дифференциальное уравнение:
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
t
x
K
t
y
t
y
T
t
y
T
=
+
′
+
′′
·
·
·
.
5. Идеально дифференцирующее звено:
— передаточная функция:
р
K
р
W
=
)
(
·
;
— дифференциальное уравнение:
)
(
)
(
t
x
K
t
y
′
=
·
.
Это звено физически нереализуемо.
6. Реально дифференцирующее звено:
— передаточная функция:
1
)
(
+
=
р
T
р
K
р
W
;
·
·
— дифференциальное уравнение:
)
(
)
(
)
(
t
x
K
t
y
t
y
T
′
=
+
′
·
·
.
7. Звено чистого запаздывания:
— передаточная функция:
τ
−
=
р
e
K
р
W
)
(
·
;
— дифференциальное уравнение:
)
(
)
(
τ
−
=
t
x
K
t
y
·
,
где
— время чистого запаздывания.
77
Очень часто объект (система) реагирует на входную коор-
динату с некоторым запаздыванием. Время между моментом
нанесения возмущения и моментом реакции объекта на это воз-
мущение называется временем чистого запаздывания.
Примером такого звена является транспортер: что положи-
ли на начало транспортной ленты, то и получили в ее конце, но
через некоторое время.
Звено чистого запаздывания часто используют при описании
звеньев с распределенными координатами. Их представляют как
последовательное соединение апериодических звеньев I, II и III
порядка и звена чистого запаздывания.
Передаточные функции и графики изменения входного и
выходного параметра усилительного, дифференцирующего,
интегрирующего, апериодического и колебательного элементов
приведены на рис. 1.10.
Рис. 1.10. Отображение типовых звеньев:
а — усилительного; б — дифференцирующего; в — интегрирующего;
г — апериодического; д — колебательного (где Т — постоянная вре-
мени,
— показатель затухания, р — оператор Лапласа)
78
Если соединения элементов в системе образуют сложную
структуру, то передаточная функция системы может быть
найдена путем выполнения соответствующих операций агре-
гирования системы, при этом соединение элементов системы
преобразуется в эквивалентный элемент (рис. 1.11):
•для последовательного соединения элементов (рис. 1.11, а):
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
р
W
р
W
р
W
р
W
n
=
·
·
·
...
;
•для параллельного соединения элементов (рис. 1.11, б):
) + ... W (р);
(
)
(
)
(
2
1
р
W
р
W
р
W
+
=
n
•для элементов с обратной связью (положительной) (рис. 1.11, в):
)
(
)
(
1
)
(
)
(
2
1
1
р
W
р
W
р
W
р
W
−
=
·
.
W
1
W
n
x y
1
y
W
1
W
n
x
x
x
y
1
y
n
y
W
1
W
2
x
x
1
x
2
y
y
а)
б)
в)
...
...
Рис. 1.11. Типовое соединение звеньев:
а) последовательное; б) параллельное; в) с обратной связью
Полную информацию о линейном объекте (системе) можно
получить экспериментальным путем, подавая испытательный
сигнал на вход и определяя реакцию на него. Типовые испы-
тательные сигналы — сигналы, которые используются для ис-
следования свойств объекта (системы, элемента).
79
Существует несколько типовых испытательных сигналов:
•Единичное ступенчатое воздействие (единичный скачок).
Единичный скачок — это скачкообразное ступенчатое изме-
нение входной координаты (ступенчатая функция — в момент
t =
достигает значения А = сonst = 1 и далее остается постоян-
ной). Величина скачка типового сигнала равна единице:
⎩
⎨
⎧
<
≥
=
0.
0
0;
1
)
(
1
t
при
t
при
t
Реакция объекта на единичный скачок — это переходная
функция, она описывает переход от одного состояния (x = 0) к
другому (x = 1). Эту же функцию называют также кривой раз-
гона. Кривая разгона — реакция объекта на единичный скачок.
Обозначают:
)
(
)
(
t
y
t
h
=
при
)
(
1
)
(
t
t
x
=
.
Значение переходной функции элемента системы может
быть определено так:
p
p
W
p
h
)
(
)
(
=
.
Это изображение переходной функции. Имея изображение
переходной функции и выполнив обратное преобразование Ла-
пласа
1
, можно получить оригинал переходной функции h(t).
На рис. 1.10 приведены примеры типовых звеньев в струк-
турных схемах и графическое изображение переходного про-
цесса.
•Импульсное возмущение. Импульсное возмущение — это
резкое увеличение и сразу же резкое уменьшение входной коор-
динаты. Типовой импульс описывается
(t) функцией. Некоторая
идеализация импульсного возмущения имеет вид:
⎩
⎨
⎧
≠
=
∞
=
0.
0
0;
)
(
t
при
t
при
t
δ
1
Технологии прямого и обратного преобразований рассматриваются
в соответствующих разделах высшей математики.