Файл: Вдовин Суркова Валентинов Теория систем и системный анализ.pdf

80

Импульсный сигнал называется единичным импульсом, 

если выполняется условие 

³

f

f

G

.

1

dt

)

t

(

Реакцию объекта на 

-функцию называют весовой функ-

цией, или импульсно-переходной функцией. Обозначают эту 
функцию:

)

(

)

(

)

(

)

(

t

t

x

при

t

y

t

g

δ

=

=

, 

)

(

1

)

(

t

t

′

=

δ

.

Между переходной и весовой функцией существует 

связь:

)

(

)

(

t

h

t

g

′

=

весовая функция равна производной от переходной функции).

• Гармонический сигнал. Гармонический сигнал исполь-

зуется при исследовании частотных свойств объекта. На вход 
объекта подается гармонический сигнал

t

A(ω)

t

x

ω

sin

)

(

=

,

где  А — амплитуда входного сигнала;

 — частота входного сигнала.
На выходе формируется ответный сигнал

)

sin (

)

(

)

(

ϕ

ω

ω

+

=

t

B

t

y

,

где  В — амплитуда выходного сигнала;

— сдвиг по фазе между входным и выходным сигналами. 
Это выражение для выходного сигнала справедливо только 

для устойчивого объекта. Объект устойчив, если после снятия 
возмущения он возвращается в исходное состояние. 

Передаточные и переходные функции используются при ана-

лизе и синтезе систем. С их помощью определяются статические, 
переходные и динамические характеристики систем, области устой-
чивости и т. д. Это осуществляется на этапе анализа систем. 

На этапе синтеза определяются такие параметры элемен-

тов и системы в целом, при которых статические, переходные и 
динамические характеристики равны заданным (требуемым), 

81

определяются также корректирующие и дополнительные эле-
менты системы.

Кроме передаточных и переходных функций для решения 

целого ряда задач анализа и синтеза систем используются ча-
стотные характеристики, определяющие поведение систем при 
изменении частот входных сигналов и возмущающих воздействий. 
Если на вход объекта подавать в качестве испытательного сигнала 
гармонический сигнал заданной амплитуды А и частоты 

, то на 

выходе формируется также гармонический сигнал той же часто-
ты, но в общем случае другой амплитуды В и со сдвигом по фазе 

. 

Взаимосвязь между параметрами гармонических сигналов на вхо-
де и выходе объекта определяют частотные характеристики. 

Обобщенная частотная характеристика — амплитудно-

фазочастотная характеристика (АФХ) (или АФЧХ) — W(i

), 

может быть получена из передаточной функции при подстановке 
i

 вместо р и представлена в виде:

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

ω

ω

ω

ω

ω

ϕ

iI

R

e

M

i

W

i

+

=

=

·

.

Составляющие обобщенной частотной характеристики 

W(i

) имеют самостоятельное значение и названия.

Так, отношение амплитуды выходного сигнала к входному 

называют амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ):

)

(

)

(

)

(

ω

ω

ω

A

B

M

=

.

Сдвиг по фазе между входным и выходным сигналами на-

зывают фазно-частотной характеристикой (ФЧХ): 

().

R(

) и I() — действительная и мнимая части частотной 

характеристики. Они позволяют определить АЧХ и ФЧХ:

)

(

)

(

)

(

2

2

ω

ω

ω

I

R

M

+

=

;

))

(

arg(

)

(

ω

ω

ϕ

i

W

=

.

 Частотная характеристика W(i

) может быть построена на 

комплексной плоскости. В этом случае конец вектора, соответ-

82

ствующий комплексному числу W(i

), при изменении  от 0 до ∞ 

прочерчивает на комплексной плоскости кривую, которая назы-
вается амплитудно-фазочастотной характеристикой (АФХ).

Наряду с АФХ отдельно строят и все остальные частотные 

характеристики. Так АЧХ показывает, как пропускает звено 
сигнал различной частоты; причем оценкой пропускания явля-
ется отношение амплитуд выходного и входного сигналов. ФЧХ 
показывает фазовые сдвиги, вносимые системой на различных 
частотах.

Применение для описания динамических свойств систем 

передаточных и переходных функций, а также частотных харак-
теристик является более экономным в практическом отношении 
по сравнению с дифференциальными уравнениями.

Однако развитие современных компьютерных технологий 

(решение дифференциальных уравнений любой сложности, 
применение надежных методов оптимизации, применение совре-
менных технологий имитационного моделирования) существенно 
снижает это преимущество

Примечание. По мнению авторов, можно выделить в социальной сфере и экономи-

ке следующие основные звенья: активное, пассивное; прогрессивное, консервативное; 
реакционное, конструктивное; созидательное, разрушительное и т. д. Для каждого из 
этих звеньев при выполнении соответствующих исследований могут быть определены 
передаточные и переходные функции.

3.2.2. Принцип обратной связи и устойчивость систем

Изложим более подробно принцип обратной связи, суще-

ствующей между элементами системы.

Элементы системы связаны между собой, это приводит к 

тому, что изменение, происшедшее у одного элемента передается 
другим элементам и может вернуться к источнику возмущения. 
Если обратный сигнал усиливается элементом, то это свойство 
элемента называется положительной обратной связью, если 
ослабляется — то отрицательной обратной связью. 

При положительной обратной связи возмущение в системе 

усиливается и достигает предельных значений, оно способно 
разрушить систему (например, гиперинфляция). 

83

При отрицательной обратной связи возмущение умень-

шается и система возвращается в свое устойчивое состояние. 
Переходные процессы воздействия возмущения могут протекать 
циклически или монотонно. Примеры переходных процессов 
при положительной и отрицательной обратной связи показаны 
на рис. 1.12 (а, б).

Рис. 1.12. Возможные варианты переходных процессов в системе: 

а — при положительной обратной связи;

б — при отрицательной обратной связи:

центральная линия — равновесное значение переменной y;

пунктирные линии (верхние и нижние) — допустимые значения y;

сплошные линии — возможные траектории переходных 

процессов переменной y

Устойчивость системы создается за счет отрицательной 

обратной связи между элементами системы. 

а)

б)

t

t

84

Поэтому для обеспечения устойчивости системы управляю-

щие воздействия должны с помощью отрицательной обратной 
связи вернуть систему (при появлении возмущений у элементов 
системы) в устойчивое состояние.

Рассуждая об устойчивости систем, вспомним основные ее 

определения. Все реальные объекты (системы, элементы) на-
ходятся под влиянием возмущений. После снятия возмущения 
системы могут вести себя по-разному. Если система после снятия 
возмущения возвращается в исходное состояние, то она назы-
вается устойчивой (рис. 1.13, а). Если система не возвращается 
в исходное состояние, то это неустойчивая  система (рис. 1.13, 
б). Если после снятия возмущения система приходит в новое 
состояние равновесия, то эта система нейтральная (рис. 1.13, в). 
Если после снятия возмущения начнутся колебания вокруг ис-
ходного состояния равновесия, то система находится на границе 
устойчивости (рис. 1.13, г).

Рис. 1.13. Примеры устойчивости систем:

а — устойчивая система; б — неустойчивая система;

в — нейтральная система;

г — система на границе устойчивости.

При исследовании устойчивости систем предполагается, 

что возмущения на систему не действуют (x

вх

=0). Существуют 

разные методы определения устойчивости систем.

3.2.3. Управляемость системы

Если система может изменяться под воздействием управ-

ляющих воздействий, то она называется управляемой.