ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 12.01.2024
Просмотров: 343
Скачиваний: 4
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Плоская задача с граничными условиями первого рода
Постановка задачи:
Имеется плоская пластина с толщиной существенно меньше её длины и ширины, которая контактирует с жидкостями, имею- щими разные температуры слева 100°С и с права 20°С. Необхо- димо построить изменение температуры по толщине пластины во времени.
Решение задачи:
Построим систему уравнений, для описания задачи:
условия начальные граница правая тело граница левая
2 2
нач
гор
пг
хол
лг
T
T
T
T
q
x
T
x
k
x
T
a
T
T
T
(22)
В качестве граничных условий принимаем условия первого рода – температура на стенках равна соответствующей темпера- туре среды (жидкости). Для начальных условий примем, что в начальный момент времени температура стенки равной одной из
94 температур жидкости, например, холодной, то есть вся стенка имеет температуру 20°С и только стенка, контактирующая с го- рячей жидкостью, имеет температуру 100°С (рис. 14а).
Построим расчетную схему для данной задачи (рис. 14б): а. б.
Рис. 14. Постановка задачи (а) и схема узлов (б) с используемым явного трафаретом.
- примем число узлов по координате – 10;
- в расчете используем явный трафарет, который имеет строгое ограничение:
- для конечно-разностного аналога используем
(16).
- граничные условия задают значения температур на обеих гра- ницах тела;
- конечно-разностная расчетная схема в упрощенном виде по телу имеет вид:
0
;
9 1
при
0
;
10
при
9 1
при
2 0
;
0
при
0 10 2
1 1
1 0
j
i
T
T
j
i
T
T
i
T
x
T
T
T
a
T
j
i
T
T
нач
i
гор
j
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
хол
j
(24)
1 2
x
95
- расчет проводим для всех внутренних узлов схемы с 1 по 9.
Реализация решения в MS Excel
Строим решение на новом листе, предварительно готовим за- головок решения и вводим исходные данные (рис. 15).
Рис. 15. Заголовок задачи и исходные данные.
Все данные вводятся как числа, кроме «Шаг по толщине», ко- торая вычисляется из размера тела (толщины) и количества узлов по формуле =B3/B4. В поле «Ограничения по шагу:» вводим фор- мулу (22) в виде =C6/F5^2 – отношение шага по времени C6 к шагу в квадрате F5^2 по координате, которая показывает при каком значении данного ограничения расчет расходится.
Ниже готовим таблицу с расчетными данными (рис. 16).
Рис. 16. Таблица расчетных данных.
Текстовая информация «Таблица расчетных данных», «I», «J» и «Tau X» вводятся с клавиатуры. Для разделения ячейки с вре- менем расчета Tau и шагом по телу X используется команда рисо- вания границ «Другие границы…», в которой задается прямая диа- гональ для ячейки и пробелами подбирается расстояние между символами «Tau» и «Х».
Для нумерации узлов по координате для I от 0 до 10 и по вре- мени для J от 0 до 100 выполняется с помощью команды «Про- грессия». Можно растянуть начальное значение 0 левой кнопкой мыши за правый нижней угол ячейки при нажатой клавише Ctrl.
Шаги по времени и координате вычисляются прибавлением
96 шага и предыдущему значению, начальные значения задаются 0 и формулы имеют следующий вид для времени: =B9+$D$5 и по координате: =C8+$B$5.
Начальные условия задаются приравниванием значения темпе- ратуры в узлах от 1 до 9 (n-1) по координате для нулевого времени начальной температуре: =$C$3. Граничные условия задаются для левой границы в узле 0 формулой =$C$4, для правой границы в узле 10 значения температуры приравниваются температуре пра- вой границы: =$C$5.
Для завершения построения расчета остается ввести основную формулу (16) для всех внутренних ячеек тела в узлах от 1 до 9, которая на листе Excel для первого узла по координате и времени имеет вид: =D9+(E9-2*D9+C9)*$D$5/$B$5^2*$G$3, где: C9, D9, E9
– три температуры на нулевом уровне по времени; $B$5, $D$5 – шаги по координате времени соответственно; $G$3 – теплопро- водность тела. Шаги и теплопроводность фиксируем абсолют- ными ссылками на ячейки. Растягиваем формулу до 9 узла по ко- ординате и потом, не снимая выделения, вниз до конца таблицы.
На основании этих данных строим график (рис. 17).
Для его построения используем тип диаграммы «Поверх- ность», которая находится в группе графиков «Другие». Далее настраиваем шрифт графика, названия осей, их значения и распо- ложение основных элементов графика и получаем тот вид, что по- казан на рис.17.
97
Рис. 17. График распределения температуры от времени и координаты.
Плоская модель с граничными условиями второго рода
Попробуем усложнить задачу предположением, что на одной из поверхностей подвод или отвод тепла осуществляется через механизм конвективного обмена по формуле (21), которая может быть преобразована в конечно-разностную схему для левой гра- ницы:
1 1
0 0
0 1
x
a
T
T
x
a
T
T
T
x
a
T
T
j
сред
j
сред
j
j
j
(25) и правой границы:
1 1
1
x
a
T
T
x
a
T
T
T
x
a
T
T
j
n
сред
j
n
j
n
сред
j
n
j
n
(26)
В конечно-разностной схеме (24) надо заменить оба граничных условия на показанные в (25) и (26) и получить систему (27)
Для реализации данного решения в среде MS Excel. Сделаем на основании уже построенного решения, поэтому сначала сде- лаем копию листа с текущим расчетом.
98
На скопированном листе изменяем заголовок и добавляем ко- эффициенты конвективного теплообмена (рис. 18).
0
;
9 1
при
0
;
10
при
1 9
1
при
2 0
;
0
при
1 0
9 10 2
1 1
1 1
0
j
i
T
T
j
i
x
a
T
T
x
a
T
i
T
x
T
T
T
a
T
j
i
x
a
T
T
x
a
T
нач
i
j
сред
j
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
сред
j
(27)
Рис. 18. Исправления для задачи с конвективным теплообменом.
В таблице расчетных данных исправляем формулы в столбцах левой и правой границ тела, начиная с нулевого времени. Фор- мула для левой границы в нулевой момент времени имеем вид:
=($G$2*$G$3*$B$5*$D$3+D9)/($G$2*$G$3*$B$5+1), где: $G$2 – теплопроводность тела; $G$3 – коэффициент конвективной теп- лоотдачи тела; $B$5 – шаг по координате; $D$3 – температура среды; D9 – температура в первом узле тела. Для правой границы
– =($G$2*$G$3*$B$5*$D$4+L9)/($G$2*$G$3*$B$5+1), где: L9 – температура в n-1 узле сетки.
Растягиваем граничные формулы на все расчетное время и по- лучаем график (рис. 19)
Если будем изменять значения температур и коэффициентов конвективного теплообмена на границах тела, то изменения тем- ператур вдоль временной границы будут изменяться.
Плоская задача с граничными условиями третьего рода
Часто в расчетах встречаются слоеные стенки, которые состоят
99 из слоев с разной теплопроводностью. Такие задачи можно ре- шать с использованием граничных условий третьего рода, ис- пользуя формулу (21), которая в конечно-разностном представле- нии имеет вид (28).
Рис. 19. Модель с конвективным теплообменом по обеим границам.
2 2
1 1
1 2
2 1
1 1
1 2
2 1
1 1
x
а
x
а
T
x
а
T
x
а
T
T
T
x
а
T
T
x
а
j
k
j
k
j
k
j
k
j
k
j
k
j
k
(28) где: k – номер узла на границе слоев.
Решим следующую задачу, имеется трехслойная стенка для обеспечения огнезащиты и требуется определить распределение температуры по ней и найти предельное время защиты от пожара.
Конечно-разностная схема расчета должна быть изменена увели- чением общего числа узлов до 20 и добавлением новых границ внутри тела на разделах слоев для соответствующих узлов схемы на границах слоев для первой границы определим 5-ый узел и 15- ый узел для второй границы:
100
0
;
19 1
при
0
;
20
при
1 19 16
при
2 15
при
14 6
при
2 5
при
5 1
при
2 0
;
0
при
1 0
9 10 2
1 1
1 2
2 1
1 1
2 2
1 1
1 2
1 1
1 2
2 1
1 1
2 2
1 1
1 2
1 1
1 1
0
j
i
T
T
j
i
x
a
T
T
x
a
T
i
T
x
T
T
T
a
T
k
x
а
x
а
T
x
а
T
x
а
T
i
T
x
T
T
T
a
T
k
x
а
x
а
T
x
а
T
x
а
T
i
T
x
T
T
T
a
T
j
i
x
a
T
T
x
a
T
нач
i
j
сред
j
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
k
j
k
j
k
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
k
j
k
j
k
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
сред
j
(29)
За основу решения возьмем последнюю задачу, в ней увеличим число узлов до 20 и поделим их на три тела по пятому и пятнадца- тому узлам. Расширим данные по теплопроводности до трех тел и возьмем два крайних тела значения 5 и выше, а для среднего около 1. Зададим температуры на одной стороне 20°С, а на другой
450°С и будем искать, когда температура на холодной стороне стенки станет больше 60°С (можно обжечь руки).
Для выполнения расчета делаем копию листа с расчетными данными при условиях конвективного обмена на границах тела, потом вносим изменения в исходные данные
101
Добавляем два новых тела с их данными, сдвигая на две ячейки область после первого тела. Для этого выделяем восемь ячеек (рис. 20) и коман- дой «Вставить» – «Вставить ячейки…» –
«Со сдвигом вправо» с ленты «Главная» вставляем ячейки. Заполняем новые ячейки данными и вычисляем общее число узлов, как сумма узлов по всех те- лам. Получаем следующую заготовку с исходными данными для решения задачи (рис. 21).
Рис. 21. Изменения на листе в исходных данных.
Расчетная схема должна иметь 20 узлов вместо 10 как было раньше, чтобы сохранить все формулы мы должны вставить до- полнительные ячейки, используя команды «Вставить ячейки» со сдвигом вправо или «Вставить столбцы». Второй вариант слож- нее, так как потом требует удаления лишних ячеек в области ис- ходных данных. Нам надо оставить слева от вставляемой области полную формулу для первого тела, которая включает в себя три ячейки из верхнего ряда по вре- мени, начиная с одной ячейки левее рабочей и заканчивая од- ной ячейкой правее рабочей ячейки (рис. 22). Следова- тельно, сдвиг должен осуществ- ляться с 3 слоя по координате (со столбца F) и включать в себя 10 ячеек по горизонтали и все ячейки до последнего времени (рис.
23).
Рис. 20. Расширение области для новых тел.
Рис. 22. Основная формула для тела.
102
Рис. 23. Расширение расчетной таблицы.
После выделения нужных ячеек выполняем команду вставки ячеек и получаем заготовку расчетной таблицы (рис. 24). Для удобства контроля узлов по разным телам вставим еще одну строку между заголовком и индексом узла по координате, где от- метим узлы, принадлежащие соответствующим телам или грани- цам: С9 – левая граница-тело1; D9:G9 – тело 1; H9 – граница между телами 1 и 2; I9:Q9 – тело 2; R9 – граница между телами 2 и 3;
S9:V9 – тело 3; W9 – тело 3-правая граница.
Рис. 24. Готовая таблица для её заполнения.
Заполняем новые ячейки расчетной таблицы необходимыми данными:
- для заполнения номеров узлов выделяем две ячейки с номерами «1» и «2» и растя- гиваем их до конца таблицы (рис. 25);
- заполнение значений координат узлов по- лучаем копированием ячейки «E11» до конца таблицы с последующей заменой шагов в зависимости от тела, в котором находится данный узел: с 1 по 5 узлы ис- пользуются шаг по первому телу, с 6 по 15 узлы содержит шаг по второму телу и с 16 по 20 узлы используют шаг по третьему телу;
- начальные условия заполняем копированием формулы из ячейки «E12» до предпоследнего узла (последний узел содер- жит формулу граничного условия);
Рис. 25. Заполне- ние номеров уз- лов.
103
- расчетную формулу для тела копируем из ячейки «D13» до предпоследнего узла расчетной таблицы. Затем для каждого из тел исправляем ссылки на шаг по координате и теплопро- водность для соответствующего тела и растягиваем получен- ную формулу до границы данного тела, так первое тело содер- жит узлы с 1 до 4, второе тело с 6 по 14 узел и третье тело с 16 по 19 узел;
- остается ввести формулы для границ между телами по (25).
Для границы между первым и вторым телом в пятом узле рас- четной схемы формула выглядит следующим образом:
=($I$3/$B$5*I12+$H$3/$B$5*G12)/($I$3/$B$5+$H$3/$B$5), где: $B$5 – шаг по координате; $H$3, $I$3 – теплопроводности первого и второго тел; G12, I12 – температуры в четвертом и шестом узлах.
Для второй границы между вторым и третьим телами:
=($J$3/$B$5*S12+$I$3/$B$5*Q12)/($J$3/$B$5+$I$3/$B$5) где: $I$3, $J$3 – теплопроводности второго и третьего тел; Q12,
S12 – температуры в четырнадцатом и шестнадцатом узлах.
Остается растянуть все формулы для тел и внутренних границ вниз до конца расчетной таблицы и перестроить данные для гра- фика, расширив размер рядов с 10 узлов до 20.
По результатам расчетов строим график (рис. 26).
Для построения данного графика была изменена горячая тем- пература до 750°С. Надо отметить, что данный график не совсем правильно отражает реальный вид распределения температуры из-за различных шагов по координате для разных тел. Первое и третье тела имеют меньшие шаги и, следовательно, меньшую ши- рину. Поэтому для правильного построения графиков лучше вос- пользоваться точечными диаграммами (рис. 27).
На графиках остается определиться с огнестойкостью системы из трех слоев. Существую два варианта оценки данного пара- метра: первый из них, когда загорится древесина во втором слое и второй, когда стенка с другой стороны от нагреваемой стороны нагреется выше допустимой температуры.
Постановка задачи:
Имеется плоская пластина с толщиной существенно меньше её длины и ширины, которая контактирует с жидкостями, имею- щими разные температуры слева 100°С и с права 20°С. Необхо- димо построить изменение температуры по толщине пластины во времени.
Решение задачи:
Построим систему уравнений, для описания задачи:
условия начальные граница правая тело граница левая
2 2
нач
гор
пг
хол
лг
T
T
T
T
q
x
T
x
k
x
T
a
T
T
T
(22)
В качестве граничных условий принимаем условия первого рода – температура на стенках равна соответствующей темпера- туре среды (жидкости). Для начальных условий примем, что в начальный момент времени температура стенки равной одной из
94 температур жидкости, например, холодной, то есть вся стенка имеет температуру 20°С и только стенка, контактирующая с го- рячей жидкостью, имеет температуру 100°С (рис. 14а).
Построим расчетную схему для данной задачи (рис. 14б): а. б.
Рис. 14. Постановка задачи (а) и схема узлов (б) с используемым явного трафаретом.
- примем число узлов по координате – 10;
- в расчете используем явный трафарет, который имеет строгое ограничение:
- для конечно-разностного аналога используем
(16).
- граничные условия задают значения температур на обеих гра- ницах тела;
- конечно-разностная расчетная схема в упрощенном виде по телу имеет вид:
0
;
9 1
при
0
;
10
при
9 1
при
2 0
;
0
при
0 10 2
1 1
1 0
j
i
T
T
j
i
T
T
i
T
x
T
T
T
a
T
j
i
T
T
нач
i
гор
j
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
хол
j
(24)
1 2
x
95
- расчет проводим для всех внутренних узлов схемы с 1 по 9.
Реализация решения в MS Excel
Строим решение на новом листе, предварительно готовим за- головок решения и вводим исходные данные (рис. 15).
Рис. 15. Заголовок задачи и исходные данные.
Все данные вводятся как числа, кроме «Шаг по толщине», ко- торая вычисляется из размера тела (толщины) и количества узлов по формуле =B3/B4. В поле «Ограничения по шагу:» вводим фор- мулу (22) в виде =C6/F5^2 – отношение шага по времени C6 к шагу в квадрате F5^2 по координате, которая показывает при каком значении данного ограничения расчет расходится.
Ниже готовим таблицу с расчетными данными (рис. 16).
Рис. 16. Таблица расчетных данных.
Текстовая информация «Таблица расчетных данных», «I», «J» и «Tau X» вводятся с клавиатуры. Для разделения ячейки с вре- менем расчета Tau и шагом по телу X используется команда рисо- вания границ «Другие границы…», в которой задается прямая диа- гональ для ячейки и пробелами подбирается расстояние между символами «Tau» и «Х».
Для нумерации узлов по координате для I от 0 до 10 и по вре- мени для J от 0 до 100 выполняется с помощью команды «Про- грессия». Можно растянуть начальное значение 0 левой кнопкой мыши за правый нижней угол ячейки при нажатой клавише Ctrl.
Шаги по времени и координате вычисляются прибавлением
96 шага и предыдущему значению, начальные значения задаются 0 и формулы имеют следующий вид для времени: =B9+$D$5 и по координате: =C8+$B$5.
Начальные условия задаются приравниванием значения темпе- ратуры в узлах от 1 до 9 (n-1) по координате для нулевого времени начальной температуре: =$C$3. Граничные условия задаются для левой границы в узле 0 формулой =$C$4, для правой границы в узле 10 значения температуры приравниваются температуре пра- вой границы: =$C$5.
Для завершения построения расчета остается ввести основную формулу (16) для всех внутренних ячеек тела в узлах от 1 до 9, которая на листе Excel для первого узла по координате и времени имеет вид: =D9+(E9-2*D9+C9)*$D$5/$B$5^2*$G$3, где: C9, D9, E9
– три температуры на нулевом уровне по времени; $B$5, $D$5 – шаги по координате времени соответственно; $G$3 – теплопро- водность тела. Шаги и теплопроводность фиксируем абсолют- ными ссылками на ячейки. Растягиваем формулу до 9 узла по ко- ординате и потом, не снимая выделения, вниз до конца таблицы.
На основании этих данных строим график (рис. 17).
Для его построения используем тип диаграммы «Поверх- ность», которая находится в группе графиков «Другие». Далее настраиваем шрифт графика, названия осей, их значения и распо- ложение основных элементов графика и получаем тот вид, что по- казан на рис.17.
97
Рис. 17. График распределения температуры от времени и координаты.
Плоская модель с граничными условиями второго рода
Попробуем усложнить задачу предположением, что на одной из поверхностей подвод или отвод тепла осуществляется через механизм конвективного обмена по формуле (21), которая может быть преобразована в конечно-разностную схему для левой гра- ницы:
1 1
0 0
0 1
x
a
T
T
x
a
T
T
T
x
a
T
T
j
сред
j
сред
j
j
j
(25) и правой границы:
1 1
1
x
a
T
T
x
a
T
T
T
x
a
T
T
j
n
сред
j
n
j
n
сред
j
n
j
n
(26)
В конечно-разностной схеме (24) надо заменить оба граничных условия на показанные в (25) и (26) и получить систему (27)
Для реализации данного решения в среде MS Excel. Сделаем на основании уже построенного решения, поэтому сначала сде- лаем копию листа с текущим расчетом.
98
На скопированном листе изменяем заголовок и добавляем ко- эффициенты конвективного теплообмена (рис. 18).
0
;
9 1
при
0
;
10
при
1 9
1
при
2 0
;
0
при
1 0
9 10 2
1 1
1 1
0
j
i
T
T
j
i
x
a
T
T
x
a
T
i
T
x
T
T
T
a
T
j
i
x
a
T
T
x
a
T
нач
i
j
сред
j
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
сред
j
(27)
Рис. 18. Исправления для задачи с конвективным теплообменом.
В таблице расчетных данных исправляем формулы в столбцах левой и правой границ тела, начиная с нулевого времени. Фор- мула для левой границы в нулевой момент времени имеем вид:
=($G$2*$G$3*$B$5*$D$3+D9)/($G$2*$G$3*$B$5+1), где: $G$2 – теплопроводность тела; $G$3 – коэффициент конвективной теп- лоотдачи тела; $B$5 – шаг по координате; $D$3 – температура среды; D9 – температура в первом узле тела. Для правой границы
– =($G$2*$G$3*$B$5*$D$4+L9)/($G$2*$G$3*$B$5+1), где: L9 – температура в n-1 узле сетки.
Растягиваем граничные формулы на все расчетное время и по- лучаем график (рис. 19)
Если будем изменять значения температур и коэффициентов конвективного теплообмена на границах тела, то изменения тем- ператур вдоль временной границы будут изменяться.
Плоская задача с граничными условиями третьего рода
Часто в расчетах встречаются слоеные стенки, которые состоят
99 из слоев с разной теплопроводностью. Такие задачи можно ре- шать с использованием граничных условий третьего рода, ис- пользуя формулу (21), которая в конечно-разностном представле- нии имеет вид (28).
Рис. 19. Модель с конвективным теплообменом по обеим границам.
2 2
1 1
1 2
2 1
1 1
1 2
2 1
1 1
x
а
x
а
T
x
а
T
x
а
T
T
T
x
а
T
T
x
а
j
k
j
k
j
k
j
k
j
k
j
k
j
k
(28) где: k – номер узла на границе слоев.
Решим следующую задачу, имеется трехслойная стенка для обеспечения огнезащиты и требуется определить распределение температуры по ней и найти предельное время защиты от пожара.
Конечно-разностная схема расчета должна быть изменена увели- чением общего числа узлов до 20 и добавлением новых границ внутри тела на разделах слоев для соответствующих узлов схемы на границах слоев для первой границы определим 5-ый узел и 15- ый узел для второй границы:
100
0
;
19 1
при
0
;
20
при
1 19 16
при
2 15
при
14 6
при
2 5
при
5 1
при
2 0
;
0
при
1 0
9 10 2
1 1
1 2
2 1
1 1
2 2
1 1
1 2
1 1
1 2
2 1
1 1
2 2
1 1
1 2
1 1
1 1
0
j
i
T
T
j
i
x
a
T
T
x
a
T
i
T
x
T
T
T
a
T
k
x
а
x
а
T
x
а
T
x
а
T
i
T
x
T
T
T
a
T
k
x
а
x
а
T
x
а
T
x
а
T
i
T
x
T
T
T
a
T
j
i
x
a
T
T
x
a
T
нач
i
j
сред
j
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
k
j
k
j
k
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
k
j
k
j
k
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
сред
j
(29)
За основу решения возьмем последнюю задачу, в ней увеличим число узлов до 20 и поделим их на три тела по пятому и пятнадца- тому узлам. Расширим данные по теплопроводности до трех тел и возьмем два крайних тела значения 5 и выше, а для среднего около 1. Зададим температуры на одной стороне 20°С, а на другой
450°С и будем искать, когда температура на холодной стороне стенки станет больше 60°С (можно обжечь руки).
Для выполнения расчета делаем копию листа с расчетными данными при условиях конвективного обмена на границах тела, потом вносим изменения в исходные данные
101
Добавляем два новых тела с их данными, сдвигая на две ячейки область после первого тела. Для этого выделяем восемь ячеек (рис. 20) и коман- дой «Вставить» – «Вставить ячейки…» –
«Со сдвигом вправо» с ленты «Главная» вставляем ячейки. Заполняем новые ячейки данными и вычисляем общее число узлов, как сумма узлов по всех те- лам. Получаем следующую заготовку с исходными данными для решения задачи (рис. 21).
Рис. 21. Изменения на листе в исходных данных.
Расчетная схема должна иметь 20 узлов вместо 10 как было раньше, чтобы сохранить все формулы мы должны вставить до- полнительные ячейки, используя команды «Вставить ячейки» со сдвигом вправо или «Вставить столбцы». Второй вариант слож- нее, так как потом требует удаления лишних ячеек в области ис- ходных данных. Нам надо оставить слева от вставляемой области полную формулу для первого тела, которая включает в себя три ячейки из верхнего ряда по вре- мени, начиная с одной ячейки левее рабочей и заканчивая од- ной ячейкой правее рабочей ячейки (рис. 22). Следова- тельно, сдвиг должен осуществ- ляться с 3 слоя по координате (со столбца F) и включать в себя 10 ячеек по горизонтали и все ячейки до последнего времени (рис.
23).
Рис. 20. Расширение области для новых тел.
Рис. 22. Основная формула для тела.
102
Рис. 23. Расширение расчетной таблицы.
После выделения нужных ячеек выполняем команду вставки ячеек и получаем заготовку расчетной таблицы (рис. 24). Для удобства контроля узлов по разным телам вставим еще одну строку между заголовком и индексом узла по координате, где от- метим узлы, принадлежащие соответствующим телам или грани- цам: С9 – левая граница-тело1; D9:G9 – тело 1; H9 – граница между телами 1 и 2; I9:Q9 – тело 2; R9 – граница между телами 2 и 3;
S9:V9 – тело 3; W9 – тело 3-правая граница.
Рис. 24. Готовая таблица для её заполнения.
Заполняем новые ячейки расчетной таблицы необходимыми данными:
- для заполнения номеров узлов выделяем две ячейки с номерами «1» и «2» и растя- гиваем их до конца таблицы (рис. 25);
- заполнение значений координат узлов по- лучаем копированием ячейки «E11» до конца таблицы с последующей заменой шагов в зависимости от тела, в котором находится данный узел: с 1 по 5 узлы ис- пользуются шаг по первому телу, с 6 по 15 узлы содержит шаг по второму телу и с 16 по 20 узлы используют шаг по третьему телу;
- начальные условия заполняем копированием формулы из ячейки «E12» до предпоследнего узла (последний узел содер- жит формулу граничного условия);
Рис. 25. Заполне- ние номеров уз- лов.
103
- расчетную формулу для тела копируем из ячейки «D13» до предпоследнего узла расчетной таблицы. Затем для каждого из тел исправляем ссылки на шаг по координате и теплопро- водность для соответствующего тела и растягиваем получен- ную формулу до границы данного тела, так первое тело содер- жит узлы с 1 до 4, второе тело с 6 по 14 узел и третье тело с 16 по 19 узел;
- остается ввести формулы для границ между телами по (25).
Для границы между первым и вторым телом в пятом узле рас- четной схемы формула выглядит следующим образом:
=($I$3/$B$5*I12+$H$3/$B$5*G12)/($I$3/$B$5+$H$3/$B$5), где: $B$5 – шаг по координате; $H$3, $I$3 – теплопроводности первого и второго тел; G12, I12 – температуры в четвертом и шестом узлах.
Для второй границы между вторым и третьим телами:
=($J$3/$B$5*S12+$I$3/$B$5*Q12)/($J$3/$B$5+$I$3/$B$5) где: $I$3, $J$3 – теплопроводности второго и третьего тел; Q12,
S12 – температуры в четырнадцатом и шестнадцатом узлах.
Остается растянуть все формулы для тел и внутренних границ вниз до конца расчетной таблицы и перестроить данные для гра- фика, расширив размер рядов с 10 узлов до 20.
По результатам расчетов строим график (рис. 26).
Для построения данного графика была изменена горячая тем- пература до 750°С. Надо отметить, что данный график не совсем правильно отражает реальный вид распределения температуры из-за различных шагов по координате для разных тел. Первое и третье тела имеют меньшие шаги и, следовательно, меньшую ши- рину. Поэтому для правильного построения графиков лучше вос- пользоваться точечными диаграммами (рис. 27).
На графиках остается определиться с огнестойкостью системы из трех слоев. Существую два варианта оценки данного пара- метра: первый из них, когда загорится древесина во втором слое и второй, когда стенка с другой стороны от нагреваемой стороны нагреется выше допустимой температуры.