ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 12.01.2024
Просмотров: 342
Скачиваний: 4
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Метода конечных разностей
Основные понятия
Метод конечных разностей является численным методом ре- шения дифференциальных уравнений. Он основан на замене про- изводных разностными схемами (РС) с привязкой к заранее заданному набору узлов, по которым и строится само ре- шение. Поэтому он является сеточным методом [1]. Для преобразования произ- водных их разностными аналогами можно использовать различные фор мулы. Аппроксимация производных мо- жет быть выполнена по следующей схеме (рис.1). Для производных первого порядка можно построить три варианта формул, которые называются левая, правая и центральная производные соответственно:
x
u
u
x
u
u
x
u
u
x
u
i
i
i
i
i
i
Δ
Δ
Δ
2 1
1 1
1
(1)
Они нужны в различных конечно-разностных схемах, например, левая и правая производные используются на левом и правом гра- ничных узлах схемы.
Для производных второго порядка используем трехточечную схему, которая может быть получена из левой и правой производ- ных первого порядка (1):
2 1
1 2
2 2
x
u
u
u
x
u
i
i
i
Δ
(2)
Разностная схема – это конечная система алгебраических уравнений, построенная в соответствие решаемой дифференци- альной задачей, содержащей дифференциальное уравнение, опи- сывающее поведение исследуемого объекта, и дополнительные уравнения, замыкающие систему конечно-разностных уравнений.
Рис. 11. Графическая схема для вычисления производных
x
i
x
i-1
x
i+1
u
i-1
u
i
u
i+1
84
Это начальные условия, которые задают начальное состояние объекта, и граничные условия, определяющие процессы, которые протекают на его границах. В результате этого преобразования дифференциальная задача, имеющая непрерывный характер по координатам, переводится в конечную систему алгеб- раических уравнений с числом уравнений равным числу заданных узлов в
РС, которая является уже дискретной задачей, с определением значений в заранее заданных узлах расчетной сетки (рис. 2).
Такое решением по РС называется приближен- ным решением дифферен- циальной задачи.
Начальные условия (НУ) определяют состояние объекта иссле- дования в начальный момент времени (τ=0) в виде постоянного значения (u=const) или функции от координат (u=f(x
i
)) в том числе и производной u по координатам.
Граничные условия (ГУ) определяют изменение функции u на границах объекта от времени τ. Их можно разделить на три рода:
- ГУ первого рода определяют изменение функции u от времени
τ в виде константы или функции от времени:
F
const
u
(3);
- ГУ второго рода определяют изменения производной от функции в зависимости от времени:
F
const
u
(4);
Рис. 2. Разностная схема.
85
- ГУ третьего рода имеют место при конвективном теплооб- мене между телом и окружающей средой, когда принято по- стоянство температуры среды и теплового потока из неё в тело:
пов
cp
u
u
u
(5);
- ГУ четвертого рода описывают теплообмен между телом и жидкой средой или между двумя твердыми телами, когда из- вестно равенство температур на границе и тепловых потоков в каждом из тел:
2 1
2 1
,
u
u
u
u
гр
гр
(6).
Важными понятиями в теории разностных схем являются по- нятия сходимости, устойчивости, консервативности РС.
Сходимости РС означает, что при приближении размеров ша- гов по координатам значения се- точного (приближенного) реше- ния и точного решения стре- мятся к нулю отличаются. Од- нако надо помнить, что при уменьшении шага на начальном участке погрешность снижа- ется, а потом начинают накап- ливать ошибки вычисления и за- висимость погрешности от раз- мера шага имеет вид (рис. 3)
Устойчивость РС определя- ется используемым трафаретом, по которому реализуется преоб- разование к конечно-разностной системе уравнений.
Существует два трафарета: явный и неявный (рис. 4), имеется их совмещенный аналог – смешенный трафарет. Первый позво- ляет строит решение с минимальными вычислительными затра- тами, но с другой стороны имеет очень жесткие требования по сходимости решения.
Рис. 3. Сходимость решения.
86
Второй трафарет не имеет жестких ограничений, но для реше- ния на каждом шаге требуется решение си- стемы конечно- разностных уравнений.
В этом случае в ре- зультате постро- ения сетки полу- чается сильно- разреженная матрица коэф- фициентов урав- нения, которая имеет три диагональных элемента. Решение дан- ной задачи выполняется методом прогонки.
Построение конечно-разностных схем
Рассмотрим порядок построения конечно разностных схем на примере тепловой задачи. Имеется тело с начальной температу- рой равной Т
нач
и температурой стенок равных Т
лев
и Т
пр
которые отличаются от температуры тела и нагревают или охлаждают его.
Требуется построить изменение температуры внутри тела от вре- мени. Данная модель для тела в общем виде для однопараметри- ческой постановки может быть описана следующим дифференци- альным уравнением:
q
x
T
x
k
x
T
a
T
2 2
(7) где: T – температура; τ – время; а – теплопроводность; k – коэф- фициент симметрии тела: 0 – плоскостная симметрия; 1 – осе- вая симметрия (цилиндр); 2 – точечная симметрия (сфера); x – текущая координата; q – внутренние источники тепла.
Рис. 4. Явный и неявный трафареты.
87
Зададимся начальными и граничными условиями из данных за- дачи и напишем систему уравнений для её решения:
0
;
0
;
;
0 2
2
пг
пр
пг
лг
лев
лг
пг
лг
нач
x
x
при
T
T
тело
q
x
T
x
k
x
T
a
T
x
x
при
T
T
x
x
x
при
T
T
(8)
Для её решения зададимся РС из 10 узлов (рис. 5) с использо- ванием явного трафаретом, показанного девятью тре- угольниками, (см. рис. 4) и преобразуем все производные на их аналоги (1, 2), задавшись соответствующими индек- сами: i – по координате и j – по времени.
Нулевой и последний узлы, соответствующие граничным условиям, (см. рис. 5) не попадают в описанные выше трафареты и для них будем использовать дан- ные из граничных условий. А для оставшихся девяти внутренних узлов (i = 1 … 9) построим конечно-разностное уравнение с ис- пользованием аналоги для явного трафарета по времени:
j
i
j
i
T
T
a
T
1
(9) и координате:
x
T
T
x
k
a
x
T
x
T
T
T
a
x
T
j
i
j
i
i
j
i
j
i
j
i
2
;
2 1
1 2
1 1
2 2
(10)
Заменяем производные их конечно-разностными аналогами, используя формулы (9, 10) получаем:
x
T
T
x
k
a
x
T
T
T
a
T
T
j
i
j
i
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
2 2
1 1
2 1
1 1
(11)
Рис. 5. РС для решения.
Время
Координата
i
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
j
0
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9
88
В этом выражении имеется только одна неизвестная темпера- тура (
1
j
i
T
), переносим её в левую часть выражения и получаем окончательное решение:
j
i
j
i
j
i
тек
j
i
j
i
j
i
j
i
T
x
T
T
x
a
k
x
T
T
T
a
T
2 2
1 1
2 1
1 1
(12) в котором имеются две неизвестные температуры на границах –
j
i
T
1
для i=1 и
j
i
T
1
для i=9, которые определяются из граничных условий.
Использование граничных условий позволяет замкнуть си- стему уравнений.
Из постановки задачи известно, что начальная температура тела равна Т
нач
, левая граница имеет температуру тела равную Т
лев
и для правой границы Т
прав
. В результате можно построить си- стему конечно-разностных уравнений (КРУ):
0
при
9 1
при
2 0
при
9 1
при
10 2
1 1
1 0
0
j
T
T
i
T
x
T
T
T
a
T
j
T
T
i
T
T
прав
j
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
лев
j
нач
i
(13)
Так как наша задача является плоской, то основное уравнение сокращено из-за значения k=0.
Данную систему КРУ легко решить в Excel. Сначала создаем блок исходных данных:
- начальная температура – Тнач;
- температура на левой границе – Тлев;
- температура на правой границе – Тправ;
- число узлов – n;
- толщина пластины – h;
- шаг по времени – Δτ.
Вычисляем шаг по координате – Δh = h / n. Готовим расчетную матрицу:
89
- оставив два свободных столбца слева заполняем значения ин- дексов по координате i от 0 до т=n;
- в следующей строке, начиная с i=0 вычисляем значения тол- щины для каждого сечения – h
i
от 0 до h с шагом Δh;
- в третей строке заполняем данные для начального времени –
τ=0, в первой ячейке вводим начальное значение индекса по времени – j=0, во второй задаемся начальным временем τ=0, далее для столбца i=0 задаем температуру на левой границе, для столбцов i от 1 до n-1 задаем начальную температуру и в последнем столбце i=n задаем температуру на правой границе;
- в четвертой строке заполняем основную формулу, которая и должна быть скопирована на нужное число строк в зависимо- сти от стоящей задачи (до заданного времени или до достиже- ния заданных условий по температуре). Индекс j накапливаем по формуле – j
тек
= j
пред
+ 1, так же формируем расчет по вре- мени – τ
тек
= τ
пред
+ Δτ. Формулы для границ копируем из предыдущего слоя и для всех внутренних узлов вводим основ- ную формулу, используя данные температур из предыдущего слоя со значениями i-1, i и i+1, а все постоянные выбираем из блока исходных данный, не забывая их закрепить к абсолют- ной адресации ячеек;
- выделяем последнюю строку и копируем её нужное число раз.
В результате должна быть получена следующая таблица с ис- ходными данными (рис. 6) и расчетная таблица (рис. 7).
Рис. 6. Блок исходных данных.
90
Рис. 7 Расчетная таблица (показаны первые 10 шагов).
На основании этих данных может быть построена диаграмма типа поверхность, которая в качестве исходных данных требует матрицы с близким числом строк и столбцов. В нашем случае мы имеет одиннадцать столбцов и сто строк, поэтому для построения графика выбираем каждую десятую строку матрица и только по- том строим поверхность (рис. 8)
Рис. 8. Расчетная поверхность.
Можно исследовать данную модель, найти зависимости, кото- рые влияют на изменения данной поверхности. Ясно, что в конеч- ном состоянии должно быть получено линейное распределение температуры от холодного значения до горячего. Изменение теп- лопроводности приводит к ускорению или замедлению процесса
91 нагрева
Для граничного условия первого рода известно значение функ- ции (в данном случае температуры) в виде конкретного значения или зависимости от одного из параметров:
x
F
const
T
/
(19)
Так, например, температура на границе может быть постоян- ной или изменяться от времени по известному закону.
Граничное условие второго рода содержат производную от ис- следуемой функции (для температуры это тепловой поток, кото- рый изменяет температуру тела), которая может быть константой или функций от одного из параметров:
x
F
const
T
а
/
(20)
Например, теплоотвод или тепло приход за счет конвективного обмена с окружающей средой, который учитывается через коэф- фициент теплоотдачи α в виде уравнения:
min max
T
T
dx
dT
a
(21) если происходит подвод тепла, то температура среды имеет боль- шее значение и стоит на первом месте в скобках и наоборот при отводе тепла на первом месте будет стоять температура стенки, что приводит к изменению знака у потока тепла.
Другим граничным условием, часто используемым в расчетах, является условие симметрии для осесимметричных тел, когда принимается, что в области оси симметрии тепловой поток равен нулю:
0
dx
dT
a
(22)
В граничных условиях третьего рода предполагается равенства значения функции и её производной на границе раздела тел:
x
T
a
x
T
a
T
T
2 2
1 1
2 1
;
(21)
92
Оно работает на границе плотных тел при их плотном кон- такте, когда значения температур на соприкасающихся поверхно- стях практически равны, а тепловые потоки пропорциональны теплопроводности тел.
Эти условия так же приводятся к конечно-разностным уравне- ниям, которые помогают найти неизвестную функцию на границе от предыдущего значения по времени или от текущего по коорди- нате.
Для начала расчета необходимы начальные условия, которые задают значения исследуемой функции в расчетных узлах на начальный момент времени. Чаще всего это константы или мате- матические зависимости от координат тела.
Тепловые потоки внутри тела q (11) могут быть как локаль- ными, привязанными к конкретной координате тела, так и распре- деленными, которые выделяют или поглощают тепло по всему объему тела в зависимости, например, от температуры.
Для локальных источников тепла достаточно в данной точке координат установить узел и в расчетную формулу включить дан- ный источник с соответствующим знаком (+ выделение или – по- глощение тепла) в виде константы или функции от времени или температуры. Это могут быть тепловые источники нагрева мате- риала (электропровод, труба теплообменника и т.п.).
Распределенные источники тепла требуют более сложных рас- четов. К ним можно отнести химические реакции с тепловыделе- нием или поглощением тепла, процессы плавления и кристалли- зации и т.д. Эти процессы зависят не только от самой функции, но и объема локальной ячейки расчета, которая располагается во- круг узла и для неё принимается одинаковая температура в дан- ный момент времени.
Например, для учета химической реакции требуется для каж- дого элементарного объема определить через кинетические зави- симости количество прореагировавшего вещества в зависимости от температуры данного локального объема и концентрации ком-
93 понентов в нем и добавить вычисленного тепло в расчет для теку- щего узла.
Процессы фазовых переходов требую учета не только темпе- ратур в данном узле, но и накопленной или отданной теплоты, так как эти процессы идут при заданной температуре с поглощением или выделением соответствующего тепла согласно константам плавления или кристаллизации.
В ряде задач могут возникнуть проблемы с изменением неко- торых констант от температуры, что потребует их учета на каж- дом шаге вычисления.
Рассмотрим решение таких задач в среде MS Excel.
Реализация решения в Excel по явному трафарету
Решение будем строить от простого к сложному.
Основные понятия
Метод конечных разностей является численным методом ре- шения дифференциальных уравнений. Он основан на замене про- изводных разностными схемами (РС) с привязкой к заранее заданному набору узлов, по которым и строится само ре- шение. Поэтому он является сеточным методом [1]. Для преобразования произ- водных их разностными аналогами можно использовать различные фор мулы. Аппроксимация производных мо- жет быть выполнена по следующей схеме (рис.1). Для производных первого порядка можно построить три варианта формул, которые называются левая, правая и центральная производные соответственно:
x
u
u
x
u
u
x
u
u
x
u
i
i
i
i
i
i
Δ
Δ
Δ
2 1
1 1
1
(1)
Они нужны в различных конечно-разностных схемах, например, левая и правая производные используются на левом и правом гра- ничных узлах схемы.
Для производных второго порядка используем трехточечную схему, которая может быть получена из левой и правой производ- ных первого порядка (1):
2 1
1 2
2 2
x
u
u
u
x
u
i
i
i
Δ
(2)
Разностная схема – это конечная система алгебраических уравнений, построенная в соответствие решаемой дифференци- альной задачей, содержащей дифференциальное уравнение, опи- сывающее поведение исследуемого объекта, и дополнительные уравнения, замыкающие систему конечно-разностных уравнений.
Рис. 11. Графическая схема для вычисления производных
x
i
x
i-1
x
i+1
u
i-1
u
i
u
i+1
84
Это начальные условия, которые задают начальное состояние объекта, и граничные условия, определяющие процессы, которые протекают на его границах. В результате этого преобразования дифференциальная задача, имеющая непрерывный характер по координатам, переводится в конечную систему алгеб- раических уравнений с числом уравнений равным числу заданных узлов в
РС, которая является уже дискретной задачей, с определением значений в заранее заданных узлах расчетной сетки (рис. 2).
Такое решением по РС называется приближен- ным решением дифферен- циальной задачи.
Начальные условия (НУ) определяют состояние объекта иссле- дования в начальный момент времени (τ=0) в виде постоянного значения (u=const) или функции от координат (u=f(x
i
)) в том числе и производной u по координатам.
Граничные условия (ГУ) определяют изменение функции u на границах объекта от времени τ. Их можно разделить на три рода:
- ГУ первого рода определяют изменение функции u от времени
τ в виде константы или функции от времени:
F
const
u
(3);
- ГУ второго рода определяют изменения производной от функции в зависимости от времени:
F
const
u
(4);
Рис. 2. Разностная схема.
85
- ГУ третьего рода имеют место при конвективном теплооб- мене между телом и окружающей средой, когда принято по- стоянство температуры среды и теплового потока из неё в тело:
пов
cp
u
u
u
(5);
- ГУ четвертого рода описывают теплообмен между телом и жидкой средой или между двумя твердыми телами, когда из- вестно равенство температур на границе и тепловых потоков в каждом из тел:
2 1
2 1
,
u
u
u
u
гр
гр
(6).
Важными понятиями в теории разностных схем являются по- нятия сходимости, устойчивости, консервативности РС.
Сходимости РС означает, что при приближении размеров ша- гов по координатам значения се- точного (приближенного) реше- ния и точного решения стре- мятся к нулю отличаются. Од- нако надо помнить, что при уменьшении шага на начальном участке погрешность снижа- ется, а потом начинают накап- ливать ошибки вычисления и за- висимость погрешности от раз- мера шага имеет вид (рис. 3)
Устойчивость РС определя- ется используемым трафаретом, по которому реализуется преоб- разование к конечно-разностной системе уравнений.
Существует два трафарета: явный и неявный (рис. 4), имеется их совмещенный аналог – смешенный трафарет. Первый позво- ляет строит решение с минимальными вычислительными затра- тами, но с другой стороны имеет очень жесткие требования по сходимости решения.
Рис. 3. Сходимость решения.
86
Второй трафарет не имеет жестких ограничений, но для реше- ния на каждом шаге требуется решение си- стемы конечно- разностных уравнений.
В этом случае в ре- зультате постро- ения сетки полу- чается сильно- разреженная матрица коэф- фициентов урав- нения, которая имеет три диагональных элемента. Решение дан- ной задачи выполняется методом прогонки.
Построение конечно-разностных схем
Рассмотрим порядок построения конечно разностных схем на примере тепловой задачи. Имеется тело с начальной температу- рой равной Т
нач
и температурой стенок равных Т
лев
и Т
пр
которые отличаются от температуры тела и нагревают или охлаждают его.
Требуется построить изменение температуры внутри тела от вре- мени. Данная модель для тела в общем виде для однопараметри- ческой постановки может быть описана следующим дифференци- альным уравнением:
q
x
T
x
k
x
T
a
T
2 2
(7) где: T – температура; τ – время; а – теплопроводность; k – коэф- фициент симметрии тела: 0 – плоскостная симметрия; 1 – осе- вая симметрия (цилиндр); 2 – точечная симметрия (сфера); x – текущая координата; q – внутренние источники тепла.
Рис. 4. Явный и неявный трафареты.
87
Зададимся начальными и граничными условиями из данных за- дачи и напишем систему уравнений для её решения:
0
;
0
;
;
0 2
2
пг
пр
пг
лг
лев
лг
пг
лг
нач
x
x
при
T
T
тело
q
x
T
x
k
x
T
a
T
x
x
при
T
T
x
x
x
при
T
T
(8)
Для её решения зададимся РС из 10 узлов (рис. 5) с использо- ванием явного трафаретом, показанного девятью тре- угольниками, (см. рис. 4) и преобразуем все производные на их аналоги (1, 2), задавшись соответствующими индек- сами: i – по координате и j – по времени.
Нулевой и последний узлы, соответствующие граничным условиям, (см. рис. 5) не попадают в описанные выше трафареты и для них будем использовать дан- ные из граничных условий. А для оставшихся девяти внутренних узлов (i = 1 … 9) построим конечно-разностное уравнение с ис- пользованием аналоги для явного трафарета по времени:
j
i
j
i
T
T
a
T
1
(9) и координате:
x
T
T
x
k
a
x
T
x
T
T
T
a
x
T
j
i
j
i
i
j
i
j
i
j
i
2
;
2 1
1 2
1 1
2 2
(10)
Заменяем производные их конечно-разностными аналогами, используя формулы (9, 10) получаем:
x
T
T
x
k
a
x
T
T
T
a
T
T
j
i
j
i
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
2 2
1 1
2 1
1 1
(11)
Рис. 5. РС для решения.
Время
Координата
i
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
j
0
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9
88
В этом выражении имеется только одна неизвестная темпера- тура (
1
j
i
T
), переносим её в левую часть выражения и получаем окончательное решение:
j
i
j
i
j
i
тек
j
i
j
i
j
i
j
i
T
x
T
T
x
a
k
x
T
T
T
a
T
2 2
1 1
2 1
1 1
(12) в котором имеются две неизвестные температуры на границах –
j
i
T
1
для i=1 и
j
i
T
1
для i=9, которые определяются из граничных условий.
Использование граничных условий позволяет замкнуть си- стему уравнений.
Из постановки задачи известно, что начальная температура тела равна Т
нач
, левая граница имеет температуру тела равную Т
лев
и для правой границы Т
прав
. В результате можно построить си- стему конечно-разностных уравнений (КРУ):
0
при
9 1
при
2 0
при
9 1
при
10 2
1 1
1 0
0
j
T
T
i
T
x
T
T
T
a
T
j
T
T
i
T
T
прав
j
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
лев
j
нач
i
(13)
Так как наша задача является плоской, то основное уравнение сокращено из-за значения k=0.
Данную систему КРУ легко решить в Excel. Сначала создаем блок исходных данных:
- начальная температура – Тнач;
- температура на левой границе – Тлев;
- температура на правой границе – Тправ;
- число узлов – n;
- толщина пластины – h;
- шаг по времени – Δτ.
Вычисляем шаг по координате – Δh = h / n. Готовим расчетную матрицу:
89
- оставив два свободных столбца слева заполняем значения ин- дексов по координате i от 0 до т=n;
- в следующей строке, начиная с i=0 вычисляем значения тол- щины для каждого сечения – h
i
от 0 до h с шагом Δh;
- в третей строке заполняем данные для начального времени –
τ=0, в первой ячейке вводим начальное значение индекса по времени – j=0, во второй задаемся начальным временем τ=0, далее для столбца i=0 задаем температуру на левой границе, для столбцов i от 1 до n-1 задаем начальную температуру и в последнем столбце i=n задаем температуру на правой границе;
- в четвертой строке заполняем основную формулу, которая и должна быть скопирована на нужное число строк в зависимо- сти от стоящей задачи (до заданного времени или до достиже- ния заданных условий по температуре). Индекс j накапливаем по формуле – j
тек
= j
пред
+ 1, так же формируем расчет по вре- мени – τ
тек
= τ
пред
+ Δτ. Формулы для границ копируем из предыдущего слоя и для всех внутренних узлов вводим основ- ную формулу, используя данные температур из предыдущего слоя со значениями i-1, i и i+1, а все постоянные выбираем из блока исходных данный, не забывая их закрепить к абсолют- ной адресации ячеек;
- выделяем последнюю строку и копируем её нужное число раз.
В результате должна быть получена следующая таблица с ис- ходными данными (рис. 6) и расчетная таблица (рис. 7).
Рис. 6. Блок исходных данных.
90
Рис. 7 Расчетная таблица (показаны первые 10 шагов).
На основании этих данных может быть построена диаграмма типа поверхность, которая в качестве исходных данных требует матрицы с близким числом строк и столбцов. В нашем случае мы имеет одиннадцать столбцов и сто строк, поэтому для построения графика выбираем каждую десятую строку матрица и только по- том строим поверхность (рис. 8)
Рис. 8. Расчетная поверхность.
Можно исследовать данную модель, найти зависимости, кото- рые влияют на изменения данной поверхности. Ясно, что в конеч- ном состоянии должно быть получено линейное распределение температуры от холодного значения до горячего. Изменение теп- лопроводности приводит к ускорению или замедлению процесса
91 нагрева
Для граничного условия первого рода известно значение функ- ции (в данном случае температуры) в виде конкретного значения или зависимости от одного из параметров:
x
F
const
T
/
(19)
Так, например, температура на границе может быть постоян- ной или изменяться от времени по известному закону.
Граничное условие второго рода содержат производную от ис- следуемой функции (для температуры это тепловой поток, кото- рый изменяет температуру тела), которая может быть константой или функций от одного из параметров:
x
F
const
T
а
/
(20)
Например, теплоотвод или тепло приход за счет конвективного обмена с окружающей средой, который учитывается через коэф- фициент теплоотдачи α в виде уравнения:
min max
T
T
dx
dT
a
(21) если происходит подвод тепла, то температура среды имеет боль- шее значение и стоит на первом месте в скобках и наоборот при отводе тепла на первом месте будет стоять температура стенки, что приводит к изменению знака у потока тепла.
Другим граничным условием, часто используемым в расчетах, является условие симметрии для осесимметричных тел, когда принимается, что в области оси симметрии тепловой поток равен нулю:
0
dx
dT
a
(22)
В граничных условиях третьего рода предполагается равенства значения функции и её производной на границе раздела тел:
x
T
a
x
T
a
T
T
2 2
1 1
2 1
;
(21)
92
Оно работает на границе плотных тел при их плотном кон- такте, когда значения температур на соприкасающихся поверхно- стях практически равны, а тепловые потоки пропорциональны теплопроводности тел.
Эти условия так же приводятся к конечно-разностным уравне- ниям, которые помогают найти неизвестную функцию на границе от предыдущего значения по времени или от текущего по коорди- нате.
Для начала расчета необходимы начальные условия, которые задают значения исследуемой функции в расчетных узлах на начальный момент времени. Чаще всего это константы или мате- матические зависимости от координат тела.
Тепловые потоки внутри тела q (11) могут быть как локаль- ными, привязанными к конкретной координате тела, так и распре- деленными, которые выделяют или поглощают тепло по всему объему тела в зависимости, например, от температуры.
Для локальных источников тепла достаточно в данной точке координат установить узел и в расчетную формулу включить дан- ный источник с соответствующим знаком (+ выделение или – по- глощение тепла) в виде константы или функции от времени или температуры. Это могут быть тепловые источники нагрева мате- риала (электропровод, труба теплообменника и т.п.).
Распределенные источники тепла требуют более сложных рас- четов. К ним можно отнести химические реакции с тепловыделе- нием или поглощением тепла, процессы плавления и кристалли- зации и т.д. Эти процессы зависят не только от самой функции, но и объема локальной ячейки расчета, которая располагается во- круг узла и для неё принимается одинаковая температура в дан- ный момент времени.
Например, для учета химической реакции требуется для каж- дого элементарного объема определить через кинетические зави- симости количество прореагировавшего вещества в зависимости от температуры данного локального объема и концентрации ком-
93 понентов в нем и добавить вычисленного тепло в расчет для теку- щего узла.
Процессы фазовых переходов требую учета не только темпе- ратур в данном узле, но и накопленной или отданной теплоты, так как эти процессы идут при заданной температуре с поглощением или выделением соответствующего тепла согласно константам плавления или кристаллизации.
В ряде задач могут возникнуть проблемы с изменением неко- торых констант от температуры, что потребует их учета на каж- дом шаге вычисления.
Рассмотрим решение таких задач в среде MS Excel.
Реализация решения в Excel по явному трафарету
Решение будем строить от простого к сложному.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11