Файл: Методические указания к выполнению контрольной работы для студентов заочной формы обучения.docx

_x,y. Он может быть рассчитан по формуле: . Кроме того, коэффициент линейной парной корреляции может быть определен через коэффициент регрессии b: .

Область допустимых значений линейного коэффициента парной корреляции от –1 до +1. Знак коэффициента корреляции указывает направление связи. Если r_x,y>0, то связь прямая; если r_x,y<0, то связь обратная.

Если данный коэффициент по модулю близок к единице, то связь между признаками может быть интерпретирована как довольно тесная линейная. Если его модуль равен единице r_x,y =1, то связь между признаками функциональная линейная. Если признаки х и y линейно независимы, то r_x,y близок к 0.

Для расчета r_x,y можно использовать также таблицу 1.

Таблица 1

N наблюдения	xi	yi	xi ∙yi
1	x1	y1	x1·y1
2	x2	y2	x2·y2
...
n	xn	yn	xn·yn
Сумма по столбцу	x	y	 x·y
Среднее значение

---

Для оценки качества полученного уравнения регрессии рассчитывают теоретический коэффициент детерминации – R²_yx:

,

где ² – объясненная уравнением регрессии дисперсия y;

²- остаточная (необъясненная уравнением регрессии) дисперсия y;

²_y - общая (полная) дисперсия y.

Коэффициент детерминации характеризует долю вариации (дисперсии) результативного признака y, объясняемую регрессией (а, следовательно, и фактором х), в общей вариации (дисперсии) y. Коэффициент детерминации R²_yx принимает значения от 0 до 1. Соответственно величина 1-R²_yx характеризует долю дисперсии y, вызванную влиянием прочих неучтенных в модели факторов и ошибками спецификации.

При парной линейной регрессии R²_yx=r²_yx.

Оценка статистической значимости параметров уравнения регрессии.

С помощью МНК мы получили лишь оценки параметров уравнения регрессии, которые характерны для конкретного статистического наблюдения (конкретного набора значений x и y). Если оценку параметров произвести по данным другого статистического наблюдения (другому набору значений x и y), то получим другие численные значения , .

Мы предполагаем, что все эти наборы значений x и y извлечены из одной и той же генеральной совокупности. Чтобы проверить, значимы ли параметры, т.е. значимо ли они отличаются от нуля для генеральной совокупности используют статистические методы проверки гипотез.

В качестве основной (нулевой) гипотезы выдвигают гипотезу о незначимом отличии от нуля параметра или статистической характеристики в генеральной совокупности. Наряду с основной (проверяемой) гипотезой выдвигают альтернативную (конкурирующую) гипотезу о неравенстве нулю параметра или статистической характеристики в генеральной совокупности. В случае если основная гипотеза окажется неверной, мы принимаем альтернативную. Для проверки этой гипотезы используется t-критерий Стьюдента.

Найденное по данным наблюдений значение

---

t-критерия (его еще называют наблюдаемым или фактическим) сравнивается с табличным (критическим) значением, определяемым по таблицам распределения Стьюдента (которые обычно приводятся в конце учебников и практикумов по статистике или эконометрике). Табличное значение определяется в зависимости от уровня значимости () и числа степеней свободы, которое в случае линейной парной регрессии равно (n-2), n-число наблюдений.

Если фактическое значение t-критерия больше табличного (по модулю), то основную гипотезу отвергают и считают, что с вероятностью (1-) параметр или статистическая характеристика в генеральной совокупности значимо отличается от нуля.

Если фактическое значение t-критерия меньше табличного (по модулю), то нет оснований отвергать основную гипотезу, т.е. параметр или статистическая характеристика в генеральной совокупности незначимо отличается от нуля, например, при уровне значимости =0,05.

Для параметра b критерий проверки имеет вид:

,

где - оценка коэффициента регрессии, полученная по наблюдаемым данным;

– стандартная ошибка коэффициента регрессии.

Для линейного парного уравнения регрессии стандартная ошибка коэффициента вычисляется по формуле:

.
Числитель в этой формуле может быть рассчитан через коэффициент детерминации и общую дисперсию признака-результата: .

Для параметра a критерий проверки гипотезы о незначимом отличии его от нуля имеет вид:

,

где - оценка параметра регрессии, полученная по наблюдаемым данным;

– стандартная ошибка параметра a.

Для линейного парного уравнения регрессии:

.

Для проверки гипотезы о незначимом отличии от нуля коэффициента линейной парной корреляции в генеральной совокупности используют следующий критерий:

---

, где r_yx - оценка коэффициента корреляции, полученная по наблюдаемым данным; _r – стандартная ошибка коэффициента корреляции r_yx.

Для линейного парного уравнения регрессии:

.

В парной линейной регрессии между наблюдаемыми значениями критериев существует взаимосвязь: t_(b=0)=t_(r=0).
Прогноз ожидаемого значения результативного признака y по линейному парному уравнению регрессии.

Пусть требуется оценить значение признака-результата для заданного значения признака-фактора (х^р). Прогнозируемое значение признака-результата c доверительной вероятностью равной (1-) принадлежит интервалу прогноза:

( -t·_p; +t·_p),

где - точечный прогноз;

t – коэффициент доверия, определяемый по таблицам распределения Стьюдента в зависимости от уровня значимости  и числа степеней свободы (n-2);

_p- средняя ошибка прогноза.

Точечный прогноз рассчитывается по линейному уравнению регрессии, как: .

Средняя ошибка прогноза определяется по формуле:

.

Задание № 1

На основе данных, приведенных в Приложении 1 и соответствующих Вашему варианту (таблица 2), требуется:

1. 
   Рассчитать коэффициент линейной парной корреляции и построить уравнение линейной парной регрессии одного признака от другого. Один из признаков, соответствующих Вашему варианту, будет играть роль факторного (х), другой – результативного (y). Причинно-следственные связи между признаками установить самим на основе экономического анализа. Пояснить смысл параметров уравнения.
   
2. 
   Определить теоретический коэффициент детерминации и остаточную (необъясненную уравнением регрессии) дисперсию. Сделать вывод.
   
3. 
   Оценить статистическую значимость уравнения регрессии в целом на пятипроцентном уровне с помощью F-критерия Фишера. Сделать вывод.
   
4. 
   Выполнить прогноз ожидаемого значения признака-результатаy при прогнозном значении признака-фактора х, составляющим 105% от среднего уровня х. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал с вероятностью 0,95.
   

---

Таблица 2

Вариант	Номер начального наблюдения	Номер конечного наблюдения	Номер признаков из прил. 1	Вариант	Номер начального наблюдения	Номер конечного наблюдения	Номер признаков из прил. 1
1	2	3	4	5	6	7	8
01		50	1,2	51	26	75	1,3
02	1	50	3,4	52	26	75	4,5
03	2	51	1,3	53	27	76	1,4
04	2	51	4,5	54	27	76	2,5
05	3	52	1,4	55	28	77	1,5
06	3	52	2,5	56	28	77	2,3
07	4	53	1,5	57	29	78	1,2
08	4	53	2,3	58	29	78	3,4
09	5	54	1,2	59	30	79	1,3
10	5	54	3,4	60	30	79	4,5
11	6	55	1,3	61	31	80	1,4

---