ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.02.2024
Просмотров: 359
Скачиваний: 2
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
4. Четырехугольники
Уровень В
40.
Пусть ABCD – параллелограмм, AC – диагональ. В треугольниках ABC и CDA сторона AC – общая. Угол CAB равен углу
ACD как накрест лежащие при параллельных прямых AB, СD и секущей AC.Угол ACB равен углу CAD как накрест лежащие при параллельных прямых AD, BC и секущей AC. Следовательно, треугольники ABC и CDA равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.
41. Нет. Пример приведен на рисунке.
42.
Пусть
ABCD
– четырехугольник, у которого противоположные углы равны. Так как сумма углов четырехугольника равна 360
о
, то сумма двух односторонних углов будет равна 180
о и, следовательно, противоположные стороны этого четырехугольника параллельны, т.е. он – параллелограмм.
243 43.
Пусть в прямоугольнике ABCD проведены диагонали AC и
BD. Прямоугольные треугольники ABC и BAD равны по двум катетам.
Следовательно, AC = BD.
44.
Пусть в прямоугольнике ABCD проведены диагонали AC и
BD. Треугольники ABC и BAD равны по трем сторонам. Следовательно, угол ABC равен углу BAD. В сумме эти углы составляют 180
о
, как односторонние углы при параллельных BC и AD и секущей AB.
Следовательно, эти углы равны 90
о и, значит, ABCD – прямоугольник.
45.
Пусть диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O.В равнобедренном треугольнике ABD AO является медианой и, следовательно, высотой. Значит, диагонали AC и BD ромба перпендикулярны.
46.
Пусть диагонали параллелограмма ABCD перпендикулярны и пересекаются в точке O. Прямоугольные треугольники AOB и AOD
244 равны по двум катетам. Следовательно, AB = AD и, значит, параллелограмм ABCD является ромбом.
47.
Пусть ABCD – параллелограмм, AC – диагональ. В треугольнике ABC угол ACB равен углу CAD и равен углу BAC.
Следовательно, этот треугольник равнобедренный, AB = BC. Значит, параллелограмм ABCD является ромбом.
48.
Так как противоположные стороны четырехугольника равны, то он является параллелограммом. Так как все его стороны равны, то этот параллелограмм – ромб.
49.
Пусть диагонали прямоугольника ABCD перпендикулярны и пересекаются в точке O.Прямоугольные треугольники AOB и AOD
равны по двум катетам. Следовательно, AB = AD и, значит, ABCD – квадрат.
245 50.
Пусть диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке O.Треугольники AOB и COD равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, угол OAB равен углу OCD и, значит, отрезки AB и CD равны и параллельны. Следовательно, четырехугольник ABCD – параллелограмм.
51.
Из того, что диагонали четырехугольника в точке пересечения делятся пополам, следует, что этот четырехугольник является параллелограммом. Из того, что диагонали параллелограмма равны, следует, что он является прямоугольником.
52.
Пусть ABCD – равнобедренная трапеция (AB || DC). Из вершин C и D опустим высоты CG и DH на основание AB.
246
Прямоугольные треугольники BCG и ADH равны по гипотенузе и катету. Следовательно, углы A и B равны.
53.
Пусть в трапеции ABCD (AB || DC) равны острые углы A и
B. Из вершин C и D опустим высоты CG и DH на основание AB.
Прямоугольные треугольники BCG и ADH равны по катету и острому углу. Следовательно, BC = AD и, значит, трапеция ABCD – равнобедренная.
54.
Воспользуемся тем, что сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции равна 180
о
. Из того, что сумма двух противоположных углов трапеции равна 180
о
, следует, что углы при основании трапеции равны и, значит, трапеция – равнобедренная.
247 55.
Пусть ABCD – равнобедренная трапеция (AB || CD), AC и
BD – диагонали. Треугольники ABC и BAD равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, AC = BD.
56.
Пусть ABCD – ромб, DE и DF – его высоты.
Прямоугольные треугольники ADE и CDF равны по гипотенузе и острому углу. Следовательно, DE = DF.
57.
Пусть диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O.
Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до его стороны равно половине высоты ромба, опущенной на эту сторону. Из равенства высот ромба следует равенство расстояний OE и OF.
58.
Все четыре прямоугольных треугольника равны по двум катетам. Следовательно, четырехугольник A
1
B
1
C
1
D
1
– ромб. Кроме того, каждый угол этого четырехугольника равен 180
о минус сумма
248 острых углов прямоугольного треугольника, т.е. равен 90
о
Следовательно, A
1
B
1
C
1
D
1
– квадрат.
59.
Все четыре прямоугольных треугольника равны по двум катетам. Следовательно, четырехугольник A
1
B
1
C
1
D
1
– ромб. Кроме того, каждый угол этого четырехугольника равен суммt острых углов прямоугольного треугольника, т.е. равен 90
о
. Следовательно, A
1
B
1
C
1
D
1
– квадрат.
60.
Пусть в четырехугольнике ABCD проведена диагональ AC.
В силу неравенства треугольника имеем AC < AB + BC и AC < AD +
CD. Складывая эти неравенства, получим AC <
1 2
(AB + BC + CD +
DA).
249 61.
Пусть диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке O.В силу неравенства треугольника имеем AD < AO + OD и BC
< BO + OC. Складывая эти неравенства, получим AD + BC < AC + BD.
62.
Пусть в четырехугольнике ABCD точки E, F, G, H являются серединами сторон соответственно AB, BC, CD, DA. В треугольнике
ABC EF – средняя линия и, значит, параллельна AC. Аналогично GH
параллельна AC. Следовательно, EF параллельна GH. Аналогично FG
параллельна EH. Таким образом, противоположные стороны четырехугольника EFGH параллельны и, следовательно, он является параллелограммом.
63.
Пусть в прямоугольнике ABCD точки E, F, G, H являются серединами сторон соответственно AB, BC, CD, DA. Все прямоугольные треугольники равны по двум катетам. Значит, стороны четырехугольника EFGH равны и, следовательно, он является ромбом.
250 64.
Пусть в ромбе ABCD точки E, F, G, H являются серединами сторон соответственно AB, BC, CD, DA. В силу задачи 23 четырехугольник EFGH является параллелограммом. Его стороны параллельны диагоналям ромба и, следовательно, перпендикулярны.
Значит, четырехугольник EFGH – прямоугольник.
65.
Пусть в равнобедренной трапеции ABCD (AD || BC) точки
E, F, G, H являются серединами сторон соответственно AB, BC, CD,
DA. В силу задачи 23 четырехугольник EFGH – параллелограмм.
Кроме того, треугольники AHE и DHG равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, EH = HG и, значит, EFGH – ромб.
66.
Пусть ABCD – параллелограмм, AEF – треугольник, образованный прямыми AB, AD,и прямой, содержащей биссектрису внешнего угла DCG при вершине C. Тогда
DFC =
GCF =
DCF и, следовательно, треугольник DCF – равнобедренный, DC = DF.
Аналогично треугольник BCE –равнобедренный, BC = BE. Значит, в треугольнике AEF AE = AF =AB + AD, или AE+AF=AB+BC+CD+DA.
251 67.
В треугольнике ABG EH – средняя линия. Следовательно,
BH = HG. Аналогично в треугольнике CDH FG – средняя линия.
Следовательно, DG = GH. Таким образом, прямые AF и CE делят диагональ BD на три равные части.
68. Треугольник AFE подобен треугольнику CFB. Следовательно,
1
AE
BC
n
, значит, AF =
1
AC
n
69.
Пусть ABCD – четырехугольник, E, G – середины диагоналей соответственно AC и BD, F, H – середины сторон соответственно BC и AD. Тогда EF – средняя линия треугольника ABC.
Следовательно, она параллельна стороне AB и равна ее половине.
Аналогично GH параллельна AB и равна ее половине. Значит, EFGH – параллелограмм.
252 70.
Пусть диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O, точки E, F, G, H – основания перпендикуляров, опущенных из нее на соответствующие стороны ромба.В силу задачи 18, отрезки EG и FH
равны и в точке пересечения делятся пополам. Следовательно, EFGH – прямоугольник.
71. Пусть ABCD – трапеция, (AD || BC), точки G и H принадлежат основаниям трапеции.Четырехугольник ABGH – трапеция, EP – средняя линия. Следовательно, отрезок GH делится средней линией EF пополам.
72.
Пусть ABCD – ромб. Воспользуемся тем, что диагонали AC
и BD ромба перпендикулярны и в точке пересечения O делятся пополам. Площадь треугольника ABC равна половине произведения AC
на OB. Площадь треугольника ADC равна половине произведения AC
на OD. Следовательно, площадь ромба ABCD равна половине произведения AC на BD.
253 73. Пусть ABCD – четырехугольник, диагонали AC и BD которого перпендикулярны.
Рассмотрим диагональ
AC, разбивающую четырехугольник на два треугольника. Площадь треугольника ABC
равна половине произведения AC на OB. Площадь треугольника ADC
равна половине произведения AC на OD. Следовательно, площадь четырехугольника ABCD равна половине произведения AC на BD.
74. Пусть ABCD – параллелограмм, O – точка пересечения диагоналей. Прямая, проходящая через точку O, делит параллелограмм на две трапеции, средние линии которых равны половине стороны параллелограмма, а высоты – высоте параллелограмма. Следовательно, эти трапеции имеют равные площади.
75. Пусть ABCD – трапеция (AB || DC), O – середина средней линии
EF. Прямая, проходящая через точку O, делит трапецию на две трапеции, средние линии которых равны половине средней линии данной трапеции, а высоты – высоте трапеции. Следовательно, эти трапеции имеют равные площади.
254 76. Пусть ABCD – трапеция (AB || DC). Прямая, проходящая через середины оснований, делит ее на две трапеции с соответственно равными основаниями и высотами. Следовательно, эти трапеции имеют равные площади.
77. Пусть ABCD – выпуклый четырехугольник, O – точка пересечения диагоналей, EFGH – параллелограмм, образованный прямыми, проведенными через его вершины и параллельные диагоналям. Диагонали AC и BD разбивают четырехугольник ABCD на четыре треугольника, а параллелограмм EFGH на четыре параллелограмма, площадь каждого из которых вдвое больше площади соответствующего треугольника.
Следовательно, площадь параллелограмма вдвое больше площади данного четырехугольника.
78. Пусть ABCD – выпуклый четырехугольник, O – точка пересечения его диагоналей, E – произвольная точка плоскости. Из неравенства треугольника следует, что наименьшее значение сумма EA
+ EC принимает, если точка E принадлежит диагонали AC. Аналогично наименьшее значение сумма EB + ED принимает, если точка E
принадлежит диагонали BD. Следовательно, наименьшее значение сумма EA + EB + EC + ED принимает, если точка E является точкой пересечения диагоналей.
255
256
Уровень С
1. В четырехугольнике ABCD проведем диагональ AC. Имеем AB >
AC – BC, CD >AD – AC. Складывая эти неравенства, получим AB + CD
> AD – BC.
2. В трапеции ABCD (AD || BC)проведем прямую CE параллельную боковой стороне AB.Тогда DE > CD – CE и, следовательно, AD – BC >
CD – AB.
3. Пусть ABCD – выпуклый четырехугольник. Обозначим x острый угол между биссектрисами AO и CO. Так как сумма углов четырехугольника равна 360
о
, то
A/2 +
B +
C/2 + 180
o
– x = 360
o и
A/2 +
B/2 +
C/2 +
D/2 = 180
o
. Откуда x =
B/2 –
D/2.
257 4. Пусть ABCD – трапеция (AD || BC), AE и DE – биссектрисы углов при основании.Так как углы DAE и BEA равны как накрест лежащие, то треугольник ABE – равнобедренный и, следовательно, AB = BE.
Аналогично CD = CE. Значит, BC = AB + CD.
5. Пусть ABCD – трапеция (AD || BC), CG и DG – биссектрисы углов, прилежащих к боковой стороне трапеции. Так как сумма углов C
и D трапеции равна 180
о
, то сумма углов CDG и DCG равна 90
о и, следовательно, биссектрисы пересекаются под прямым углом.
Обозначим H точку пересечения биссектрисы CG с AD. Угол CHD
равен углу HCD и, значит, треугольник CHD – равнобедренный.
Следовательно, высота DG является медианой этого треугольника, т.е.
CG = GH. Из этого следует, что точка G принадлежит средней линии трапеции ABCH и, значит, средней линии трапеции ABCD.
6. Пусть O – точка пересечения диагоналей параллелограмма
ABCD, P, Q – точки пересечения диагонали BD и прямых AM и AN
соответственно. Тогда P – точка пересечения медиан BO и AM треугольника ABC. Следовательно, BP=2PO. Аналогично DQ=2QO.
Кроме того, BO = OD и, следовательно, BP = PQ = QD.
258 7. Пусть EFGH – четырехугольник, ограниченный биссектрисами углов параллелограмма ABCD. Обозначим P и Q точки пересечения биссектрис углов D и B соответственно со сторонами BC и AD. Так как биссектрисы соседних углов параллелограмма перпендикулярны, то четырехугольник EFGH – прямоугольник. В треугольнике ABQ
B =
Q, следовательно, этот треугольник – равнобедренный, AB = AQ.
Биссектриса AE этого треугольника является медианой и, значит, отрезок EQ равен половине BQ. Аналогично отрезок DG равен половине DP. Из равенства отрезков BQ и DP следует равенство отрезков EQ и DG. Таким образом, четырехугольник DGEQ – параллелограмм и, следовательно, EG = DQ = AD – AB.
8. Пусть EFGH – четырехугольник, ограниченный биссектрисами углов прямоугольника ABCD. Треугольник ADF – равнобедренный прямоугольный с острыми углами, равными 45
о
. Следовательно, AF =
DF. Прямоугольные треугольники ABE и CDG равны и, следовательно,
AE = DG. Вычитая из первого равенства второе, получим равенство EF
= FG. Аналогично доказывается, что в четырехугольнике EFGH равны другие стороны и углы равны 90
о
, значит EFGH – квадрат.
9. Пусть на сторонах параллелограмма ABCD вне его построены квадраты. E, F, G, H – их центры. Треугольники AEH, BEF равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, EH = EF и
AEH
=
BEF. Из равенства этих углов и того, что угол AEB равен 90
о
, следует, что
HEF = 90
о
. Аналогично доказывается, что в
Уровень В
40.
Пусть ABCD – параллелограмм, AC – диагональ. В треугольниках ABC и CDA сторона AC – общая. Угол CAB равен углу
ACD как накрест лежащие при параллельных прямых AB, СD и секущей AC.Угол ACB равен углу CAD как накрест лежащие при параллельных прямых AD, BC и секущей AC. Следовательно, треугольники ABC и CDA равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.
41. Нет. Пример приведен на рисунке.
42.
Пусть
ABCD
– четырехугольник, у которого противоположные углы равны. Так как сумма углов четырехугольника равна 360
о
, то сумма двух односторонних углов будет равна 180
о и, следовательно, противоположные стороны этого четырехугольника параллельны, т.е. он – параллелограмм.
243 43.
Пусть в прямоугольнике ABCD проведены диагонали AC и
BD. Прямоугольные треугольники ABC и BAD равны по двум катетам.
Следовательно, AC = BD.
44.
Пусть в прямоугольнике ABCD проведены диагонали AC и
BD. Треугольники ABC и BAD равны по трем сторонам. Следовательно, угол ABC равен углу BAD. В сумме эти углы составляют 180
о
, как односторонние углы при параллельных BC и AD и секущей AB.
Следовательно, эти углы равны 90
о и, значит, ABCD – прямоугольник.
45.
Пусть диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O.В равнобедренном треугольнике ABD AO является медианой и, следовательно, высотой. Значит, диагонали AC и BD ромба перпендикулярны.
46.
Пусть диагонали параллелограмма ABCD перпендикулярны и пересекаются в точке O. Прямоугольные треугольники AOB и AOD
244 равны по двум катетам. Следовательно, AB = AD и, значит, параллелограмм ABCD является ромбом.
47.
Пусть ABCD – параллелограмм, AC – диагональ. В треугольнике ABC угол ACB равен углу CAD и равен углу BAC.
Следовательно, этот треугольник равнобедренный, AB = BC. Значит, параллелограмм ABCD является ромбом.
48.
Так как противоположные стороны четырехугольника равны, то он является параллелограммом. Так как все его стороны равны, то этот параллелограмм – ромб.
49.
Пусть диагонали прямоугольника ABCD перпендикулярны и пересекаются в точке O.Прямоугольные треугольники AOB и AOD
равны по двум катетам. Следовательно, AB = AD и, значит, ABCD – квадрат.
245 50.
Пусть диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке O.Треугольники AOB и COD равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, угол OAB равен углу OCD и, значит, отрезки AB и CD равны и параллельны. Следовательно, четырехугольник ABCD – параллелограмм.
51.
Из того, что диагонали четырехугольника в точке пересечения делятся пополам, следует, что этот четырехугольник является параллелограммом. Из того, что диагонали параллелограмма равны, следует, что он является прямоугольником.
52.
Пусть ABCD – равнобедренная трапеция (AB || DC). Из вершин C и D опустим высоты CG и DH на основание AB.
246
Прямоугольные треугольники BCG и ADH равны по гипотенузе и катету. Следовательно, углы A и B равны.
53.
Пусть в трапеции ABCD (AB || DC) равны острые углы A и
B. Из вершин C и D опустим высоты CG и DH на основание AB.
Прямоугольные треугольники BCG и ADH равны по катету и острому углу. Следовательно, BC = AD и, значит, трапеция ABCD – равнобедренная.
54.
Воспользуемся тем, что сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции равна 180
о
. Из того, что сумма двух противоположных углов трапеции равна 180
о
, следует, что углы при основании трапеции равны и, значит, трапеция – равнобедренная.
247 55.
Пусть ABCD – равнобедренная трапеция (AB || CD), AC и
BD – диагонали. Треугольники ABC и BAD равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, AC = BD.
56.
Пусть ABCD – ромб, DE и DF – его высоты.
Прямоугольные треугольники ADE и CDF равны по гипотенузе и острому углу. Следовательно, DE = DF.
57.
Пусть диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O.
Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до его стороны равно половине высоты ромба, опущенной на эту сторону. Из равенства высот ромба следует равенство расстояний OE и OF.
58.
Все четыре прямоугольных треугольника равны по двум катетам. Следовательно, четырехугольник A
1
B
1
C
1
D
1
– ромб. Кроме того, каждый угол этого четырехугольника равен 180
о минус сумма
248 острых углов прямоугольного треугольника, т.е. равен 90
о
Следовательно, A
1
B
1
C
1
D
1
– квадрат.
59.
Все четыре прямоугольных треугольника равны по двум катетам. Следовательно, четырехугольник A
1
B
1
C
1
D
1
– ромб. Кроме того, каждый угол этого четырехугольника равен суммt острых углов прямоугольного треугольника, т.е. равен 90
о
. Следовательно, A
1
B
1
C
1
D
1
– квадрат.
60.
Пусть в четырехугольнике ABCD проведена диагональ AC.
В силу неравенства треугольника имеем AC < AB + BC и AC < AD +
CD. Складывая эти неравенства, получим AC <
1 2
(AB + BC + CD +
DA).
249 61.
Пусть диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке O.В силу неравенства треугольника имеем AD < AO + OD и BC
< BO + OC. Складывая эти неравенства, получим AD + BC < AC + BD.
62.
Пусть в четырехугольнике ABCD точки E, F, G, H являются серединами сторон соответственно AB, BC, CD, DA. В треугольнике
ABC EF – средняя линия и, значит, параллельна AC. Аналогично GH
параллельна AC. Следовательно, EF параллельна GH. Аналогично FG
параллельна EH. Таким образом, противоположные стороны четырехугольника EFGH параллельны и, следовательно, он является параллелограммом.
63.
Пусть в прямоугольнике ABCD точки E, F, G, H являются серединами сторон соответственно AB, BC, CD, DA. Все прямоугольные треугольники равны по двум катетам. Значит, стороны четырехугольника EFGH равны и, следовательно, он является ромбом.
250 64.
Пусть в ромбе ABCD точки E, F, G, H являются серединами сторон соответственно AB, BC, CD, DA. В силу задачи 23 четырехугольник EFGH является параллелограммом. Его стороны параллельны диагоналям ромба и, следовательно, перпендикулярны.
Значит, четырехугольник EFGH – прямоугольник.
65.
Пусть в равнобедренной трапеции ABCD (AD || BC) точки
E, F, G, H являются серединами сторон соответственно AB, BC, CD,
DA. В силу задачи 23 четырехугольник EFGH – параллелограмм.
Кроме того, треугольники AHE и DHG равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, EH = HG и, значит, EFGH – ромб.
66.
Пусть ABCD – параллелограмм, AEF – треугольник, образованный прямыми AB, AD,и прямой, содержащей биссектрису внешнего угла DCG при вершине C. Тогда
DFC =
GCF =
DCF и, следовательно, треугольник DCF – равнобедренный, DC = DF.
Аналогично треугольник BCE –равнобедренный, BC = BE. Значит, в треугольнике AEF AE = AF =AB + AD, или AE+AF=AB+BC+CD+DA.
251 67.
В треугольнике ABG EH – средняя линия. Следовательно,
BH = HG. Аналогично в треугольнике CDH FG – средняя линия.
Следовательно, DG = GH. Таким образом, прямые AF и CE делят диагональ BD на три равные части.
68. Треугольник AFE подобен треугольнику CFB. Следовательно,
1
AE
BC
n
, значит, AF =
1
AC
n
69.
Пусть ABCD – четырехугольник, E, G – середины диагоналей соответственно AC и BD, F, H – середины сторон соответственно BC и AD. Тогда EF – средняя линия треугольника ABC.
Следовательно, она параллельна стороне AB и равна ее половине.
Аналогично GH параллельна AB и равна ее половине. Значит, EFGH – параллелограмм.
252 70.
Пусть диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O, точки E, F, G, H – основания перпендикуляров, опущенных из нее на соответствующие стороны ромба.В силу задачи 18, отрезки EG и FH
равны и в точке пересечения делятся пополам. Следовательно, EFGH – прямоугольник.
71. Пусть ABCD – трапеция, (AD || BC), точки G и H принадлежат основаниям трапеции.Четырехугольник ABGH – трапеция, EP – средняя линия. Следовательно, отрезок GH делится средней линией EF пополам.
72.
Пусть ABCD – ромб. Воспользуемся тем, что диагонали AC
и BD ромба перпендикулярны и в точке пересечения O делятся пополам. Площадь треугольника ABC равна половине произведения AC
на OB. Площадь треугольника ADC равна половине произведения AC
на OD. Следовательно, площадь ромба ABCD равна половине произведения AC на BD.
253 73. Пусть ABCD – четырехугольник, диагонали AC и BD которого перпендикулярны.
Рассмотрим диагональ
AC, разбивающую четырехугольник на два треугольника. Площадь треугольника ABC
равна половине произведения AC на OB. Площадь треугольника ADC
равна половине произведения AC на OD. Следовательно, площадь четырехугольника ABCD равна половине произведения AC на BD.
74. Пусть ABCD – параллелограмм, O – точка пересечения диагоналей. Прямая, проходящая через точку O, делит параллелограмм на две трапеции, средние линии которых равны половине стороны параллелограмма, а высоты – высоте параллелограмма. Следовательно, эти трапеции имеют равные площади.
75. Пусть ABCD – трапеция (AB || DC), O – середина средней линии
EF. Прямая, проходящая через точку O, делит трапецию на две трапеции, средние линии которых равны половине средней линии данной трапеции, а высоты – высоте трапеции. Следовательно, эти трапеции имеют равные площади.
254 76. Пусть ABCD – трапеция (AB || DC). Прямая, проходящая через середины оснований, делит ее на две трапеции с соответственно равными основаниями и высотами. Следовательно, эти трапеции имеют равные площади.
77. Пусть ABCD – выпуклый четырехугольник, O – точка пересечения диагоналей, EFGH – параллелограмм, образованный прямыми, проведенными через его вершины и параллельные диагоналям. Диагонали AC и BD разбивают четырехугольник ABCD на четыре треугольника, а параллелограмм EFGH на четыре параллелограмма, площадь каждого из которых вдвое больше площади соответствующего треугольника.
Следовательно, площадь параллелограмма вдвое больше площади данного четырехугольника.
78. Пусть ABCD – выпуклый четырехугольник, O – точка пересечения его диагоналей, E – произвольная точка плоскости. Из неравенства треугольника следует, что наименьшее значение сумма EA
+ EC принимает, если точка E принадлежит диагонали AC. Аналогично наименьшее значение сумма EB + ED принимает, если точка E
принадлежит диагонали BD. Следовательно, наименьшее значение сумма EA + EB + EC + ED принимает, если точка E является точкой пересечения диагоналей.
255
256
Уровень С
1. В четырехугольнике ABCD проведем диагональ AC. Имеем AB >
AC – BC, CD >AD – AC. Складывая эти неравенства, получим AB + CD
> AD – BC.
2. В трапеции ABCD (AD || BC)проведем прямую CE параллельную боковой стороне AB.Тогда DE > CD – CE и, следовательно, AD – BC >
CD – AB.
3. Пусть ABCD – выпуклый четырехугольник. Обозначим x острый угол между биссектрисами AO и CO. Так как сумма углов четырехугольника равна 360
о
, то
A/2 +
B +
C/2 + 180
o
– x = 360
o и
A/2 +
B/2 +
C/2 +
D/2 = 180
o
. Откуда x =
B/2 –
D/2.
257 4. Пусть ABCD – трапеция (AD || BC), AE и DE – биссектрисы углов при основании.Так как углы DAE и BEA равны как накрест лежащие, то треугольник ABE – равнобедренный и, следовательно, AB = BE.
Аналогично CD = CE. Значит, BC = AB + CD.
5. Пусть ABCD – трапеция (AD || BC), CG и DG – биссектрисы углов, прилежащих к боковой стороне трапеции. Так как сумма углов C
и D трапеции равна 180
о
, то сумма углов CDG и DCG равна 90
о и, следовательно, биссектрисы пересекаются под прямым углом.
Обозначим H точку пересечения биссектрисы CG с AD. Угол CHD
равен углу HCD и, значит, треугольник CHD – равнобедренный.
Следовательно, высота DG является медианой этого треугольника, т.е.
CG = GH. Из этого следует, что точка G принадлежит средней линии трапеции ABCH и, значит, средней линии трапеции ABCD.
6. Пусть O – точка пересечения диагоналей параллелограмма
ABCD, P, Q – точки пересечения диагонали BD и прямых AM и AN
соответственно. Тогда P – точка пересечения медиан BO и AM треугольника ABC. Следовательно, BP=2PO. Аналогично DQ=2QO.
Кроме того, BO = OD и, следовательно, BP = PQ = QD.
258 7. Пусть EFGH – четырехугольник, ограниченный биссектрисами углов параллелограмма ABCD. Обозначим P и Q точки пересечения биссектрис углов D и B соответственно со сторонами BC и AD. Так как биссектрисы соседних углов параллелограмма перпендикулярны, то четырехугольник EFGH – прямоугольник. В треугольнике ABQ
B =
Q, следовательно, этот треугольник – равнобедренный, AB = AQ.
Биссектриса AE этого треугольника является медианой и, значит, отрезок EQ равен половине BQ. Аналогично отрезок DG равен половине DP. Из равенства отрезков BQ и DP следует равенство отрезков EQ и DG. Таким образом, четырехугольник DGEQ – параллелограмм и, следовательно, EG = DQ = AD – AB.
8. Пусть EFGH – четырехугольник, ограниченный биссектрисами углов прямоугольника ABCD. Треугольник ADF – равнобедренный прямоугольный с острыми углами, равными 45
о
. Следовательно, AF =
DF. Прямоугольные треугольники ABE и CDG равны и, следовательно,
AE = DG. Вычитая из первого равенства второе, получим равенство EF
= FG. Аналогично доказывается, что в четырехугольнике EFGH равны другие стороны и углы равны 90
о
, значит EFGH – квадрат.
9. Пусть на сторонах параллелограмма ABCD вне его построены квадраты. E, F, G, H – их центры. Треугольники AEH, BEF равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, EH = EF и
AEH
=
BEF. Из равенства этих углов и того, что угол AEB равен 90
о
, следует, что
HEF = 90
о
. Аналогично доказывается, что в