Файл: Смирнов В. А., Смирнова И. М.pdf

228 13. Пусть D – внутренняя точка стороны AB треугольника ABC.
Проведем высоту CH. Предположим, что AC

BC, тогдаотрезок AH
больше или равен BH. Тогда DH < AH. Так как из двух наклонных, проведенных из одной точки, меньше та, проекция которой меньше, то
CD < CA.
14.
Пусть O – внутренняя точка треугольника ABC. Докажем, что выполняются неравенства
1 2
(AB + BC + AC) < OA + OB + OC < AB +
BC + AC. Имеем неравенства AB < OA + OB < AC + BC, BC < OB + OC
< AB + AC, AC < OA + OC < AB + BC. Складывая их, получим неравенства AB + BC + AC < 2(OA + OB + OC) < 2(AB + BC + AC), из которых непосредственно следуют требуемые неравенства.
15.
Пусть ABC – прямоугольный треугольник, AB – гипотенуза.
Окружность, описанная около этого треугольника, имеет своим

229 диаметром AB. Следовательно, медиана CM равна радиусу этой окружности и равна половине AB.
16.
Пусть CM – медиана треугольника ABC, равная половине стороны AB. С центром в точке M опишем окружность диаметра AB.
Она пройдет через вершину C. Вписанный угол C опирается на диаметр окружности, следовательно, равен 90
о
. Значит, треугольник
ABC – прямоугольный.
17.

ACH
=

B, как острые углы с соответственно перпендикулярными сторонами.

ACM =

A, как углы при основании равнобедренного треугольника ACM. Следовательно,

MCH =

ACM
–

ACH =

A –

B.

230 18.
Пусть ABC – тупоугольный треугольник (

C > 90
о
), CM – медиана, CH – высота. Опишем около этого треугольника окружность с центром O. Так как угол C – тупой, то угол OCH составляет часть угла
MCH и равен разности углов A и B (см. задачу С6 параграфа 6).
Следовательно, угол MCH больше разности углов A и B.
19.
Пусть ABC – остроугольный треугольник, CM – медиана, CH – высота. Опишем около этого треугольника окружность с центром O.
Так как угол C – острый, то угол MCH составляет часть угла OCH, который равен разности углов A и B (см. задачу С6 параграфа 6).
Следовательно, угол MCH меньше разности углов A и B.
20.
Пусть ABC – прямоугольный треугольник,

C = 90
о
, CM – медиана, CH – высота, CD – биссектриса. Имеем:

HCD =

ACD –

ACH = 45
o
–

B,

MCD =

BCD –

BCM = 45
o
–

B.
Следовательно,

HCD =

MCD.

231 21.
Пусть ABC – тупоугольный треугольник, CM – медиана, CH – высота, CD - биссектриса. Опишем около этого треугольника окружность с центром O. Так как угол C – тупой, то угол MCH больше угла OCH, который делится пополам биссектрисой CD (см. задачу С7 параграфа 6). Следовательно, угол MCD больше угла DCH.
22.
Пусть ABC – остроугольный треугольник, CM – медиана, CH – высота, CD - биссектриса. Опишем около этого треугольника окружность с центром O. Так как угол C – острый, то угол MCH
составляет часть угла OCH, который делится пополам биссектрисой
CD (см. задачу С7 параграфа 6). Следовательно, угол MCD меньше угла DCH.
23.
Пусть AA
1
,
BB
1
,
CC
1
– медианы треугольника ABC, пересекающиеся в точке O. Продолжим CC
1
и отложим C
1
D = OC
1
. В треугольнике AOD AO =
2 3
AA
1
, AD = BO =
2 3
BB
1
, OD =
2 3
CC
1
Используя неравенство треугольника, примененное к треугольнику
AOD, получим OD < AO + AD и, следовательно, CC
1
< AA
1
+ BB
1

232 24.
Пусть CD – биссектриса треугольника ABC. Через точку B
проведем прямую, параллельную CD,и ее точку пересечения с прямой
AC обозначим E. В треугольнике BCE угол B равен углу E и, следовательно, BC = CE. Так как BE параллельна CD, то по теореме о пропорциональных отрезках имеем
AD
AC
AC
DB
CE
BC


, следовательно,
биссектриса угла С треугольника ABC делит сторону AB на части, пропорциональные прилежащим сторонам AC и BC.
25.
Пусть CD – биссектриса внешнего угла при вершине C
треугольника ABC. Через точку B проведем прямую, параллельную CD,
и ее точку пересечения с прямой AC обозначим E. В треугольнике BCE
угол B равен углу E и, следовательно, BC = CE. Так как BE
параллельна CD, то по теореме о пропорциональных отрезках имеем
AD
AC
AC
DB
CE
BC


, следовательно,расстояния от точки D до концов стороны AB треугольника ABC пропорциональны прилежащим сторонам AC и BC.

233 26. Пусть медиана CM треугольника ABC совпадает с его биссектрисой. В силу задачи 24, отношение сторон AC и BC равно 1.
Следовательно, треугольник ABC – равнобедренный.
27.
Пусть CD – биссектриса, CM – медиана, CH – высота треугольника ABC. Если AC = BC, то треугольник ABC – равнобедренный, следовательно, биссектриса совпадает с медианой.
Если AC > BC, то биссектриса лежит между медианой и высотой (см. задачу 12). Тогда угол CDM – тупой и, следовательно, CD < CM.

234 28.
Пусть AA
1
и BB
1
– биссектрисы треугольника ABC, пересекающиеся в точке O. Если бы AA
1
и BB
1
были перпендикулярны, то треугольники AOB и AOB
1
были бы равны и, следовательно,

AB
1
O
=

ABO =

OBA
1
. В этом случае прямые AB
1
и BA
1
должны быть параллельны, что не так. Значит, биссектрисы AA
1
и BB
1
не могут быть перпендикулярны.
29.
Пусть AA
1
и BB
1
– биссектрисы треугольника ABC, пересекающиеся в точке O. Если бы O была серединой BB
1
, то треугольники AOB и AOB
1
были бы равны и, следовательно,

AB
1
O =

ABO =

OBA
1
. В этом случае прямые AB
1
и BA
1
должны быть параллельны, что не так. Значит, биссектриса AA
1
не может проходить через середину биссектрисы BB
1 30.
Пусть AA
1
,
BB
1
,
CC
1
– высоты треугольника ABC, пересекающиеся в точке O. Докажем, что биссектриса треугольника
A
1
B
1
C
1
, проведенная из вершины C
1
, лежит на высоте CC
1
треугольника
ABC. Действительно, углы OAC и OBC равны, как острые углы с соответственно перпендикулярными сторонами. Построим окружность с диаметром AO. Точки B
1
и C
1
принадлежат этой окружности. Углы
OAB
1
и OC
1
B
1 равны как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу.
Аналогично доказывается, что углы OBA
1
и OC
1
A
1 равны.
Следовательно, углы OC
1
B
1
и OC
1
A
1
равны.

235 31.
Пусть CM – медиана треугольника ABC, DE – отрезок, соединяющий концы сторон квадратов, построенных на сторонах AC и
BC. Достроим треугольник CDE до параллелограмма CDFE.Проведем диагональ CF и ее точку пересечения с DE обозначим O.Так как

DCE = 180
о
–

ACB, то

CEF =

ACB. Треугольники ABC и FCE
равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, CM = EO
=
1 2
DE.
32.
Пусть AB – отрезок, c – параллельная ему прямая. Точки C и D
принадлежат прямой c, причем ABC – равнобедренный треугольник
(AC = BC).Рассмотрим точку E,симметричную точке B относительно прямой c. Тогда AB + BD = AB + DE > AE = AC + CE = AC + BC.
Следовательно, периметр треугольника ABD больше периметра треугольника ABC.

236 33.
Пусть AB – отрезок, c – параллельная ему прямая. Точки C и D
принадлежат прямой c, причем ABC – равнобедренный треугольник
(AC = BC). Опишем около треугольника ABC окружность. Прямая c
является касательной к окружности. Обозначим E точку пересечения окружности и AD. Тогда

C =

E как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу. Угол E больше угла D, как внешний угол треугольника
BDE. Следовательно,

С >

D.
34. Пусть AA
1
, BB
1
– высоты остроугольного треугольника ABC.
Построим окружность с диаметром AB. Углы ABB
1
и AA
1
B
1
равны как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу окружности. Угол CAB
равен 90
о минус угол ABB
1
. Угол CA
1
B
1
равен 90
о минус угол AA
1
B
1
Следовательно, углы CAB и CA
1
B
1
равны, значит,треугольники ABC и
A
1
B
1
C подобны по углам.

237 35. Пусть AA
1
, BB
1
– высоты остроугольного треугольника ABC, пересекающиеся в точке H. Построим окружность с диаметром AB.
Углы BAA
1
и BB
1
A
1
равны как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу окружности. Аналогично, углы ABB
1
и AA
1
B
1
равны.
Следовательно, треугольники ABH и B
1
A
1
H подобны по углам.
36. Пусть ABC – прямоугольный треугольник, CH – высота, опущенная на гипотенузу. Треугольники ACH и CBH подобны по углам, следовательно, CH : AH = BH : CH. Откуда CH
AH BH



238 37. Пусть ABC – прямоугольный треугольник, CH – высота, опущенная на гипотенузу. Обозначим AC = b, BC = a, CH = h.
Треугольники ACH и CBH подобны по углам, следовательно, CH : AC
= BH : BC. Откуда
2 2
h
a
h
b
a


. Возводя обе части этого равенства в квадрат, получим требуемое равенство
2 2
2 1
1 1
a
b
h


38. Пусть ABC – прямоугольный треугольник, CH – высота, опущенная на гипотенузу. Треугольники ABC и ACH подобны по углам и, следовательно, AC : AB = AH : AC. Откуда AC
AB AH


Аналогично, BC
AB BH


39. Пусть ABC – прямоугольный треугольник, CH – высота, опущенная на гипотенузу. Из предыдущей задачи следует, что
2
AC
AH
AB

и
2
BC
BH
AB

. Откуда
2 2
AH
AC
BH
BC


239 40. Пусть в треугольнике ABC AA
1
, BB
1
, CC
1
– медианы, пересекающиеся в точке O. В треугольнике AC
1
O сторона AC
1
равна половине стороны AB, а высота, опущенная из вершины O, равна одной третьей высоты треугольника ABC, опущенной из вершины C.
Следовательно, площадь треугольника AC
1
O равна одной шестой площади треугольника ABC. Аналогично, площади всех остальных треугольников, на которые делится треугольник ABC своими медианами, равны одной шестой площади треугольника ABC, т.е. все эти шесть треугольников равновелики.
41. Пусть O – точка внутри треугольника ABC такая, что площади треугольников AOB, BOC и AOC равны. Продолжим CO до пересечения со стороной AB в точке C
1
. Из вершин A и B опустим на прямую CC
1
перпендикуляры соответственно AA’ и BB’. Так как площади треугольников AOC и BOC равны, а сторона OC – общая, то равны и их высоты AA’ и BB’. Прямоугольные треугольники AA’C
1
и
BB’C
1
равны по катету и острому углу. Следовательно, AC
1
= BC
1
Значит, точка O принадлежит медиане CC
1
треугольника ABC.
Аналогично доказывается, что точка O принадлежит двум другим медианам.

240 42. Пусть в треугольнике ABC проведены медианы AA
1
, BB
1
, CC
1
Достроим треугольник
ABC
до шестиугольника
ACDEFG, противоположные стороны которого равны и параллельны.Стороны треугольника ADF равны удвоенным медианам треугольника ABC и его площадь равна трем площадям треугольника ABC. Следовательно, площадь треугольника, стороны которого равны медианам данного треугольника, равна трем четверым площади данного треугольника.
43. Пусть в треугольнике ABC проведены высоты AA
1
, BB
1
, CC
1
Воспользуемся тем, что произведение стороны треугольника на высоту, опущенную на эту сторону, равно удвоенной площади треугольника. Тогда AB

CC
1
=
AC

BB
1
=
BC

AA
1
. Откуда
1 1
1 1
1 1
AB
AC
BC
CC
BB
AA


, т.е. стороны треугольника обратно пропорциональны высотам, проведенным к этим сторонам.

241 44. Рассмотрим треугольники ABC с данной стороной AB и данным углом C. Вершины C таких треугольников принадлежат одной окружности. При этом высота CH будет наибольшей в случае, если C
принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку AB, т.е. в случае, если AC = BC.

242