Файл: Смирнов В. А., Смирнова И. М.pdf

214 66.
Пусть CD – биссектриса внешнего угла при вершине C
треугольника ABC.Так как СD параллельна AB, то угол B равен углу
BCD и равен половине внешнего угла при вершине C. Так как этот внешний угол равен сумме углов A и B, то угол A также равен половине внешнего угла. Следовательно, углы A и B равны, значит, треугольник
ABC – равнобедренный.
67.
Из неравенства AC > BC для наклонных следует неравенство AH
> BH для их проекций. На отрезке AH отложим отрезок HD, равный
HB. Прямоугольные треугольники BCH и DCH равны по двум катетам, следовательно,

BCH =

DCH, значит,

ACH >

BCH.
68.
Пусть в треугольнике ABC высота CH совпадает с медианой.
Тогда прямоугольные треугольники ACH и BCH равны по двум катетам. Следовательно, AC = BC, значит, треугольник ABC – равнобедренный.

215 69.
Пусть в треугольнике ABC биссектриса CD совпадает с высотой.
Прямоугольные треугольники ACD и BCD равны по катету и острому углу. Следовательно, AC = BC, значит, треугольник ABC – равнобедренный.
70.
Пусть в равнобедренном треугольнике ABC AA
1
и BB
1
– медианы, проведенные к боковым сторонам. В треугольниках AA
1
C и BB
1
C угол
C – общий, AC = BC, A
1
C = B
1
C. Следовательно, эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, AA
1
= BB
1 71.
Пусть в треугольнике ABC равны медианы AA
1
и BB
1
. Так как медианы в точке пересечения O делятся в отношении 2:1, считая от вершины, то треугольник AOB – равнобедренный, значит,

ABO =

BAO. Треугольники ABB
1
и BAA
1
равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно,

A =

B, значит, треугольник ABC – равнобедренный.

216 72.
Пусть в равнобедренном треугольнике ABC AA
1
и BB
1
– биссектрисы, проведенные к боковым сторонам. В треугольниках ABB
1
и BAA
1
сторона AB – общая,

A =

B,

ABB
1
=

BAA
1
Следовательно, эти треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Значит, AA
1
= BB
1 73.
Пусть в равнобедренном треугольнике ABC AA
1
и BB
1
– высоты, проведенные к боковым сторонам. Прямоугольные треугольники ABB
1
и BAA
1
равны по гипотенузе и острому углу. Следовательно, AA
1
= BB
1 74.
Пусть в треугольнике ABC равны высоты AA
1
и BB
1
Прямоугольные треугольники ABB
1
и BAA
1
равны по гипотенузе и катету. Следовательно,

A =

B, значит, треугольник ABC – равнобедренный.

217 75.
Пусть в треугольнике ABC AC > BC, AA
1
, BB
1
– высоты.
Воспользуемся тем, что площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, опущенную на эту сторону. Получим равенство
1 1
1 1
2 2
BC AA
AC BB



. Из этого равенства и неравенства AC
> BC, следует, что AA
1
> BB
1 76.
Пусть угол C при вершине, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен 36
о
, AA
1
– биссектриса. Тогда

A =

B = 72
o
. Значит,

CAA
1
= 36
o
, следовательно, треугольник
ACA
1
– равнобедренный. Так как

BAA
1
= 36
o и

B = 72
o
, то

AA
1
B =
72
o
. Значит, треугольник ABA
1
– равнобедренный.
77.
Пусть CC
1
– высота треугольника ABC. Воспользуемся тем, что перпендикуляр короче наклонной, проведенной из той же точки к той же прямой. Тогда CC
1
< AC и CC
1
< BC. Складывая эти два неравенства, получим 2CC
1
< AC + BC, или СС
1
<
1 2
(AC + BC).

218 78.
Пусть CC
1
– медиана треугольника ABC. Воспользуемся тем, что каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
Тогда CC
1
< AC + AC
1
, CC
1
< BC + BC
1
. Складывая эти неравенства, получим 2CC
1
< AC + BC + AB, или CC
1
<
1 2
(AC + BC + AB).
79.
Пусть AA
1
, BB
1
, CC
1
– высоты треугольника ABC. В силу решения задачи 33, имеем: 2СС
1
< AC + BC,2BB
1
< AB + BC, 2AA
1
< AC + AB.
Складывая эти неравенства, получим AA
1
+ BB
1
+ CC
1
< AB + BC + AC.
80.
Пусть DE – средняя линия треугольника ABC, параллельная стороне AB. Опустим перпендикуляры AA
1
, BB
1
, CC
1
из вершин треугольника на прямую DE.Прямоугольные треугольники ADA
1
и
СDС
1
равны по гипотенузе и острому углу. Следовательно, AA
1
= CC
1
Прямоугольные треугольники BEB
1
и СEС
1
равны по гипотенузе и острому углу. Следовательно, BB
1
= CC
1
.Таким образом, AA
1
= BB
1
=
CC
1

219 81.
Пусть D, E, F – середины сторон соответственно AC, BC, AB.
Стороны треугольников AFD, FBE, DEC и EDF в два раза меньше соответствующих сторон треугольника ABC. Следовательно, эти четыре треугольника равны по трем сторонам.
82.
Пусть точки D и E – середины сторон соответственно AC и BC треугольника ABC, CH – высота. Воспользуемся тем, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине этой гипотенузе. Тогда треугольники CDH и CEH – равнобедренные, следовательно,

DCH =

DHC,

ECH =

EHC.
Складывая эти равенства, получим

DCE =

DHE.
83.
Пусть CM – медиана треугольника ABC. AG и BH – перпендикуляры, опущенные на прямую CM.Прямоугольные треугольники AGM и BHM равны по гипотенузе и острому углу.
Следовательно, AG = BH.

220 84.
Треугольники CDE и CAB подобны и коэффициент подобия
k равен отношению расстояний от точки C до прямых c и AB.
Следовательно, DE = kAB. Аналогично, треугольники C’D’E’ и C’AB
подобны и коэффициент подобия такжеравен отношению расстояний от точки C’ до прямых c и AB. Следовательно, D’E’ = kAB.Значит, DE
= D’E’.
85.
Пусть CC
1
– медиана треугольника ABC. Опустим из вершин A и B перпендикуляры AA’ и BB’ на прямую CC
1
Прямоугольные треугольники AA’C
1
и BB’C
1
равны по гипотенузе и острому углу. Следовательно, AA’ = BB’. Треугольники ACC
1
и BCC
1
имеют общую сторону CC
1
и равные высоты, опущенные на нее.
Следовательно, эти треугольники равновелики.
86. Пусть отрезок CC
1
, соединяющий вершину треугольника ABC с точкой, принадлежащей противолежащей стороне, разбивает этот треугольник на два равновеликих треугольника ACC
1
и BCC
1
. Опустим из вершин A и B перпендикуляры AA’ и BB’ на прямую CC
1
. Из равенства площадей треугольников ACC
1
и BCC
1
следует равенство высот AA’ и BB’.Прямоугольные треугольники AA’C
1
и BB’C
1
равны по катету и острому углу. Следовательно, AС
1
= BC
1
, т.е. CC
1
– медиана треугольника ABC.

221 43. Пусть ABC – прямоугольный треугольник, CH – высота, опущенная на гипотенузу. Треугольники ABC и CBH подобны по трем углам, следовательно, AC : AB = CH : BC. Откуда
AC BC
AB CH



44. Пусть в треугольниках ABC и A
1
B
1
C
1

A =

A
1
, AB = c, A
1
B
1
= c
1
,
AC = b, A
1
C
1
= b
1
. Тогда площади этих треугольников равны соответственно
1
sin
2
b c
A
 
и
1 1
1 1
sin
2
b c
A
 
. Следовательно, их отношение равно
1 1
b c
b c



222
Уровень С
1. Пусть CC
1
– медиана треугольника ABC. Отложим на продолжении этой медианы отрезок C
1
D, равный CC
1
. В четырехугольнике ACBD AD = BC.Воспользуемся тем, что каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. Тогда CD <
AC + AD, следовательно, 2CC
1
< AC + BC, или CC
1
<
1 2
(AC + BC).
2.
Пусть O – точка пересечения медиан AA
1
и BB
1
треугольника
ABC. Тогда AO =
2 3
AA
1
, BO =
2 3
BB
1
. Для треугольника ABO имеем неравенство AB < AO + BO, следовательно, имеем неравенство AB <
2 3
(AA
1
+ BB
1
), из которого непосредственно следует неравенство 3AB <
2(AA
1
+ BB
1
).
3.
Пусть AA
1
,
BB
1
,
CC
1
– медианы треугольника ABC.
Воспользуемся неравенствами, доказанными в первой задаче:2AA
1
<
AB + AC, 2BB
1
< AB + BC, 2CC
1
< AC + BC. Складывая их, получим AA
1
+ BB
1
+ CC
1
< AB + BC + AC.Воспользуемся неравенствами, доказанными во второй задаче:2(AA
1
+ BB
1
) > 3AB, 2(AA
1
+ CC
1
) > 3AC,

223 2(BB
1
+ CC
1
) > 3BC. Складывая их, получим AA
1
+ BB
1
+ CC
1
>
3 4
( AB +
BC + AC).
4.
Пусть D – точка, принадлежащая основанию AB равнобедренного треугольника ABC. DB
1
и DA
1
– перпендикуляры, опущенные соответственно на стороны AC и BC.Через точку D проведем прямую, параллельную AC,и ее точку пересечения со стороной BC обозначим E.
Из точки B опустим высоту BH и ее точку пересечения с отрезком DE
обозначим G. Треугольник DBE – равнобедренный, DA
1
= BG, как высоты, опущенный на боковые стороны.Четырехугольник DB
1
HG – прямоугольник, следовательно, DB
1
= GH. Значит, DA
1
+ DB
1
= BH.
Приведем еще одно доказательство, использующее площадь.
Пусть боковые стороны данного равнобедренного треугольника равны
c, высота, опущенная на боковую сторону, равна h, DA
1
= a, DB
1
= b.
Воспользуемся тем, что площадь треугольника ABC равна сумме площадей треугольников ADC и BDC, а также формулой площади треугольника. Получим равенство
1 1
1 2
2 2
c a
c b
c h
 
 

, из которого следует требуемое равенство a + b = h.

224 5.
Через данную точку O треугольника ABC проведем прямую, параллельную AB, и ее точки пересечения со сторонами AC и BC
обозначим соответственно D и E. Тогда, в силу предыдущей задачи, сумма перпендикуляров OA
1
и OB
1
, опущенных на стороны CE и CD треугольника DEC, равна высоте EG этого треугольника. Применяя теперь результат предыдущей задачи к треугольнику ABC и точке E, получаем, что сумма перпендикуляров, опущенных из точки E на стороны AB и AC, равна высоте CH треугольника ABC. Так как OC
1
=
EF, окончательно получаем OA
1
+ OB
1
+ OC
1
= CH.
Приведем еще одно доказательство, использующее площадь.
Пусть стороны равностороннего треугольника ABC равны d, высота равна h, O – внутренняя точка треугольника, перпендикуляры OA
1
, OB
1
,
OC
1
, опущенные на стороны треугольника, равны соответственно a, b,
c. Воспользуемся тем, что площадь треугольника ABC равна сумме площадей треугольников BOC, AOC и AOB, а также формулой площади треугольника. Получим равенство
1 1
1 1
2 2
2 2
d a
d b
d c
d h
 
 
 

, из которого следует требуемое равенство a + b + c = h.

225 6.
Пусть в остроугольном треугольнике ABC угол A меньше угла B.
Из точки D,принадлежащей стороне AB, опущены перпендикуляры
DA
1
и DB
1
соответственно на стороны BC и AC. AH – высота, опущенная на сторону BC. Докажем, что AH > DA
1
+ DB
1
. Через точку
D проведем прямую, параллельную BC,и ее точку пересечения со стороной AC обозначим E. Точку пересечения высоты AH и DE
обозначим
G.
Четырехугольник
DA
1
HG
– прямоугольник, следовательно, DA
1
= GH. В треугольнике ADE AE > DE и, по доказанному в задаче В31, AG > DB
1
. Таким образом, имеем AH = GH
+ GA > DA
1
+ DB
1 7.
Пусть ABC – равнобедренный треугольник (AC = BC). Из точки
D, принадлежащей продолжению стороны
AB, опущены перпендикуляры DA
1
и DB
1
соответственно на прямые BC и AC. BH – высота, опущенная на боковую сторону. Докажем, что DB
1
– DA
1
= BH.
Через точку B проведем прямую, параллельную AC, и ее точку пересечения с DB
1
обозначим E. Четырехугольник BEB
1
H – прямоугольник, следовательно,
BH
=
EB
1
Прямоугольные треугольники DBA
1
и DEB равны по гипотенузе и острому углу.
Следовательно, DA
1
= DE. Значит, DB
1
– DA
1
= DB
1
– DE = EB
1
= BH.

226 8.
Пусть O – внутренняя точка треугольника ABC. Докажем, что выполняется неравенство AC + BC > AO + BO. Обозначим D точку пересечения прямых AO и BC. Тогда AC + BC = AC + CD + DB > AD +
DB = AO + OD + DB > AO + OB.
9.
Пусть O – внутренняя точка треугольника ABC. Проведем луч CO и точку его пересечения с AB обозначим D. Тогда

AOD >

ACD,

BOD >

BCD (по теореме о внешнем угле треугольника). Складывая эти два неравенства, получим требуемое неравенство

AOB >

ACB,

227 10. Продолжим медиану CM на отрезок MD, равный CM, и соединим точки A и D. Треугольники ADM и BCM равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, AD = BC,

ADM =

BCM. Так как против большей стороны треугольника лежит больший угол, то

ADM >

ACM или

BCM >

ACM
11. Отложим на стороне AC отрезок CE, равный CB, и соединим точки D и E. Треугольники BCD и ECD равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, DB = DE,

DBC =

DEC. Угол AED
равен внешнему углу треугольника ABC при вершине B, который больше внутреннего угла A. Так как против большего угла треугольника лежит большая сторона, то AD > DE = DB.
12. Если треугольник ABC равнобедренный (AC = BC), то биссектриса, медиана и высота, проведенные из вершины C, совпадают.Пусть в треугольнике ABC AC > BC, CD – биссектриса, CM
– медиана, CH – высота. Тогда

A <

B,

ACM <

BCM и

ACH >

BCH (см. задачи С10 и В23). Следовательно, биссектриса CM лежит между медианой CM и высотой CH.