Файл: Лекции Механика для студентов Физика.pdf

движущейся с большей скоростью. Поэтому энергия W при больших скоростях движения будет определяться аналогично формуле (11):

Закон взаимодействия массы и энергии.

Из формулы (12) следует, что приращение W энергии сопровождается пропорциональным приращением ее релятивистской массы. Масса будет возрастать не только при сообщении ему кинетической энергии, но и вообще при любом увеличении общего запаса энергии тела, не зависимо от того, за счет какого конкретного вида энергии это увеличение происходит. Эйнштейн пришел к выводу: общая энергия тела или системы тел, каким бы формам она не соответствовала, связана с массой соотношением:

Это один из наиболее фундаментальных законов природы. Это закон взаимодействия массы и полной энергии тела. В полную энергию не включена потенциальная энергия тела во внешнем поле, если оно действует на тело.

Видим, что масса тела, которая в нерелятивистской механике выступала как мера инертности во втором законе Ньютона, или как мера гравитации в законе Всемирного тяготения, теперь выступает в новой форме – как мера энергосодержания тела. Даже покоящееся тело, согласно теории относительности, обладает запасом энергии – энергией покоя.

Изменение полной энергии тела (системы) сопровождается изменением его массы

Изменение массы лежит за пределами точности эксперимента. Но в

астрономических явлениях изменение массы представляет собой внушительную величину.

45

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Например, солнечное излучение за 1 секунду приносит на Землю на площадку в 1

инертностью тела одной и той же формулой. Вследствие этого оказываются связанными между собой две важнейшие характеристики материи: энергия и инертность, т. е. масса. Приведенный вывод соотношения между энергией и массой показывает, что оно справедливо как соотношение между инертной массой тела и его полной энергией, т. е. суммой кинетической энергии и энергии покоя. Но выполняется ли оно для других видов энергии, например для потенциальной энергии, может решить лишь эксперимент. Установленный равенством (8) закон сохранения энергии заставляет думать, что

имеется большая вероятность справедливости этого соотношения для потенциальной энергии, т. е. справедливости утверждения, что потенциальная энергия обладает инертными свойствами. Если окажется, что равенство (14) носит универсальный характер, т. е. применимо для произвольных видов энергий, то оно является одним из самых фундаментальных законов физики. Эксперимент показывает, что это действительно так. Соотношение (14) называется соотношением между массой и энергией и было установ- лено Эйнштейном. Иногда говорят об этом равенстве как об эквивалентности массы и энергии. Это выражение неудачно, как это будет ясно из дальнейшего, и поэтому использоваться не будет.

Экспериментальная проверка соотношения между массой и энергией.

При выводе релятивистского уравнения движения были рассмотрены эксперименты, из которых следует, что инертность тела зависит от скорости и зависит именно так, как предусматривается формулой для релятивистской массы, входящей в это уравнение. Такая зависимость массы от скорости следует также из принципа отно- сительности и преобразований Лоренца. Поэтому все экспериментальные данные, подтверждающие преобразования, Лоренца, подтверждают также и соотношение (14).

Лишь один вопрос не затрагивается этими экспериментами: является ли энергия покоя тс2 действительно энергией или это просто некоторая величина, имеющая ее размерность, но не имеющая физического смысла? Однако какой смысл имеет вопрос, является ли величина тс2 с размерностью энергии энергией? Не тавтология ли это? Нет, не тавтология, и вопрос этот имеет вполне ясный физический смысл: может ли энергия, покоя т0с2 превращаться в другие виды энергии? Если может, то это реальная энергия, как и все другие виды энергии, а если не может, то это просто некоторая вспо- могательная величина, не имеющая реального физического значения. Опыт показывает, что энергия покоя может превращаться в другие виды энергии и, следовательно, это действительно энергия.

Одним из многочисленных экспериментальных доказательств этого утверждения является так называемая аннигиляция элементарных частиц. Электрон и позитрон могут рассматриваться как совершенно одинаковые частицы, отличающиеся лишь знаком заряда и магнитного момента. Массы их одинаковы и могут быть измерены, например, по их движению в магнитном поле, и полная энергия, включающая в себя кинетическую энергию и энергию покоя, может быть определена. Поскольку магнитное

46

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

поле не производит работы, потенциальная энергия может быть исключена из рассмот- рения. При столкновении позитрона и электрона между собой происходит их аннигиляция, в результате которой они исчезают как частицы, обладающие массой покоя, а вместо них появляется γ-квант, т. е. частица, масса покоя которой равна нулю, а скорость равна скорости света. Можно измерить энергию этого кванта. Оказывается, что энергия γ- кванта равна сумме энергий позитрона и электрона, включая и энергию их покоя. Таким образом, энергия покоя действительно превратилась в совершенно другой вид энергии.

Одновременно эти эксперименты проясняют физический смысл соотношения между массой и энергией. Иногда говорят, что соотношение (14) выражает эквивалентность массы и энергии и возможность превращения массы в энергию, и наоборот. Такие утверждения ошибочны. О превращении, например, массы в энергию можно было бы говорить лишь тогда, когда в каком-то процессе масса исчезла и за счет исчезновения инертных свойств появилась энергия, которой раньше не было. Таких процессов не существует.

Во всех процессах энергия исчезает в одной форме, но появляется в другой, значение её при этом сохраняется. Аналогично форма существования массы также изменяется, но её значение сохраняется. Соотношение (14) утверждает, что какие бы взаимопревращения форм энергии и массы ни происходили в природе, между ними всегда существует это соотношение.

Инертность потенциальной энергии.

Теперь рассмотрим вопрос о применимости соотношения между массой и энергией к потенциальной энергии. Поскольку формулой (8) доказан закон сохранения энергии при взаимопревращении полной и потенциальной энергий, задача сводится к дока- зательству того, что потенциальная энергия обладает инерцией. При притяжении в поле тяготения потенциальная энергия отрицательна. Это не есть лишь свойство сил тяготения

– всяким потенциальным силам притяжения соответствует отрицательная энергия, поскольку для преодоления таких сил частица затрачивает свою кинетическую энергию.

Сумма кинетической и потенциальной энергий должна оставаться постоянной, а при

бесконечном удалении скорость частицы уменьшается и потенциальная энергия обратится в нуль. Следовательно, на конечных расстояниях потенциальная энергия должна быть меньше, т. е. отрицательна.

Если частица движется в поле сил тяготения на конечном расстоянии от другой частицы, тяжелой, которую можно считать за неподвижную, то сумма ее полной и потенциальной энергий E + Eп должна быть меньше, чем энергия покоя. Действительно,

если E + Eп > m0 c2 , то закон сохранения энергии допускает удаление частицы на бесконечность, когда Eп → 0 . Если же E + Eп < m0 c2 , то частица не может удалиться на бесконечность, потому что в этом случае было бы Eп < m0 c2 , а это невозможно, так

как энергия частицы не может быть меньше энергии покоя. Поэтому сила тяготения удерживает частицу в конечной области при условии:

т. е. сумма потенциальной и кинетической энергий должна быть отрицательной.

Это есть условие образования связанных состояний.

Мы считали тело, создающее поле сил, неподвижным. Это допустимо лишь в том случае, когда его масса много больше массы движущегося тела. В противном

47

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

случае необходимо учесть и его движение. Заметим, что все проведенные рассуждения остаются без существенного изменения.

Если движение обеих частиц рассматривается в инерциальной системе координат (именно инерциальной), тогда условие существования связанного состояния сведется к тому, что сумма кинетической энергии обеих частиц и их энергии взаимодействия должна быть отрицательной. Энергию взаимодействия как потенциальную энергию одного тела в поле другого надо учитывать лишь один раз. Например, энергия

U = −γ Mmr есть потенциальная энергия материального тела массой m в поле тяготения

другого тела массой М, но с таким же успехом эта величина может

рассматриваться как потенциальная энергия тела массой М в поле тяготения тела массой m. Это одна и та же величина, представляющая собой энергию взаимодействия тел массами М и m, ее не надо учитывать дважды. Поэтому условие существования связанного состояния гласит: сумма кинетической энергии и энергии взаимодействия час- тиц в связанном состоянии должна быть отрицательной. Сумма кинетической энергии и энергии взаимодействия называется энергией связи. Поэтому можно считать, что энергия связи в связанном состоянии отрицательна.

Энергия связи.

Известно, что ядра атомов состоят из нейтронов и протонов. Точный закон действия ядерных сил нам неизвестен, но известно, что это силы притяжения, поскольку они удерживают нейтроны и протоны в пределах ядра. Поэтому энергия связи в ядре

Если соотношение между массой и энергией (11) применимо также и к потенциальной энергии (его применимость к энергии покоя и кинетической энергии уже доказана), то тогда масса ядра Мяд должна быть меньше суммы масс покоя протонов Мop и нейтронов Мon, потому что в этом случае из (13) следует, что:

нейтронов измеряются многими способами и хорошо известны. Масса ядра также может быть измерена в опытах, в которых проявляются его инертные свойства. Оказалось, что

действительно масса ядра меньше суммы масс покоя составляющих его нейтронов и протонов. Это означает, что отрицательная потенциальная энергия в ядре дает отрицательную инертность в соответствии с формулой (14), т. е. соотношение между массой и энергией применимо и к потенциальной энергии. Энергия связи ядер хорошо изучена. Наиболее удобно ее характеризовать энергией связи ε , приходящейся на одну частицу (протон и нейтрон в отношении ядерных сил ведут себя, как совершенно одинаковые частицы):

48

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Как видно, частицы ядер (протоны и нейтроны) элементов, находящихся в начале периодической системы Менделеева, связаны между собой слабо. При переходе к более тяжелым ядрам эта связь усиливается. В области ядер с массовым числом примерно 120 энергия связи достигает максимального значения, равного примерно 8,5 МэВ. Напомним, что электрон-вольтом называется энергия, которую приобретает электрон

или протон при прохождении разности потенциалов в 1В (1эВ=1.6 ×10−19 Дж). Затем эта связь начинает ослабевать. У ядер элементов, расположенных к концу периоди- ческой системы, она ослабевает настолько, что ядра с массовым числом больше 238 являются нестабильными. Их удается получить лишь искусственными способами, существуют они не очень длительное время, самопроизвольно превращаясь в более легкие ядра.

Если тяжелое ядро элемента, расположенного в конце периодической системы, расщепить на две примерно равные части, то получаются два ядра элементов, находящихся ближе к ее середине. Согласно рис. 1, энергия связи этих ядер, приходящаяся на одну частицу, больше, чем в исходном ядре, т. е. частицы в этих ядрах связаны между собой сильнее, чем в исходном. Сумма масс покоя ядер, полученных в результате их деления, меньше, чем масса покоя исходного ядра. Поэтому сумма полных энергий покоя ядер, образующихся в результате их деления, меньше, чем энергия покоя исходного ядра. Разница в энергиях выделяется в виде кинетической энергии продуктов деления и образующихся при этом излучений. Это и есть атомная (ядерная) энергия, которая используется в атомных (ядерных) реакторах и атомных бомбах.

Если два легких ядра элементов, расположенных в начале периодической системы, соединяются в одно, то в результате слияния получается ядро элемента, находящегося ближе к ее середине, и, согласно рис. 1, частицы в этих ядрах сильнее связаны, чем в исходном. Такие же рассуждения, как и в предыдущем случае, приводят к выводу, что при слиянии легких ядер должна выделяться энергия, используемая в

соответствует выделению энергии в 0,5 млрд. кДж на 1г. вещества, что в миллионы раз больше, чем в самых теплотворных химических реакциях. Пути управляемого

освобождения этой энергии в мирных целях в настоящее время еще неизвестны и являются предметом интенсивных научных исследований. Большинство ученых считает, что проблема будет успешно решена в принципиальном смысле до конца XX в., а полное практическое использование научного решения осуществится в XXI в.

Соотношение между массой и энергией не только было подтверждено экспериментально, но и нашло многие важные практические применения. Одновременно

описанные явления доказывают также и закон сохранения энергии в релятивистском случае.

49

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com