ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.04.2024
Просмотров: 900
Скачиваний: 0
l2 |
r |
r |
l1 |
r |
r |
r |
r |
Этот вывод является основным при |
ò(F,dl ) + ò(F,dl ) = 0 |
Û ò(F, dl ) = 0 |
|||||||
l1 |
|
|
l2 |
|
|
|
|
|
определении потенциальных полей.
Потенциальное поле – любое поле, в
котором работа по замкнутой траектории равна нулю.
Потенциальной энергией называют запас работы, обусловленный конфигурацией системы. Работа при изменении
потенциальной энергии зависит только от начальных и конечных координат точки (тела).
Взаимосвязь изменения потенциальной энергии и работы, которую совершает в
потенциальных полях сила тяжести.
FT |
r |
|
|
|
= mg |
|
|
|
|
dA |
r |
|
r |
|
r |
= FT |
= -kmg |
|
|
dl |
r |
r |
|
|
|
× mg |
|
||
dA = -k |
× dl |
|
||
|
|
|
z2 |
|
dA = -dl × mg cosα = -mg × dz Þ AT = ò |
- mgdz = mg(z1 - z2 ) = U1 -U2 |
|||
|
|
|
z1 |
|
U1 -U2 = -DU
Работа в поле тяжести не зависит от скорости, формы траектории, а определяется начальным и конечным положением материальной точки.
Центральная сила – сила, которая всегда направлена к одной и той же точке и зависящая лишь от расстояния до неё.
r |
= -γ |
m1m2 |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
r2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
||
|
r r |
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
m1m2 |
|
r |
|
|
|
m1m2 |
|
|||||
dA = (F,dl ) |
= |
(dl ,-γ |
|
) = -γ |
dr |
||||||||||||||
r2 |
|
|
r2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
||||
|
|
|
æ |
-1 |
|
r2 |
ö |
|
|
|
|
r |
- r |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
A = -γm m |
ç |
|
r |
|
|
|
÷ |
= γm m |
|
2 |
1 |
= -DU |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
1 2 |
ç |
|
|
|
|
÷ |
|
1 2 |
|
|
r r |
|
|
|
||||
|
|
|
è |
|
|
|
|
r1 |
ø |
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
A = -DU
Работа центральной силы в потенциальных полях совершается за счет убыли потенциальной энергии.
Работа силы упругости.
35
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
dA = Fупрdx
Fу = -kx
A = -k òxdx = - k2 (x22 - x12 )
Таким образом, какова бы ни была форма и длина пути и с какой бы скоростью не двигалось тело, работа силы тяжести, центральной силы, силы трения будет одинакова т.к. прирост энергии зависит только от начальной и конечной координат точек.
Градиент потенциальной энергии:
Найдем работу, которую совершает тело, вызывая смещение:
Fxdx + Fydy + Fz dz = −dU |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
F |
= - |
¶U |
, F = - |
¶U |
, F |
= - |
¶U |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
x |
|
¶x |
y |
|
|
¶y |
|
|
z |
|
|
|
¶z |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
dU = ¶Udx |
+ |
¶Udy |
+ |
¶Udz |
- полный дифференциал потенциальной энергии |
|||||||||||||||||
|
|
¶x |
|
¶y |
|
|
|
¶z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
F + F + F = -( |
¶U |
+ |
¶U |
+ |
¶U |
) |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
x |
y |
|
z |
|
|
¶x |
|
|
¶y |
|
|
¶z |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
r |
r |
r |
= -( |
¶U r |
+ |
¶U r |
+ |
¶U r |
r |
|||||||||||||
F |
+ F |
+ F |
|
|
i |
|
|
|
j |
|
|
|
k ) = F |
|||||||||
x |
y |
|
z |
|
|
¶x |
|
|
|
|
¶y |
|
|
|
|
|
¶z |
|
|
|||
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= -grad(U ) = -ÑU |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Сила поля равна градиенту потенциальной энергии частицы в данной точке поля со знаком минус.
Набла (Ñ ) – дифференциальный оператор (векторная величина).
r ∂ |
r ∂ |
r ∂ |
|
||||
ÑU = U * (i |
|
+ j |
|
+ k |
|
) = grad(U ) |
|
¶x |
¶y |
¶z |
|||||
|
|
|
|
||||
Операция градиента – есть операция дифференцирования скалярной функции U по координатам, или умножение вектора набла на скалярную функцию U.
Физический смысл grad скалярной функции:
Рассмотрим две эквипотенциальные поверхности (поверхности равного
потенциала или одинаковой потенциальной энергии):
Если приращение энергии больше нуля, то
U2 > U1 .
Рассмотрим переход от U1 к U2 .
Рассматривая возрастание скалярной функции по самому короткому переходу (по нормали) убедимся, что:
36
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
F = U 2 -U1 = - DU
Dn Dn
F = - dUdn = -grad(U )
Градиент скалярной величины или градиент потенциальной энергии есть вектор, направленный по нормали к поверхности энергетического уровня в сторону наибольшего возрастания скалярной функции.
Модуль этого вектора = dUdn .
Градиент скалярной функции – вектор, показывающий в каком направлении функция возрастает наиболее быстро.
Кроме операции градиента определяются еще и операции ротора и дивергенции:
divA = (Ñ, A) r r rotA = [Ñ, A]
КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ, ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ (нерелятивистский случай)
ГРАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЭНЕРГИИ
Кинетическая энергия – часть общей механической энергии, которая отражает механическое движение данной системы.
Рассмотрим движение:
Пусть сила, действующая на тело, начальная скорость которого равна нулю, вызывает его движение и совершает работу. Энергия движения возрастает на величину совершенной работы.
dA = dEk |
|
|
||||
dA = -dU |
r |
|
||||
|
|
r |
|
|||
dA = (F,dl ) |
r r |
|||||
r |
|
r |
|
|||
|
dv |
|
|
(dv,dl ) |
||
F |
= m |
|
Þ dA = m |
|||
dt |
dt |
|||||
|
|
|
||||
dA = m × v × dv
= r r m(v,dv)
Кинетическая энергия зависит от массы тела и его скорости. Значит кинетическая энергия – функция состояния движения тела или системы. Кинетическая энергия различна в разных ИСО.
Ek = mv2 m = P2
2 m 2m
ЗСЭ в нерелятивистском случае для системы материальных тел: Пусть в системе n материальных тел:
37
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
На каждую точку действует результирующая всех внешних ( Fi ) , внутренних
|
|
|
|
|
r |
′ |
) и внешних диссипативных ( fi ) сил. |
|||
консервативных ( Fi |
|
|||||||||
|
dvi |
|
|
r r |
r |
|
|
|
|
|
mi |
|
|
= |
Fi + Fi¢+ fi Þ |
|
|
|
|
||
dt |
|
|
|
|
r |
|||||
n |
dvi |
|
r |
|
|
r |
||||
åmi |
dr = ådr(Fi |
+ Fi¢+ fi ) |
||||||||
|
||||||||||
i=1 |
|
dt |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
r |
|
r |
|
|
|
r r |
||
ådr fi = å(mi × v × dvi |
- dr(Fi - Fi¢)) |
|||||||||
dAдисс = dEk - dU dAдисс = d(Ek +U )
Если работа равна нулю:
Ek +U = const
mv2 2 +U = const - ЗСЭ механической энергии
Если система диссипативная, то энергия системы изменяется за счет преобразования её в другие виды.
Если система консервативная, то полная энергия неизменна.
Если есть изменение, то происходят превращение энергии из одного вида в другой в эквивалентных количествах.
Ek +U = Eполн Þ
1)если Ek = 0 Þ Eп = Eполн
2)Ek ¹ 0 Þ Eп < Eполн
Кинетическая энергия по своему смыслу не может быть отрицательной. Таким образом потенциальная энергия меньше или равна полной энергии.
Этим соотношением определяется область изменения всех координат системы, где частица может находиться.
Рассмотрим одномерное движение:
Потенциальной кривой называется график зависимости потенциальной энергии от аргумента (высоты например).
Анализ потенциальной кривой позволяет определить характер движения материальных тел в системах. (Рассматриваются только консервативные системы.)
1) U = mgh
38
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
2) Частица не может находиться в той области, где её энергия больше её полной энергии.
На данном графике представлена потенциальная яма. Т.е. частица не может выйти за пределы области ограниченные её энергией.
Движение частицы внутри потенциальной ямы называют финитным. 3) Общий случай.
Тело может находиться во второй и четвертой областях т.к. её потенциальная энергия должна быть меньше или равна её полной.
Движение в четвертой области называется инфинитным (частица может уйти в бесконечность)
= − mv2
U Eполн 2
39
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Впервой и третьей областях частица не может находиться т.к. её энергия мала для этого.
В– точка устойчивого равновесия
D – точка неустойчивого равновесия
Законы Кеплера
В результате длительной обработки многолетних наблюдений датского астронома Тихо Браге (1546-1601) немецкий ученый Кеплер эмпирически установил три закона движений планет. Эти законы формулируются следующие образом:
1)каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце;
2)радиус-вектор планеты в равные времена описывает равные площади;
3)квадраты времен обращений планет относятся как кубы больших осей эллиптических орбит, по которым они движутся вокруг Солнца.
Первые два закона были опубликованы Кеплером в 1609 г., последний - в 1619 г. Законы Кеплера естественным путем привели Ньютона к открытию закона всемирного тяготения.
Первый закон Кеплера:
Чтобы доказать этот закон нужно найти уравнение орбиты вращающейся планеты. Для этого удобно использовать полярную систему координат, плоскость которой совпадает с плоскостью траектории планеты.
Пусть dr = (dr )ϕ + (dr )r , где (dr )ϕ перпендикулярно радиус вектору, а (dr)r -
параллельно. Таким образом первое перемещение обусловлено изменением угла поворота, а второе изменением длины радиус вектора. Тогда eϕ ,er
единичные векторы для (dr )ϕ и (dr )r |
соответственно. |
|||||||||
|
|
dr = eϕ |
(dr)ϕ + er (dr)r |
|
|
|
|
|||
|
|
r |
r |
|
r |
|
|
|
|
|
Тогда: |
dr |
= e rdϕ + e dr |
|
|
|
|
|
|||
r |
ϕ |
r |
r |
r |
r |
r |
r |
Þ |
||
|
|
dr / dt = eϕ rdϕ / dt + er dr / dt = v |
= eϕvϕ + ervr |
|||||||
|
|
v2 = vϕ2 + vr2 = r2ϕ¢2 + r¢2 |
|
r r |
|
|||||
|
|
r |
r |
|
r |
r |
r |
|
|
|
Т.к. |
L = r |
´ mv |
= er r ´ m(eϕvϕ |
+ ervr ) = mr2ϕ¢(er ´ eϕ ) |
|
|||||
L = mr2ϕ¢ = const |
|
(1) |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||
Запишем закон сохранения энергии:
40
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com