ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.04.2024
Просмотров: 892
Скачиваний: 0
x = |
|
x1′ |
- vK ′ ×t¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
v2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1- |
|
|
|
|
|
|
|
x ′ - x ′ |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
C2 |
|
|
|
|
Þ x2 - x1 = |
1- |
v2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 Þ l¢ = l × |
2 |
|||||||
¢ |
|
|
|
|
×t¢ |
|
|
v |
|
|
|
|
|
C |
|||||||||
x = |
x2 |
|
|
- vK ′ |
1- |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
C2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
l′ < l Þ длина тела в движущейся системе отсчета меньше истинной. Сокращение длины тела зависит от скорости движения системы. При рассмотренном движении (вдоль ОХ) поперечные размеры не изменяются, а значит меняется форма тела. Следовательно длина является вариантом в преобразованиях Лоренца. Если v << C , то l′ ® l .
ì |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
2 |
|
|
|
v2 |
|
|
l |
|
× v2 |
|
|
||
ïl |
дв |
= l |
пок |
× 1- |
|
|
Þ lдв = lпок × (1 |
- |
|
) Þ Dl = lдв - lпок = - |
пок |
- |
абсолютное |
||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
í |
|
|
|
C2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
2*C |
2 |
2 *C |
2 |
||||||||||||
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
îv << C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
изменение длины.
ДЛИТЕЛЬНОСТЬ СОБЫТИЙ. СОБСТВЕННОЕ ВРЕМЯ.
ЗАМЕДЛЕНИЕ ХОДА ДВИЖУЩИХСЯ ЧАСОВ. 3-Е СЛЕДСТВИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛОРЕНЦА.
Длительность событий. Собственное время. Замедление хода движущихся часов.
Пусть в точке с координатой x в системе K происходит событие, длительность которого по часам этой системы τ = t2 -t1 , где t1, t2 - начало и
конец события.
Длительность этого события в системе K′ :
|
|
|
|
|
t |
|
|
- vx |
|
|
|
t |
- vx |
|
|
t |
2 - t1 |
|
|
|
τ |
|
|||||
τ ¢ = t2¢ - t1¢ = |
|
|
2 |
|
c2 |
|
- |
1 |
|
c2 |
|
= |
|
= |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
v2 |
|
|
|
v2 |
|
|
|
v2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1- |
|
|
1- |
1- |
v2 |
1- |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
c2 |
|
|
c2 |
c2 |
c2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ =τ |
¢ |
|
|
v2 |
Þ τ <τ |
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
- c2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Таким образом, событие, происходящее в некоторой точке, характеризуется наименьшей длительностью в той системе, в которой эта точка неподвижна. Время, измеренное по часам той системы, в которой эта точка неподвижна, называется собственным временем.
Интервал времени τ ′ , отсчитанный по часам K′ , с точки зрения наблюдателя из системы K будет продолжительнее собственного интервала. Следовательно, часы, движущиеся относительно инерциальной системы отсчета с постоянной скоростью сопоставимой со скоростью света, идут
21
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
медленнее покоящихся часов. Этот эффект называется эффектом замедления времени. Но наблюдатель в системе K′ не заметит, что его часы идут медленнее, чем в системе K т. к. данный эффект является взаимным.
В СТО в отличие от классической механики течение времени зависит от состояния движения систем. Таким образом единого мирового времени не существует.
Парадокс близнецов.
Пусть фантастический корабль совершает полет к Звезде, находящейся на расстоянии от Земли в 500 световых лет, со скоростью, близкой к скорости
света: |
v2 |
= 0,001. Тогда τ = τ ′×0,001. По земным часам полет туда обратно |
1- c2 |
занимает 1000 лет, а для космонавтов – 1 год:
τKOC =1000×0,001 =1.
То есть, космонавт вернется на Землю более молодым, чем его брат близнец
– парадокс близнецов.
|
τ KOC |
= |
|
1 |
|
¢ |
|
1000 |
|
τЗЕМН |
|
|||
При таком отношении обнаруживается релятивистский эффект.
В действительности парадокса нет, т.к. принцип относительности утверждает равноправие не всяких, а только инерциальных систем отсчета. (Система Земли – инерциальная, а корабля – нет.)
Эффект замедления времени является взаимным, симметричным относительно обеих систем.
Экспериментальное подтверждение замедления времени применяют для объяснения нахождения мюонов у поверхности земли.
1. dτ = dτ |
¢ |
|
v2 |
– |
эта |
формула нашла |
|
|
|
ν |
|
||
1 |
- c2 |
|
|
|
|
||||||||
|
π + |
|
|
||||||||||
|
|
применение |
|
в |
объяснении |
|
|
||||||
|
|
|
МЕЗ |
|
|
||||||||
|
|
прохождения мюонов через атмосферу |
|
|
|
e |
+ |
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
Земли. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
μ+ |
|
||
π + ® μ+ +ν |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
μ+ ® e+ + 2ν |
|
|
|
|
|
|
|
|
ν |
ν |
|
||
Время |
|
жизни |
|
нестабильного |
|
|
|
|
|
||||
μ : τ |
μ |
+ = 2×10−6 |
сек . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Они образуются на высоте 20-30 км от поверхности Земли, однако их часть регистрируется у самой поверхности. В отсутствии замедления времени они смогли бы пролететь только l¢ =τμ v = 2×10−6 ×3×108 = 600м
2. Кроме того эффект замедления времени применяется в ускорителях.
22
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
3. В 1972 году Китинг и Хафель обнаружили замедление времени с помощью атомных часов.
Опыт заключался в том, что одни атомные часы летали в реактивном самолете, в то время, как другие оставались на земле. После приземления самолета выяснилось, что часы, находившиеся в самолете отстали (дополнительно к различию, объяснимому изменением с высотой гравитационного поля).
Линейная скорость точек поверхности Земли – v
Время в неподвижной системе координат (центр земли) – t Собственное время покоящихся часов – τ0
Часы в западном направлении – τ+ На поверхности Земли:
dτ0 = dt 1- v2 c2
При движении на запад:
dτ+ = dt 1- (v -2u)2 c
При движении на восток:
dτ |
− |
= dt |
1- (v + u)2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
c2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ü |
|
|
τ = τ ¢× 1- |
v |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
ï |
|
|
||||||||
C2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
- инварианты в перобразованиях Лоренца - Эйнштейна |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ý |
||
dτ = dτ ¢× 1- |
|
v2 |
ï |
|
|
|||||||||
|
|
|
ï |
|
|
|||||||||
C |
2 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
þ |
|
|
||
Докажем инвариантность собственного времени в преобразоованиях Лоренца - Эйнштейна
Пусть :dτ |
¢ |
= dt, dτ = dt |
|
|
v2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
1- C2 Þ |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
dS2 |
= dx2 + dy2 + dz2 - C2 × dt2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
dS2 |
= dr2 - C2 × dt2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v2 |
|
= i ×C × dτ Þ dτ = |
dS |
|
dS = dr2 - C2 × dt2 = i × |
|
C2 × dt2 - dr2 = i ×C × dt × 1- |
= const |
|||||||||||||
|
C2 |
i ×C |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Таким образом dtсобст ,tсобст является инвариантом в преобразованиях Лоренца- Эйнштейна.
Рассмотрим четвертое следствии преобразований Лоренца-Эйнштейна:
Пространственно-временной вектор является инвариантом в преобразованиях Лоренца-Эйнштейна.
Всистеме K : S 2 = (x2 - x1 )2 + ( y2 - y1 )2 + (z2 - z1 )2 - C 2 (t2 - t1 )2
Всистеме K ¢ : S¢2 = (x¢2 - x1¢)2 + ( y2¢ - y1¢)2 + (z¢2 - z1¢)2 - C 2 (t2¢ - t1¢)2
23
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Докажем, что S 2 = S¢2
Из преобразований Лоренца-Эйнштейна:
y |
= y′, y |
2 |
= y′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
¢ |
|
|
= z |
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z1 = z1 , z2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
¢ |
|
¢ |
|
|
¢ |
|
|
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x |
|
- x = |
x2 - x1 |
+ v(t2 |
|
- t1 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
1 |
|
|
|
|
|
v2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
1- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
C 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
¢ |
¢ |
+ |
v |
|
|
|
¢ |
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
t2 - t1 = |
t2 |
- t1 |
C 2 |
|
(x2 |
- x1 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1- |
|
v2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
C 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¢ |
¢ |
2 |
+ v |
2 |
¢ |
¢ |
2 |
¢ |
¢ ¢ |
¢ |
2 |
¢ |
¢ |
2 |
- |
v2 |
¢ |
¢ |
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
(x2¢ - x1¢) |
2 |
|
- C |
2 |
(t2¢ - t1¢) |
2 |
= |
(x2 |
- x1 ) |
|
|
(t2 |
- t1 ) |
|
+ 2(x2 |
- x1 )v(t2 |
- t1 ) - C |
|
(t2 |
- t1 ) |
|
C 2 |
(x2 |
- x1 ) |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1- |
v2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
- 2v(x¢2 - x1¢)(t2¢ - t1¢)
(x2¢ - x1¢)2 |
+ v2 (t2¢ - t1¢)2 |
+ 2(x2¢ - x1¢)v(t2¢ - t1¢) - C 2 (t2¢ - t1¢)2 |
- |
v2 |
(x2¢ - x1¢)2 |
= |
|
C 2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
(x2¢ - x1¢)2 |
+ v2 (t2¢ - t1¢)2 |
+ 2(x2¢ - x1¢)v(t2¢ - t1¢) - C 2 (t2¢ - t1¢)2 |
- |
v2 |
(x2¢ - x1¢)2 |
|
|
C 2 |
|
||||||
0 = 0 Þ |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Пространственно-временной вектор является инвариантом в преобразованиях Лоренца-Эйнштейна. Кроме того инвариантом является и дифференциал пространственно-временного вектора.
Следовательно в преобразованиях Лоренца инвариантами
являются:C,tсобст ,четырехмерный вектор, дифференциал четырехмерного вектора
Варианты: координаты,t,v,l, a
СЛОЖЕНИЕ СКОРОСТЕЙ ПО ЛОРЕНЦУ. ЗАКОНЫ НЬЮТОНА.
НЕВЫПОЛНЕНИЕ ТРЕТЬЕГО ЗАКОНА НЬЮТОНА.
Пусть в системе K ′ движется частица со скоростью U¢ = i¢ ×U¢x + j¢×U¢y + k¢ ×U¢z .
|
¢ |
dx′ |
¢ |
|
|
dy′ |
|
¢ |
= |
|
dz′ |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Ux = |
dt |
|
,U y = |
|
dt |
,Uz |
|
dt |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
r |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
r |
|
×Ux + |
r |
×Uz |
|||||||
Тогда: |
В системе K :U = i |
j |
×U y + k |
||||||||||||||
|
dx |
|
|
|
dy |
|
|
|
|
dz |
|
|
|
||||
|
Ux = |
,U y |
= |
,Uz = |
|
|
|
||||||||||
|
dt |
dt |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
||||
24
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Воспользуемся преобразованиями Лоренца-Эйнштейна для вывода закона
r
сложения скоростей для случая, когда U ¢ OX ,U ¢ сравнимо с С :
ì |
|
x¢ + v ×t¢ |
||||||||
ïx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v2 |
|
|
|
||
ï |
1- |
|
|
|
|
|||||
ï |
C2 |
|
|
|||||||
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ïy = y¢ |
|
|
|
|
|
|
||||
íz = z¢ |
|
|
|
|
|
|
||||
ï |
|
|
|
|
|
|
|
v |
||
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
t¢ + x¢ × C2 |
|||||||||
ït = |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v2 |
|||||
ï |
1- |
|
|
|
|
|
|
|||
ï |
|
C |
2 |
|
|
|||||
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ì |
|
|
|
|
|
|
ïU |
x |
= |
|
dx |
= |
|
|
||||||
ï |
|
|
dt |
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
dy |
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
Þ íU y = |
|
|
= |
|||
dt |
|
|||||
ï |
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
dz |
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
ïUz |
= |
|
|
= |
||
|
dt |
|||||
ï |
|
|
|
|
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
dx¢ + v × dt¢ dt¢ + dx¢ Cv2
dy¢ 1- v2 C2
dt¢ + dx¢ Cv2
dz¢ 1- v2 C2
dt¢ + dx¢ Cv2
dt |
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
¢ |
|
|
|
||||
|
|
|
= |
|
v +Ux |
|
|
||||||||||
dt¢ |
|
|
|
|
¢ |
|
|
|
v |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1+Ux C2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
U¢y |
1- |
|
v2 |
|
|
||||||||||
= |
|
|
C |
2 |
|
|
- закон сложения скоростей. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
¢ |
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1+Ux C2 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Uz¢ |
1- |
|
|
|
v2 |
|
|
|
||||||||
= |
|
|
C2 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
1+Ux¢ |
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
C2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
(1)
Из закона сложения скоростей следует, что в вакууме нельзя получить скорость большую скорости света.
Законы динамики.
Динамика рассматривает движение тел с учетом сил, вызывающих это движение. Таким образом сила является главным параметром динамики.
Силы.
Сила – физическая величина, характеризующая взаимодействие двух или более тел, определяющая изменение состояния движения тел (скорость) или изменение формы тела (деформация).
В динамике Ньютона не скорость, а изменение скорости, то есть ускорение, имеет причину. Причиной изменения скорости является сила.
1)Сила не есть самостоятельная сущность, не зависимая от материальных тел. Она создается материальными телами.
2)Сила – количественная мера интенсивности взаимодействия.
3)сила изменяет скорость по величине и направлению.
Сила – векторная величина.
Законы Ньютона.
Первый закон Ньютона.
Тело, достаточно удаленное от других тел, сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения. (Закон инерции)
25
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com