Файл: Лекции Механика для студентов Физика.pdf

Скачать файл (4,32Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.04.2024

Просмотров: 907

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Рис. 2

Рис

2) Трехатомная молекула в виде равнобедренного треугольника (рис. 2). Ответ: Центр инерции лежит на высоте треугольника на расстоянии

m2h

от его основания. Моменты инерции:

2m1m2

h2 ,

I2 =

I3 = I1 + I2

3) Четырехатомная

молекула

атомами, расположенными

вершинах правильной треугольной пирамиды (рис. 3).

Ответ: Центр инерции лежит на высоте пирамиды на расстоянии

m2h

от ее основания. Моменты инерции:

I1 = I2 =

3m1m2

h2 +

a2 , I

= m a2 .

При m = m

, h = a

мы

получаем

тетраэдрическую молекулу

моментами инерции:

= I

= m a2

Сплошные однородные тела.

Определим главные моменты инерции сплошных однородных тел. 1) Тонкий стержень длиной l .

Решение:

		m			m
	2			2
	2			2

		l		l
А	2		О	2

222

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

IA – момент инерции стержня относительно оси А, IO

–

момент

инерции стержня относительно оси О.

IA = kml2 .

Io = 2 × k

æ l

kml 2

è 2

По теореме Гюйгенса-Штейнера:

IA = Io + m

kml 2 =

k + 1

ml 2

4k = k +1

3k =1Þ k =

Таким образом,

IA =

ml2

и I1 = I 2 =

ml 2 .

Стрежень очень тонкий, а

значит I3 = 0 .

Ответ: I1

= I2

ml 2 ,

= 0 (толщиной стержня пренебрегаем).

2) Шар радиуса R и массы m, а также тонкая сфера с теми же

параметрами.

Решение:

Из соображений симметрии I1 = I2 = I3 .

Вычислять следует сумму I1 + I2 + I3

= 2ρ ò r 2 dV ).

В сферической системе координат dV = dr × (r sinθ × dϕ)× rdθ :

Отсюда:

2π

I1 = I2 = I3

I =

2ρ R

× r

dr ×

sinθ × dθ ×

dϕ = -

2 3m R5

2 × 2π =

3 4πR3 5

−π

Рассмотрим теперь тонкую сферу. Пусть она имеет бесконечно малую толщину d. Тогда сферу можно представить как совокупность двух шаров: первый имеет радиус R и массу m, а второй – радиус R − d и массу - (m - Dm), причём d << R и m << m в силу того, что сфера тонкая:

Iсф = 25 (mR2 - (m - Dm)(R - d )2 )

Dm = 4πR2dρ = 4πR2d 3m = 3m d Þ

4πR3 R

d ö

3d öæ

d ö2

сф

çmR

- çm - 3m

÷(R - d )

÷ =

ç1

- ç1

÷ç1

= 2mRd

5 è

R ø

R øè

R ø

223

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Учитывая, что m есть масса сферы, получаем окончательный результат:

Iсф = 2 D3mRd Rd = 23 DmR2 = 23 mсф R2 Ответ: I1 = I2 = I3 = 52 mR2 , Iсф = 23 mсф R2 .

3) Круговой сплошной цилиндр радиуса R и высотой l (относительно оси, проходящей через центр цилиндра перпендикулярно ему). Рассмотреть также случай полого цилиндра.

Решение:

Направляя ось OZ вдоль оси цилиндра и вводя, таким образом,

цилиндрическую

систему

координат,

выделим

малый

элемент

объёма

dV = dz × rdϕ × dr . Его момент инерции относительно оси OZ равен:

dI1 = dm × r¢2

= ρ × dV × r¢2

= dm ×(z2 + r2 sin2 ϕ)=

rdr × dz × dϕ(z2+r2 sin2 ϕ)=

πR2l

(rdr × z2dz × dϕ + r3dr × dz ×sin2 ϕ × dϕ)Þ

πR2l

Интегрируя это выражение по всему объёму, получаем конечный

результат:

2π1- cos2ϕ

çæ r2

æ z3 ö

æ r4

×(ϕ)

2π

(z)

× ò

dϕ ÷ =

×ç

+ ç

πR

l ÷

2π +

π ÷

2 24

πR

Таким образом, I1 = I

2 =

mç R

÷ .

Найдём теперь I3 :

dI3 = dm × r 2 = ρ × dr × rdϕ × r 2 dz = r 3 dr × dϕ × ρ × dz Þ

4 ö

2π

2m R

= 2

ç r

(ϕ)

× (z)

2 ×

πR

l 4

Если цилиндр полый и имеет внутренний и внешний радиусы R1 и R2

соответственно, то его момент инерции равен:

4 ö

2π

(R2

-R1 )

l 1

I3 = 2π (R

-R2 )l

ç 4

×(ϕ)

×(z)

= 2π (R2

-R2 )l

2π ×

2 m(R2

+R1 )

Ответ: I1

, I3 =

. ( x3 – ось цилиндра).

= I

ç R

4) Прямоугольный параллелепипед с длинами ребер а, b, c. Решение:

Рассчитаем момент инерции относительно оси 1.

224

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Выделим малый элемент объёма dV = dx × dy × dz . Его момент инерции относительно данной оси равен:

dI1 = ρ × dV ×(x2 + y2 )Þ

òòò(x

dydx)dz =

×(y)

I =

dxdy + y

abc

m(b

ç b

÷ a

ç cb

+ c

mç

÷a

24 2

abc

abc è

					c			ö
æ	y	3	ö	2			b ÷			a
ç	y		÷			×(x)	2	÷(z)		2	=
ç			÷				2			2
+ ç	3		÷				0		0
è	3		ø	0				÷
								ø
+ c2 )

Аналогично вычисляются и моменты инерции относительно осей 2 и 3.

Ответ: I1 =

(b2

+ c2 ),

(c2

+ a2 ), I3 =

(a2 + b2 ).

(оси x1 , x2 ,

x3 параллельны ребрам a, b, c),

5) Круговой конус с высотой h и радиусом основания R.

Решение:

′

Вычисляем сначала тензор Iik по отношению к

осям с началом в вершине конуса (рис. 4).

Вычисление легко производится в цилиндрических

координатах и дает:

I1¢ = I2¢ =

mç

+ h2 ÷ ,

I3¢ =

mR2 .

Центр тяжести находится, как показывает

Рис. 4

простое вычисление, на оси конуса на расстоянии

a =

3 h от вершины. По формуле (14) находим окон-

чательно:

I1 = I2 = I1¢ - ma2 =

mç R2

÷,

= I3¢ =

mR2 .

Ответ: I1 = I2

= I1¢ - ma2

mç R2

÷,

= I3¢ =

mR2 .

6) Трехосный эллипсоид с полуосями а, Ь, с.

Решение. Центр инерции совпадает с центром эллипсоида, а главные оси инерции – с его осями. Интегрирование по объему эллипсоида может быть сведено к интегрированию по объему сферы путем преобразования ко-

ординат x = aξ , y = bη , z = cζ ,		превращающего уравнение поверхности
эллипсоида:
	x2		+	y2	+	z2	= 1
	a2			b2		c2

вуравнение поверхности единичной сферы:

ξ2 +η 2 + ζ 2 = 1

225

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Так, для момента инерции относительно оси x получаем:

I1 = ρòòò(y2 + z2 )dx × dy × dz =

=ρ × abcòòò(b2η 2 + c2ζ 2 )dξ × dη × dζ =

=abc 12 I ¢(b2 + c2 )

где I ′ – момент инерции шара единичного радиуса.

4πabc

Учитывая, что

объем

эллипсоида

равен

получим

окончательно моменты инерции:

I1 =

(b2 + c2 ),

I2 =

(a2

+ c2 ),

(a2 + b2 ).

Ответ: I1 =

(b2 + c2 ), I2 =

(a2 + c2 ),

(a2 + b2 ).

Момент импульса твердого тела.

Величина момента импульса системы зависит, как мы знаем, от выбора точки, относительно которой он определен. В механике твердого тела

наиболее рационален выбор в качестве этой точки начала подвижной системы координат, т. е. центра инерции тела. Ниже мы будем понимать под М момент, определенный именно таким образом.

При выборе начала координат в центре инерции тела его момент М совпадает с “собственным моментом”, связанным лишь с движением точек тела относительно центра инерции. Другими словами, в определении M = åm[r × v]надо заменить v на [Ωr]:

	r	r	r r
M = åm[r		×[W × r ]]= åm{r 2W - r (r × W)}
или в тензорных обозначениях:
Mi = å m{xi2Wi -xi xk Wk }=Wk å m{xi2δik -xi xk }
Наконец, учитывая	определение (4)		тензора инерции, получаем
окончательно:
Mi = IikΩk			(15)
Если оси x1 , x2 , x3	направлены вдоль главных осей инерции тела, то
эта формула дает:
M1 = I1Ω1, M2 = I2Ω2 , M3 = I3Ω3			(16)
В частности, для шарового волчка, когда все три главных момента
инерции совпадают, имеем просто:
M = IΩ			(17)

т. е. вектор момента пропорционален вектору угловой скорости и имеет одинаковое с ним направление.

226

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Смотрите также файлы

Лаб раб Вязкость возд Пуазейль ТРИ ИТОГ.doc

Законы сохраненияЛекция.doc

Законы сохранения.doc

ВсяМехЛАБраб2части.doc

ВсяМехЛАБраб2части.doc

Файл: Лекции Механика для студентов Физика.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно