Файл: Лекции Механика для студентов Физика.pdf

Таким образом, при движении твердого тела в однородном поле влияние поля сводится к действию одной силы F, “приложенной” в точке с радиус-вектором (27). Положение этой точки всецело определяется свойствами самого тела; в поле тяжести, например, она совпадает с центром

инерции тела

некоторой прямой (ON на рис. 6), которую называют линией узлов. Эта линия, очевидно, перпендикулярна как к оси Z, так и к оси x3 ; её положительное

направление выберем так, чтобы оно соответствовало направлению векторного произведения [zx3 ] (где z, х3 — орты в направлении осей Z и х3).

В качестве величин, определяющих положение осей x1 , x2 , x3

относительно осей X, Y, Z, примем следующие углы: угол θ между осями Z и x3 , угол φ между осями X и N, угол ψ между осями N и x1 . Углы φ и ψ

отсчитываются в направлениях, определяемых правилом винта, соответственно вокруг осей Z и x3 .

231

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Угол θ пробегает значения от нуля до π, а углы φ и ψ – от нуля до 2π 5)

.

Выразим теперь компоненты вектора угловой скорости Ω по подвижным осям x1 , x2 , x3 через эйлеровы углы и их производные. Для этого

надо спроектировать на эти оси угловые скорости θ& , ϕ& , ψ& . Угловая скорость θ& направлена по линии узлов ON и ее составляющие по осям x1 , x2 , x3 равны:

Если оси x1 , x2 , x3 выбраны по главным осям инерции твердого тела,

то вращательную кинетическую энергию, выраженную через эйлеровы углы, мы получим подстановкой (29) в (10).

Для симметрического волчка, у которого I1 =I2 ¹I3 , найдем после простого приведения:

пользовавшись произвольностью выбора направлений главных осей инерции

Вкачестве простого примера применения эйлеровых углов определим

сих помощью известное уже нам свободное движение симметрического волчка.

5 Углы θ и ϕ − π2 представляют собой соответственно полярный угол и азимут

направления x3 по отношению к осям X, Y, Z. В то же время θ и π2 −ψ являются соответственно полярным углом и азимутом направления Z по отношению к осям x1 , x2 , x3 .

232

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Выберем ось Z неподвижной системы координат в направлении постоянного момента волчка М. Ось х3 подвижной системы направлена по оси волчка, а ось x1 пусть совпадает в данный момент времени с осью узлов. Тогда для компонент вектора М находим с помощью формул (31):

С другой стороны, поскольку ось x1 (линия узлов) перпендикулярна к

Рассмотрим теперь движение тяжелого симметрического волчка с неподвижной нижней точкой (рис. 7).

Решение. Совместное начало подвижной и

неподвижной систем координат выбираем в неподвижной точке волчка О, а ось Z направляем по вертикали (рис. 7). Функция Лагранжа волчка в поле тяжести равна:

представляют собой составляющие вращательного момента, определенного относительно точки О, соответственно по осям x3 и Z). Кроме того,

сохраняется энергия:

233

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Из уравнений (1) и (2) находим:

определяют предельные углы θ1 и θ2 наклона оси волчка к вертикали.

При изменении угла θ от θ1 до θ2 знак производной ϕ& остается

неизменным или меняется, в зависимости от того, остается ли неизменным или меняется в этом интервале знак разности M z - M 3 cosθ .

В первом случае ось волчка прецессирует вокруг вертикали монотонно,

одновременно совершая

234

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

колебания (так называемую нутацию) вверх и вниз (рис. 8, а; линия изображает след, который ось волчка чертила бы на поверхности сферы с центром в неподвижной точке волчка). Во втором случае направление прецессии противоположно на двух граничных окружностях, так что ось волчка перемещается вокруг вертикали, описывая петли (рис. 8, б). Наконец,

обращаются в нуль, так что ось волчка описывает траекторию, изображенную на рис. 8, в.

Найдём теперь условие, при котором вращение волчка вокруг

В заключение, определим движение волчка в случае, когда кинетическая

энергия его собственного вращения велика по сравнению с энергией в поле тяжести (так называемый “быстрый” волчок).

В первом приближения, если пренебречь полем тяжести, происходит свободная прецессия

оси волчка вокруг направления момента M , от- вечающая в данном случае нутации волчка, которая происходит согласно (19) с угловой

скоростью

медленная прецессия момента M вокруг на-

правления вертикали (рис. 9). Для определения скорости этой прецессии усредним точное уравнение движения по периоду нутации (22):

235

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com